-
V tomto videu chci přijít na vztah
mezi obsahem trojúhelníku
-
a kružnicí, jež ho opisuje,
tedy kružnicí jemu opsanou.
-
Než se zamyslíme nad kružnicí opsanou,
zamysleme se nad obsahem trojúhelníku.
-
Řekněme, že ten trojúhelník
vypadá nějak takto.
-
Vlastně nechci,
aby vypadal jako rovnoramenný.
-
Nakreslím ho tak,
-
aby nevypadal jako žádný
konkrétní typ trojúhelníku,
-
a pojmenuji ho ABC.
-
To jsou vrcholy,
-
strana naproti vrcholu A je 'a',
-
a pak jsou tady strany 'b' a 'c'.
-
Víme, jak spočítat obsah trojúhelníku,
když známe jeho výšku.
-
Když tady spustíme výšku,
-
která má délku 'h',
-
tak víme, že obsah trojúhelníku [ABC]…
-
… a napíšeme ABC v hranatých závorkách,
to znamená obsah trojúhelníku ABC…
-
… se rovná jedna polovina krát základna,
což je 'b', krát výška.
-
Docela jasné.
Máme výraz pro obsah.
-
Podívejme se, zda-li můžeme nějak
spojit věci související s obsahem
-
a poloměr kružnice opsané trojúhelníku.
-
Takže kružnice opsaná je kružnice,
která prochází všemi vrcholy trojúhelníku
-
a každý trojúhelník má kružnici opsanou.
-
Pokusím se nakreslit…
-
To je ta složitá část.
-
Takže mohlo by to vypadat nějak takhle.
-
To by celkem šlo.
Docela se to podobá kružnici.
-
Myslím, že máte obecnou představu.
-
Tohle je kružnice opsaná
tomuto trojúhelníku.
-
Kružnice opsaná trojúhelníku.
-
Pojmenuji to.
-
Tohle je kružnice opsaná
tomuto trojúhelníku.
-
Nyní se pojďme zamyslet
nad středem kružnice opsané.
-
Vypadá to, že bude ležet…
-
… nevím, jen tak hádám…
-
…na tomto písmenku 'b'.
-
Takže to je střed kružnice opsané.
-
Nakreslíme průměr kružnice a povedeme
ho z bodu B skrz střed kružnice.
-
Z bodu B půjdeme sem a pak
budeme pokračovat až sem.
-
Tomuto bodu budeme říkat bod D.
-
Nyní pojďme sestrojit
trojúhelník s vrcholy A, B a D.
-
Prostě sem přidáme další čáru
a máme trojúhelník ABD.
-
Geometrickou hříčkou jsme dokázali…
-
… a vlastně to není úplně bláznivý důkaz…
-
… že jakýkoliv trojúhelník
vepsaný do kružnice,
-
kdy jedna strana trojúhelníku
je průměrem kružnice,
-
bude pravoúhlý trojúhelník.
-
A úhel, jehož velikost bude 90 stupňů,
leží naproti průměru.
-
Takže tady je pravý úhel.
-
Můžete si to odvodit, je to celkem jasné.
-
Máte tento oblouk, který má 180 stupňů…
-
… protože tohle je zjevně průměr kružnice…
-
… a leží pod tímto vepsaným úhlem.
-
Také jsme si dokázali, že vepsaný úhel,
který leží nad obloukem,
-
bude polovina délky oblouku.
-
Tento oblouk má 180 stupňů,
-
takže tenhle úhel bude 90 stupňů.
-
Každopádně tenhle úhel bude mít 90 stupňů.
-
Dále vidíme, že tady máme tento oblouk,
-
ten, který kreslím světle fialovou,
ten, který jde z bodu A do bodu B.
-
Ten oblouk leží v našem náčrtku
pod dvěma různými úhly,
-
leží pod tímhle úhlem, úhlem ACB,
-
ale také leží pod úhlem ADB,
proto jsme ho sestrojili takhle.
-
Takže leží také pod tímhle,
-
tudíž tyhle dva úhly budou shodné.
-
Oba dva budou mít velikost
poloviny úhlu tohoto oblouku,
-
protože jsou oba dva vepsané úhly,
které leží nad stejným obloukem.
-
A objevilo se nám tady něco zajímavého.
-
Máme dva trojúhleníky,
-
trojúhelník ABD a trojúhelník BEC,
které mají dva úhly, které jsou stejné…
-
Mají pravý a tento světle fialový úhel
-
a jejich třetí úhel musí být stejný.
-
Nakreslím ho žlutě.
-
Tento třetí úhel musí být
shodný s tímto úhlem.
-
Mají tři stejné úhly,
takže to musí být podobné trojúhelníky.
-
Neboli poměr odpovídajících
stran musí být stejný,
-
Tuto informaci teď můžeme použít,
abychom nalezli vztah mezi touto stranou…
-
… která je průměrem,
má délku 2 krát poloměr…
-
… a výškou tohoto menšího trojúhelníku.
-
Známe vztah mezi výškou menšího
trojúhelníku a jeho obsahem,
-
takže jsme v podstatě v cílové rovince.
-
Pojďme na to.
-
Takže tyto trojúhelníky jsou si podobné.
-
Známe poměr strany 'c' a průměru.
-
Jak dlouhý je průměr kružnice?
-
Délka průměru kružnice je 2 krát poloměr.
-
Tohle je poloměr.
-
Víme, že poměr 'c' ku '2 krát poloměr'
-
bude úplně stejný jako poměr strany 'h'…
-
… dáme pozor, zda myslíme stejnou stranu…
-
… a přepony tohoto trojúhelníku,
-
takže bude stejný jako
poměr stran 'h' a 'a'.
-
A přišli jsme na to tak, že jsme se
podívali na odpovídající strany.
-
Strana 'c' a přepona jsou obě
přilehlé k tomuto úhlu.
-
Takže máte 'h' a 'a',
-
'c' ku '2 krát poloměr'
je to samé jako 'h' ku 'a'.
-
Nebo bychom mohli
udělat spoustu dalších věcí.
-
1) Mohli bychom za 'h'
dosadit výraz s obsahem.
-
Vlastně to pojďmě udělat.
-
Když použijeme původní výraz pro obsah,
-
tak můžeme obě strany vynásobit dvěma.
-
A obě je vydělit 'b'.
-
Tohle se vykrátí s tímhle,
tohle s tímto.
-
Dostaneme, že 'h' se rovná
(2 krát obsah) lomeno 'b'.
-
Můžeme tento vztah přepsat jako
'c' lomeno (2 krát poloměr) se rovná 'h',
-
což je 2 krát obsah
našeho trojúhelníku lomeno 'b'
-
a to všechno bude lomeno 'a'.
-
Nebo bychom mohli tuto druhou část
přepsat jako 2 krát obsah lomeno…
-
… dělíme stranou 'b' a pak stranou 'a',
což je to samé, jako bychom dělili 'ab'.
-
Tohle můžeme ignorovat.
-
Takže máme 'c' lomeno (2 krát poloměr)
se rovná (2 krát obsah) lomeno 'ab'.
-
A teď můžeme násobit křížem.
-
'ab' krát 'c' se bude rovnat
2 krát poloměr krát '2abc',
-
takže to bude 4 krát poloměr
krát obsah našeho trojúhelníku.
-
Prostě vynásobím křížem tohle a tohle
a to se rovná tohle krát tohle.
-
Víme, že násobení křížem
-
je jen násobení obou stran
rovnice 2 krát poloměrem
-
a násobení obou stran rovnice 'ab'.
-
Udělali jsme to jak na levé straně,
tak na pravé straně.
-
2 krát poloměr a 'ab'
se zjevně vykrátí s tímto,
-
tohle s tímhle
-
a dostaneme, že 'abc' se rovná
2 krát poloměr krát '2abc'
-
nebo 4 krát poloměr krát
obsah našeho trojúhelníku.
-
A jsme v cílové rovince.
-
Obě strany vydělíme 4 krát obsahem
-
a máme hotovo.
-
Tohle se vykrátí s tímhle,
toto s tímto a máme náš vztah.
-
Poloměr, nebo můžeme říkat
poloměr kružnice opsané…
-
… poloměr kružnice opsané
tomuto trojúhelníku…
-
… se rovná násobku stran toho trohúhelníku
-
děleno 4 krát obsah trojúhelníku.
-
To je docela úhledný výsledek.
