Area Circumradius Formula Proof

제가 이 영상을 통해 하고자 하는 것은

삼각형의 넓이와

그 삼각형의 외접하는 원, 혹은

외접원의

관계에 대해 알아보는 것입니다.

그래서 외접원에 대해 생각해보기 전에

삼각형의 넓이에 대해서 먼저 알아보도록 합시다

삼각형이 이렇게 생겼다고 해봅시다.

사실 이등변 삼각형으로 만들기는 싫습니다.

그러니 살짝 이렇게 바꿔서 그려봅시다

그래서 어느 특정 종류의 삼각형처럼
보이지 않게 말입니다.

그러고 이를 삼각형 ABC로 부르기로 합시다

이것은 꼭짓점들입니다.

또한, 꼭짓점 A에 마주보는 변은 변 a

여기는 b, 그리고 c로 하겠습니다.

삼각형의 높이를 안다면

삼각형의 넓이를 어떻게 구하는지
우리는 이미 알고 있습니다.

만약 우리가 여기에 수직선을 긋고

이 수직선의 길이가 h라면

[ABC]의 넓이가

-우리는 [ABC]를 이렇게
괄호를 써 표기하는데 이는

삼각형 ABC의 넓이를 의미합니다-

밑변의 1/2배, 즉 b와

높이의 곱과 같습니다.

좋습니다.

우리는 넓이를 구하는 식이 있습니다.

그러면 우리가 여기 이 식들을 이용해서

어떻게 삼각형의 넓이와

삼각형의 외접원의 반지름을
연결시킬 수 있을지 알아봅시다.

일단 외접원이란

삼각형의 꼭짓점들을 모두 지나는 원으로

모든 삼각형에는 각각 외접원이 존재합니다,

외접원을 한번 그려보도록 하겠습니다.

가장 어려운 부분이기도 하지만, 여기에 그려서

이렇게 보이도록 그려줍니다.

적당하네요. 원에 가까워 보입니다.

개념은 이해되셨을 거라고 생각합니다.

그래서 이것이 삼각형의 외접원

혹은 삼각형에 외접하는 원이라고 합니다.

표시를 해봅시다.

이것은 삼각형의 외접원입니다.

이제 이 외접원의 중심,

즉 외심에 대해서 생각해봅시다

아마

잘 모르겠네요, 눈으로 짐작하기에

b 옆쪽, 한 이쯤에 있을 것 같네요.

그래서 이것이 외접원의 중심입니다.

여기에 외접원의 지름을 그려봅시다

꼭짓점 B에서 시작해

외심을 지나

선을 그대로 그어 지름을 그립니다.

여기 이 점을 D라고 합시다

이제 꼭짓점 A, B, D를 지나는 삼각형을 그려봅시다

그래서 여기에 선을 하나 더 그리면

삼각형 ABD가 만들어집니다.

지금 우리는

-사실 그렇게 어려운 증명도 아닙니다-

한 변이

원의 지름이면서

원에 내접하는 모든 삼각형은

직각삼각형이라는 것을 증명하였습니다.

그리고 90도가 되는 각은

지름과 마주보는 각이라는 것을 알아냈습니다.

그래서 여기가 직각이 됩니다.

꽤나 간단하게 여러분들은

이 180도의 호를 갖고 있다는 사실을
도출해낼 수 있습니다.

사실 이것은 지름이기 때문입니다.

그리고 이 원주각을 대(對)하고 있습니다.

또, 우리는 호에 대(對)하는

원주각은

호의 길이의 절반이라는 사실을 증명하였습니다.

이것은 180도 호이므로

이 각은 90도 입니다.

어느 방법이든 이 각은 90도 입니다.

우리가 알아낼 수 있는 또 하나의 사실은

이 호,

제가 자홍색으로 그리고 있는

A에서 B까지의 호가

그림의 이 두개의 서로 다른 각을 대(對)하고

-이 호는 여기 각 ACB와

그러니까 여기와

각 ADB와 마주보고 있습니다.

이게 우리가 이렇게 작도한 이유입니다.

그러니까 여기 말입니다.

그래서 이 두 각은 서로 합동합니다.

이 둘은 모두 이 호의

절반만큼의 각도를 갖게 될 것입니다.

이 두 각은 둘 다

같은 호에 대(對)하는 원주각이기 때문입니다.

이때 흥미로운 사실을 하나 발견할 수 있습니다.

이 두 삼각형

삼각형 ABD와 삼각형 BEC는

두 개의 닮은 각이 있습니다.

이 두개의 삼각형은 직각과 이 자홍색의 각이 모두 있으므로

나머지 세번째 각도 같게 됩니다.

노랑색으로 표시해봅시다

이 세번째 각 또한 합동이 됩니다.

그래서 이 두 삼각형은 세개의 같은 각을 갖게 됩니다.

그러므로 이 삼각형들은 닮은 삼각형입니다.

아니면 대응되는 변들의 비가

같게 됩니다.

자 그러면 우리는 우리가 얻어낸 이 정보를

이 변의 길이,

즉 반지름의 두배인 지름이

이 작은 삼각형의 높이와
연관시키는데 사용할 것입니다.

우리는 작은 삼각형의 높이와

그 면적과의

관련성을 이미 알고 있습니다.

관련성을 이미 알고 있습니다.

거의 끝나갑니다.

그러면 해봅시다.

이것들은 두개의 닮은 삼각형입니다.

우리는 C에서 지름까지의 비를 알고 있습니다.

지름의 길이는 무엇일까요?

지름의 길이는 반지름의 2배입니다.

이것이 반지름입니다.

우리는 C에서 반지름의 두배의 비는

-우리가 같은 변을 이용한다는 것을 확인합시다.-

h와 삼각형의 빗변의 비

즉 H와 A의 비와 같다는 것을 알 수 있습니다.

우리가 이를 찾아낸 방법은

대응하는 변들을 보면 알 수 있습니다.

C와 빗변은 둘 다

여기에 있는 이 각과 인접하고 있습니다.

그래서 당신은 H와 A가 있는데,

C는 2r이고 H는 a입니다.

아니면, 다른 것도 할 수 있습니다.

첫째, 여기 이 h를 구하고

면적을 구하는 식에 대입할 수 있습니다.

사실, 그냥 이걸로 해봅시다.

그래서 만약 우리가 면적을 구하는 이 첫번째 식을 사용한다면

양변에 2를 곱하고

양변을 B로 나누면

이렇게 사라지게 됩니다.

그러면 H는 삼각형의 넓이 곱하기 3 나누기 B와 같다는 식을 얻게 됩니다.

우리는 이 관계를 c/2r이 h와 같다라고 다시 쓸 수 있습니다.

이는 면적 곱하기 2 나누기 B입니다.

그러고 이 모든 것을 A로 나눕니다.

아니면 이 두번째 부분을 다시 써서

면적 곱하기 2

-우리는 이 것을 b로 나누고 이를 또 다시 a로 나누는 것입니다-

그래서 이것은 ab와 같습니다.

따라서 우리는 이것을 무시해도 무방합니다.

우리는 c/2r는 면적 곱하기 2/ab라는 식을 알고 있습니다.

그러고 이제 우리는 교차 곱셈을 할 수 있습니다.

ab곱하기 c는 2r곱하기 2abc와 같게 됩니다.

이것은 4r곱하기 삼각형의 넓이가 될 것입니다.

저는 지금 이것과 이것의 곱은

저것과 저것의 곱과 같다는 교차곱셈을 이용하였습니다.

우리는 교차곱셈이 그저

양변에 2r를 곱하고

양변에 ab를 곱한 것임을 알고 있습니다.

우리는 좌변과

우변에

이렇게 하였습니다.

그래서 이것과 이것이 그러고 저것과 저것이 사라지게 됩니다.

그래서 우리는 ABC는 2r곱하기 2 abc

아니면 4r 곱하기 삼각형의 넓이와 같다는 것을 알게 되었습니다.

거의 다 왔어요

양변을 4곱하기 넓이로 나누면

끝납니다

이것과 이것이 사라지고 저것과 저것이 사라지면

관계가 나타납니다.

반지름, 그러니까 외접원의 반지름,

즉 삼각형에 외접하는 원의 반지름은

삼각형의 세변의 곱

나누기 삼각형의 넓이 곱하기 4와 같습니다.

괜찮은 결과네요.