Представяне на квадратична форма с матрица

Как можем да запишем израз като ax^2 + bxy + cy^2 с помощта на матрици и вектори.

Привет!

Искам да разгледаме още нещо,

преди да опишем векторния вид

на квадратичната апроксимация на
функции на много променливи,

което е така трудно за произнасяне.

Да кажем, че имаме някакъв израз,

например 'а' по х на квадрат,

като х е променлива,

по b по х по у,

като у е друга променлива,

плюс с по у на квадрат.

а, b и се са константи,

а х и у са променливи.

Този израз има интересно име.

Той се нарича квадратична форма.

Това винаги ме е шокирало.

Винаги съм се чудил

какво означава това "форма"?

Знам какво представлява
квадратен израз,

където "квадратен" обикновено означава,
че нещо е на втора степен,

или ако имаме произведение
на две променливи,

но защо го наричат "форма"?

Принципно това означава,
че всичко тук е квадратно.

.

Тук нямаме х, което си стои самичко,

или някаква константа като 2,

когато събираме всички тези,

а вместо това имаме
само членове от втора степен,

а, разбира се, математиците
не искат да го нарекат

просто квадратен израз,

а вместо това са му дали
това засукано име,

така че изглежда по-страшно,
отколкото е всъщност.

Но както и да е –
имаме тази квадратична форма,

а въпросът е

как можем да я представим
във векторен вид.

По аналогия, ако
разгледаме линейните членове,

когато имаме, например,
а по х плюс b по у –

ще добавя още една променлива –

друга константа по следващата
променлива z.

Когато видиш нещо такова,

когато всяка променлива
просто е умножена по константа,

и когато съберем тези членове,
както в този случай,

можем лесно да изразим
това чрез вектори,

където събираме всички
константи в техен отделен вектор,

вектор, който съдържа а, b и с,

и можеш да си представиш
скаларното произведение

на този вектор и на вектора,

който съдържа всички променливи
компоненти х, у и z.

Удобството е, че тук можем
да използваме само един символ,

например V,

който да представя вектора,
съдържащ константите,

а после можем да запишем,

можем да намерим скаларното
произведение на този вектор

и другия вектор, като
използваме друг символ,

удебелено х,

който представлява вектор,
който съдържа всички променливи,

и при този начин на записване
всичко изглежда

като произведение на
константа и вектор,

точно както при функциите
на една променлива,

когато умножаваме число-константа
по число-променлива,

това е все едно да умножим
един константен вектор

по един променлив вектор.

Важността да запишем
нещата по този начин

е в това, че V може да е вектор,

който съдържа не само
три числа,

а стотици числа,

а х може да съдържа
сто съответни променливи,

а тогава записването става
много сложно.

По този начин можем да
го обобщим за повече измерения.

Въпросът е

можем ли да направим нещо такова

с квадратичната форма?

Защото, досещаш се,

да кажем, че въведем
променливата z,

тогава ако трябва
да имаме още един член,

някаква друга константа
по квадратния член х по z,

и после някаква друга константа

по z на квадрат – пак квадратен член –

и друг за квадратния член у по z,

и това излиза от контрол,

а ако започнеш да
разглеждаш случаи

със сто променливи,

това наистина сериозно
излиза извън контрол,

защото има много
различни квадратни членове,

така че ни е нужен добър
начин да ги изразим.

Сега ще ти покажа как го правим

и после ще го разнищим,
за да видим какъв е смисълът.

Обикновено, вместо
да разглеждаме b по х по у,

ние всъщност разглеждаме
това като 2 по някаква константа,

по х по у,

а това няма никакво значение.

Просто променяме стойността на b,

но ще видиш защо това е
по-удобно по този начин

само след малко.

Начинът да опишем квадратичната форма
като тази чрез вектори

е да съставим матрица две по две,

тъй като тук имаме две измерения,

като а и с са в единия диагонал,

а b е в другия диагонал,

понеже тези матрици
винаги са симетрични,

така че, ако си представиш
как изобразяваме цялата матрица

симетрично спрямо тази ос,

ще получим същото число,

така че е важно това, че
тук имаме някаква симетрия.

Това, което правим сега,
е да умножим вектора,

променливия вектор, който
съдържа х и у,

от дясната страна на тази матрица

а после го умножаваме отново,

но го обръщаме настрани,

така че вместо да е
вертикален вектор,

го транспонираме до
хоризонтален вектор

от другата страна.

Това е донякъде аналогично на това

да умножим двете променливи.

Умножаваме по два вектора,
но от двете страни на матрицата.

Това, между другото,
е подходящ момент,

ако не си наясно с умножението
на матрици,

да поставиш на пауза това видео

и да намериш видео уроците
за умножение на матрици

и да си припомниш или
да научиш как става,

защото, когато продължим напред,

аз ще приема, че

това е нещо, което ти знаеш.

Относно изчисляването на това,

първо да извършим
умножението отдясно.

Имаме произведение
на матрица с вектор.

Първият компонент, който
получаваме,

е като умножим горния ред

по всеки от компонентите на вектора,

значи това е а по х,

плюс b по у.

Плюс b по втория компонент у.

Аналогично постъпваме за долния елемент –

взимаме долния ред

и го умножаваме по съответните членове,

значи b по х,

плюс с по у.

Ето това получаваме,

когато умножим отдясно,

и, разбира се, запазваме
нашия транспониран вектор

ето тук отдясно,

ето тук отляво.

Сега имаме –

това е просто вектор 2 по 1,

а този е 1 по 2.

Можеш да си го представиш
като хоризонтален вектор,

или като матрица 1 по 2,

но когато умножаваме тези тук,

просто подравняваме
съответните членове.

Имаме х по целия този
израз отгоре,

така че х по (а по х плюс b по у).

После прибавяме това към
втория член у,

умножен по втория компонент
на този вектор,

което е b по х плюс с по у.

Значи умножаваме у по
b по х плюс с по у.

Всичко това са числа,
така че можем да опростим,

след като разкрием първите скоби,

имаме х по а по х,

което дава а по х на квадрат.

После, следващият член,
е х по b по у,

значи става b по х по у.

После тук имаме у по b по х,

така че това е същото като b по х по у,

следователно тук имаме,

можем тук да напишем 2,

защото това следва логично
от нашето развиване на израза.

Последният член е у по с по у,

което е с по у на квадрат.

Връщам се към първоначалната
квадратична форма,

която искахме да получим.

а по х на квадрат, плюс 2 по b по х, по у,
плюс с по у на квадрат.

Ето как развихме този член.

Когато го направим,

получаваме същия
квадратен израз.

Квадратичната форма е удобна,

защото се записва с матрица като тази,

и дава възможност да направим
всичко по един по-обобщен начин,

и вместо да запишем
цялата матрица,

можем просто да запишем буква,
например М,

която да представлява цялата матрица,

а после векторът, който
представлява променливата,

можем да запишем като удебелено х,

и след това умножаваме отдясно,

а после транспонираме вектора
и го умножаваме отляво,

така че това показва, че...

като сложим едно Т
като горен индекс,

което показва, че това е
х транспонирано,

умножено по матрицата отляво,

и този израз,

това е начинът, по който изглежда
квадратичната форма във векторен вид,

а удобството е същото,

както в линейния случай.

Точно както V може
да представлява

нещо, което съдържа
сто различни константи,

а х може да е сто
различни променливи,

можем да направим нещо
подобно и тук,

като напишем същия израз,

дори когато матрицата
М е супер голяма.

Да видим как ще изглежда това,

когато имаме три измерения,

но тук ми трябва повече място,

защото ще пиша още по-надолу.

Значи имаме х транспонирано,
умножено по матрицата,

умножено по удебелено х,

и да кажем, че това
представлява,

сега имаме х, у и z,

нашият транспониран вектор,

а после нашата матрица,

нашата матрица нека да е
а, b, с, d, е, f –

и понеже трябва да има
симетрия,

който член се намира на това място,

трябва да имаме същия
и ето тук,

все едно имаме осева
симетрия спрямо този диагонал.

По същия начин за с, тук
ще имаме същия член с,

а 'е' ще бъде ето тук.

Така че реално имаме
само шест свободни члена,

но те запълват цялата матрица,

а после отдясно

ще умножим това

по вектор [х; у; z].

Няма да решавам това
в този видео клип,

но вероятно се досещаш, че
когато умножим тази матрица

по този вектор,

а после умножим съответния
вектор, който получим,

по този транспониран вектор,

ще получим някаква
квадратична форма

с три променливи.

Идеята е, че това
ще стане много сложно,

но всъщност можем да изразим
нещата много по-просто по този начин.

Така с този инструмент

в следващото видео

ще ти покажа как можем
да използваме този начин на записване,

за да изразим квадратична
апроксимация

на функция на много променливи.

До скоро!