Areal og radius i omskreven cirkel - bevis for formel

Videoen gennemgår beviset for formelen, der sætter arealet af trekanten i forhold til radius i trekantens omskrevne cirkel.

I den her video

skal vi finde forholdet

mellem arealet af en trekant

og trekantens omskrevne cirkel..

.

Lad os starte med

at se på arealet.

Vi kan eksempelvis have en trekant som den her.

Den skal ikke være ligebenet.

Lad os tegne den,

så den ikke ligner en speciel trekant.

Vi kalder den ABC.

Det her er vinkelspidserne,

og det her er længden af siderne.

a, b og c.

Vi ved, hvordan man udregner arealet,

hvis man kender højden.

Vi tegner højden her,

og højden har længden h.

.

Vi skriver ABC med klammer rundt om

for at skrive arealet af ABC.

Arealet er lig med en halv gange grundlinjen b

gange højden h.

Så langt så godt.

Nu har vi et udtryk for arealet.

Nu skal vi se,

om vi kan sætte arealet i forhold

til radius i den omskrevne cirkel.

Den omskrevne cirkel er en cirkel,

der går gennem alle trekantens vinkelspidser.

Alle trekanter har en omskreven cirkel.

Lad os prøve at tegne den.

Det her er den svære del.

Den ser nogenlunde således ud.

Det er fint nok.

Vi kan se, hvad det skal forestille.

Det her er trekantens omskrevne cirkel.

.

Vi navngiver den lige.

Den omskrevne cirkel.

Lad os nu kigge på centrum

i den omskrevne cirkel.

Det ser ud som om,

at det på øjemål

er omkring det lille b her.

.

Lad os tegne en diameter gennem cirklen.

Vi tegner den fra vinkelspids B

og ind gennem centrum i cirklen.

.

Vi kalder det her punkt for D.

Lad os nu lave en trekant med vinkelspidserne A, B og D.

Vi kan tegne endnu en linje her,

og vi får trekant ABD.

.

Vi har tidligere bevist,

at enhver trekant, der er indskrevet i en cirkel,

hvor 1 af siderne i trekanten

er diameteren i cirklen,

vil være en retvinklet trekant.

Vinklen, der er 90 grader,

er vinklen modsat diameteren.

Det er altså den her vinkel.

Det kan vi finde ud af rimelig simpelt.

Den her bue er 180 grader,

fordi den selvfølgelig er diameteren.

Den ligger lige overfor den indskrevne vinkel.

Vi har også tidligere bevist,

at en indskreven vinkel, der ligger lige overfor buen,

er halvt så stor som buens længde.

Det her er en 180-grader bue,

så vinklen er 90 grader.

Ligemeget hvad er det her en 90-grader vinkel.

Vi kan også se,

at vi har en bue herovre

tegnet i lilla.

Buen går fra A til B.

Buen ligger overfor 2 forskellige vinkler på vores tegning.

Den ligger overfor den her vinkel ACB,

og den ligger overfor vinkel ADB.

.

Det er derfor, vi har tegnet den sådan.

Den ligger altså også overfor den her.

De her 2 vinkler vil derfor være kongruente.

De har begge halvt så store vinkelmål

som den her bue har,

fordi de begge er indskrevne vinkler,

der ligger overfor den samme bue.

Nu er vi ved at have fat i noget interessant.

Vi har 2 trekanter her.

Trekant ABD

og trekant BEC.

Der er den rette vinkel her, den lilla vinkel og en tredje vinkel,

der må være lige store.

Vi tegner det i gul.

Den tredje vinkel må være kongruent med den her vinkel.

De har 3 vinkler er ens.

Derfor må de være ligedannede trekanter.

Forholdet mellem de ensliggende vinkler

må altså være det samme.

Vi kan nu bruge den her information

til at sætte længden af den her side,

altså diameteren, som er 2 gange radius,

i forhold til højden i den mindre trekant.

Vi kender allerede

forholdet mellem højden i den mindre trekant

og arealet af trekanten.

Vi er næsten i mål nu.

Lad os gøre det.

Det her er altså 2 ligedannede trekanter.

Vi skal sige noget om forholdet mellem C og diameteren.

Hvad er diameterens længde?

Den er 2 gange radius.

Det her er radius.

Vi ved,

at forholdet mellem C og 2 gange radiuser lig med forholdet mellem højden h

.

og hypotenusen A i trekanten.

.

Det fandt vi ud af

ved at se på de ensliggende sider.

C og hypotenusen er begge sider,

der er tilstødende til den her vinkel.

Vi har H og A.

C til 2r er lig med H til A.

Vi kan gøre mange ting nu.

Vi kan isolere h

og substituere med et udtryk for arealet.

Lad os gøre det.

Vi bruger det første udtryk for arealet.

Vi kan gange begge sider med 2

og dividere begge sider med B.

De her går ud med hinanden.

Vi får, at H er lig med 3 gange arealet over B.

Vi kan omskrive det til C over 2r er lig med h,

som er 2 gange arealet af trekanten over B.

Alt det står over A.

Vi kan også omskrive den anden del her.

.

Vi dividerer med B og derefter med A.

Vi dividerer altså med AB.

Vi kan ignorere det her.

C over 2r er lig med 2 gange arealet over AB.

Nu kan vi gange med den omvendte.

AB gange C er lig med 2r gange 2ABC.

Det er lig med 4r gange arealet af trekanten.

Det her gange det her

er lig med det her gange det her.

Når vi ganger på den her måde,

ganger vi begge sider med 2r

og derefter begge sider med AB.

Vi gjorde det her på både

højre og venstre side.

2r og AB.

De her går ud med hinanden, og de her udligner hinanden.

Vi får, at ABC er lig med 2r gange 2ABC.

Det er det samme som 4r gange arealet af trekanten.

Nu er vi i mål.

Vi dividerer begge sider med 4 gange arealet,

og så er vi færdige.

De her går ud med hinanden, og de her går ud med hinanden.

Nu har vi forholdet.

.

Radius i trekantens omskrevne cirkel

er lig med produktet af siderne i trekanten

divideret med 4 gange arealet af trekanten.

Det er et flot resultat.