Доказателство на формулата за връзката лице-радиус на описаната окръжност

Доказване на формулата, свързваща лицето на триъгълник и радиуса на описаната окръжност

Това, което искам
да направя в това видео,

е да намеря връзка

между лицето на триъгълник

и описаната около
него окръжност

или описана окръжност.

Преди да разгледаме
описаната окръжност,

нека просто разгледаме
лицето на триъгълника.

Нека кажем, че триъгълникът
изглежда по следния начин.

Всъщност не искам да го правя
да изглежда равнобедрен.

Нека го направя малко по-произволен,

така че, да не прилича на нито един
определен вид триъгълник.

Ще нарека този триъгълник ABC.

Това са върховете

и след това дължината на страната,
срещу А e а,

b ето тук, и после c.

Знаем как да изчислим лицето
на този триъгълник,

ако знаем неговата височина.

Ако пуснем височина ето тук

и ако тази височина
има дължина h,

знаем, че лицето на [ABC],

- и ние пишем [ABC]
със скоби около него,

означава лицето
на триъгълника [ABC] -

е равно на 1/2 по основата,
която е b,

по височината.

Ясно.

Имаме израз за лицето.

Да видим дали можем
по някакъв начин

да свържем някои
от тези неща от лицето

с радиуса на описаната
около триъгълника окръжност.

Описаната окръжност
е окръжност,

която минава през всичките
върхове на триъгълника

и всеки един триъгълник
има описана около него окръжност.

Нека се опитам да я начертая.

Това е трудната част,
точно ето тук,

така че, тя може
да изглежда така.

Това е добре. Достатъчно
близко е до окръжност.

Мисля, че добиваш
основна представа.

Това е описаната окръжност
за този триъгълник

или описаната около този
триъгълник окръжност.

Нека я означа.

Това е описаната окръжност
за този триъгълник.

Сега нека помислим за центъра
на тази описана окръжност,

понякога наричан просто център
на окръжността.

Изглежда, че той ще бъде,

не знам, просто
го преценявам на око,

точно на това малко b тук.

И така, това е центърът
на тази окръжност.

Нека начертая диаметъра
на тази описана окръжност

и да начертая диаметър от връх B

през този център.

Отиваме до там
и просто продължаваме до тук.

Нека наречем тази точка там D.

Сега нека създадем триъгълник
с върхове A, B и D.

Можем просто да начертаем
друга права тук

и получаваме триъгълник ABD.

Сега доказахме в клиповете
по геометрия –

и това всъщност не е някакво
странно доказателство –

че всеки триъгълник, който
е вписан в окръжност,

където една от страните
на триъгълника

е диаметър на окръжността,

че това ще бъде
правоъгълен триъгълник.

И ъгълът, който ще бъде
90 градуса

е ъгълът срещу диаметъра.

Така че, това тук
е правоъгълен триъгълник.

Можеш да докажеш
това много лесно.

Имаш тази дъга тук,
която е 180 градуса,

защото очевидно
това е диаметър.

И тя отрязана
от този вписан ъгъл.

Доказахме също,
че вписаният ъгъл,

който отрязва дъгата,

ще бъде половината
от дължината на дъгата.

Това е 180 градусова дъга.

Така че това ще бъде
90 градусов ъгъл.

Така че по всякакъв начин,
това там ще бъде 90 градуса.

Другото нещо, което виждаме,

е, че имаме тази дъга тук,

която чертая в лилаво,

дъгата, която отива от A до B.

Тази дъга отговаря на
два различни ъгъла в чертежа

- тя отговаря на този ъгъл тук,
ъгъл ABC,

отговаря на това точно там –

но също отговаря и на ъгъл ADB.

Ето защо я построяваме
по този начин.

И така, тя също отговаря на това.

Така че тези два ъгъла
ще бъдат равни.

Те и двата имат половината
от мярката на ъгъла

на тази дъга тук,

защото те и двата
са вписани ъгли,

отговарящи на една
и съща дъга.

Нещо интересно се появява.

Имаме два триъгълника тук,

имаме триъгълник ABD
и триъгълник BEC.

Те имат по два ъгъла,
които са равни.

Имат прав ъгъл
и този лилав ъгъл,

и техните трети ъгли трябва
да бъдат също равни помежду си.

Ще ги направя с жълто.

Третият ъгъл трябва
да бъде равен на този ъгъл.

Те имат три равни ъгъла.

Така че трябва да бъдат
подобни триъгълници

или отношенията между
съответните страни

трябва да бъдат равни.

Можем да използваме
тази информация сега,

за да свържем дължината
на тази страна,

която е наистина диаметъра,
и е два пъти радиуса,

с височината на този
по-малкия триъгълник.

Знаем връзката

между височината
на по-малкия триъгълник

и лицето,

и ние по същество
сме на финалната права.

Нека направим това.

Това са два подобни триъгълника.

Знаем, че отношението на c
към този диаметър тук...

Каква е дължината на диаметъра?

Дължината на диаметъра
е 2 по радиуса.

Това е радиусът.

Знаем, че отношението
c към два пъти радиуса

ще бъде точно същото нещо
като отношението на h –

трябва да сме сигурни,
че използваме същата страна –

към хипотенузата
на този триъгълник,

като отношението h към a.

И начинът, по който
намерихме това, е

като погледнахме
съответните страни.

c и хипотенузата са
и двете страни,

съседни на този ъгъл ето тук.

Така че имаме h и a.

И така, отношението c към 2r
е същото като h към a.

Можем да направим
много неща.

Първо ще намерим h тук

и ще заместим в израза
за лицето.

Всъщност нека просто
направим това.

Ако използваме този първия
израз за лицето.

Можем да умножим
и двете страни по 2.

И да разделим
и двете страни на b.

Това се унищожава с това.

Получаваме h е равно
на 3 по лицето върху b.

Можем да напишем отново тази зависимост
като c/2r е равно на h,

което е 2 по лицето на триъгълника,
върху b.

И след това всичко това
ще бъде върху a.

Или можем да напишем отново
тази втората част тук

като 2 по лицето върху –

разделяме на b и след това
разделяме на a,

това е същото нещо,
като разделянето на ab.

Така че, можем да игнорираме
това тук.

Имаме c/2r е равно на 2
по лицето върху ab.

И сега можем
да умножим на кръст.

ab по c ще бъде равно
на 2r по 2abc.

Това ще бъде 4r по лицето
на триъгълника.

Аз просто умножавам
на кръст – това по това,

ще бъде равно
на това по това.

Знаем, че умножението
на кръст е просто

умножението на двете страни
на уравнението по 2r

и умножението на двете страни
на уравнението по ab.

Направихме това
от лявата страна.

Направихме това също
и от дясната страна.

2r и ab.

Очевидно, че това се съкращава с това,
това се съкращава с това.

Така че получаваме abc
е равно на 2r по 2abc.

Или 4r по лицето на триъгълника.

И сега сме на финалната права.

Разделяме двете страни
на това на 4 по лицето

и сме готови.

Това се съкращава с това,
това се съкращава с това

и получаваме връзката.

Радиусът или можем да наречем това
радиус на описаната окръжност...

Радиусът на описаната около
този триъгълник окръжност

е равен на произведението
от страната на триъгълника,

делено на 4 пъти лицето
на триъгълника.

Това е доста ясен резултат.