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Logarithmen erklärt – Steve Kelly

  • 0:15 - 0:18
    Warum verursacht der Unterschied zwischen
  • 0:18 - 0:21
    0,0000000398
  • 0:21 - 0:26
    0,00000000398
  • 0:26 - 0:28
    rote Augen beim Schwimmen?
  • 0:28 - 0:32
    Um das zu beantworten,
    müssen wir mit sehr kleinen
  • 0:32 - 0:34
    und sehr großen Zahlen umgehen können.
  • 0:34 - 0:36
    Hierzu verwendet man Logarithmen.
  • 0:36 - 0:38
    Also, was sind Logarithmen?
  • 0:38 - 0:40
    Wir nehmen b
  • 0:40 - 0:42
    und exponenzieren es mit p.
  • 0:42 - 0:43
    Zum Beispiel 2 hoch 3
  • 0:43 - 0:46
    und sagen es sei n.
  • 0:46 - 0:49
    Also haben wir die Exponenzialgleichung
    b hoch p ist n.
  • 0:49 - 0:51
    In unserem Beispiel haben wir
  • 0:51 - 0:53
    2 hoch 3 ist 8.
  • 0:53 - 0:55
    Den Exponenten p nennt man
  • 0:55 - 0:57
    den Logarithmus von n.
  • 0:57 - 0:59
    Normalerweise schreibt man das als
  • 0:59 - 1:04
    "der Logarithmus zur Basis b ist p".
  • 1:04 - 1:07
    Das klingt langsam etwas verwirrend.
  • 1:07 - 1:08
    Betrachten wir daher ein Beispiel:
  • 1:08 - 1:12
    Was ist der Logarithmus
    von 10.000 zur Basis 10?
  • 1:12 - 1:15
    Man kann die selbe Frage auch
    mit Exponenten stellen:
  • 1:15 - 1:16
    "10 hoch was ist 10.000?"
  • 1:16 - 1:19
    10 hoch 4 ist 10.000.
  • 1:19 - 1:22
    Also der Logarithmus
    zur Basis 10 von 10.000 ist 4.
  • 1:22 - 1:26
    Das kann man auch sehr einfach
    auf einem Taschenrechner berechnen.
  • 1:26 - 1:30
    Den 10er-Logarithmus
    verwendet man so häufig,
  • 1:30 - 1:35
    dass er auf vielen Taschenrechnern
    eine eigene Taste hat.
  • 1:35 - 1:39
    Warum lernt man Logarithmen, obwohl
    der Taschenrechner ihn berechnen kann?
  • 1:39 - 1:44
    Beachte: Die log-Taste berechnet
    den 10er-Logarithmus.
  • 1:44 - 1:46
    Aber was tun wir
    in einem Informatikstudium,
  • 1:46 - 1:48
    wo wir den 2er-Logarithmus brauchen?
  • 1:48 - 1:50
    Was ist der 2er-Logarithmus von 64?
  • 1:50 - 1:54
    Mit anderen Worten: 2 hoch was ist 64?
  • 1:54 - 1:59
    Zählen wir es an den Fingern ab:
    2, 4, 8, 16, 32, 64.
  • 1:59 - 2:04
    Der 2er-Logarithmus von 64 ist also 6.
  • 2:04 - 2:07
    Was hat das mit meinen roten Augen
    in manchen Schwimmbecken,
  • 2:07 - 2:09
    aber nicht in allen, zu tun?
  • 2:09 - 2:13
    Das führt uns zu einer Anwendung
    des Logarithmus in der Chemie:
  • 2:13 - 2:15
    der pH-Wert.
  • 2:15 - 2:18
    Der pH-Wert beschreibt, wie
    sauer oder basisch etwas ist,
  • 2:18 - 2:20
    und berechnet sich wie folgt:
  • 2:20 - 2:26
    pH ist der negative 10er-Logarithmus
    der Oxonium-Ionen.
  • 2:26 - 2:28
    Wir bestimmen den pH-Wert von Wasser
  • 2:28 - 2:33
    mit einer Oxoniumkonzentration von
    0,0000000398
  • 2:33 - 2:38
    und 0,00000000398
  • 2:38 - 2:40
    auf unserem Taschenrechner.
  • 2:40 - 2:42
    Bestimme den negativen Logarithmus
  • 2:42 - 2:46
    und wir stellen fest, dass
    der pH-Wert 7,4 und 8,4 ist.
  • 2:46 - 2:49
    Da der pH-Wert unserer Tränen ca. 7,4 ist,
  • 2:49 - 2:55
    fühlt sich eine H+ Konzentration von
    [0,0000000398] gut auf unseren Augen an,
  • 2:55 - 2:59
    während ein pH-Wert
    von 8,4 die Augen reizt.
  • 2:59 - 3:01
    Man kann den Logarithmus leicht berechnen:
  • 3:01 - 3:04
    "Der Logarithmus zur Basis b
    von einer Zahl n ist p".
  • 3:04 - 3:08
    Hierzu fragen wir uns: "Die Basis hoch
    welchem Exponent ist die Zahl?"
  • 3:08 - 3:13
    "Die BASIS hoch welchem
    EXPONENT ist die ZAHL?"
  • 3:13 - 3:15
    Nun wissen wir:
    Logarithmen sind mächtig,
  • 3:15 - 3:18
    wenn es um sehr kleine
    oder sehr große Zahlen geht.
  • 3:18 - 3:21
    Logarithmen können sogar
    anstelle von Augentropfen
  • 3:21 - 3:23
    nach dem Schwimmen verwendet werden.
Title:
Logarithmen erklärt – Steve Kelly
Description:

Die ganze Lektion unter: http://ed.ted.com/lessons/steve-kelly-logarithms-explained

Was sind Logarithmen und warum sind sie nützlich? Lerne die Grundlagen dieser wichtigen mathematischen Funktionen und entdecke, warum Logarithmen uns sagen können, ob unsere Augen beim Schwimmen gereizt werden.

Lektion von Steve Kelly, Animation von TED-Ed, übersetzt von Sören Reinhold Künzel.
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Video Language:
English
Team:
closed TED
Project:
TED-Ed
Duration:
03:35

German subtitles

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