Binomial Theorem (part 2)

Binomial Theorem and Pascal's Triangle

上个视频我们知道 如果要

计算(a+b) ^n 当n比2大

尤其是比3大时

用乘法一步步做很麻烦

其本质就是用分配律

或者说是做多项式乘法

或者任何你们学过的性质

这样非常的乏味

接着我们学习了二项式定理

它告诉我们

原式等于k从0到n

C(n,k)的和-- 对吧？

C(n,k)我们在学组合时学过

是二项式系数

而这就是它被叫做二项式系数的原因

因为实际上它是二项式定理里的系数

x^(n-k)--

对不起 我老是写成x

我来撤销这步

编辑 撤销

编辑 撤销

这样花的时间太长了

我来-- 不 这不是我想做的

我来擦掉它

好了

我总是写成x

它可以是x

但那样的话这里也得是x

或许我应该那样做

--a^(n-k)乘以b^k

那么每一项-- 你们知道n是常数

但每一项

从k=0开始并且k一直增加

上个视频我们做了个例题

计算了(a+b)^4

你们当时看到了 那很乏味

但比用乘法来做要好些

并且如果你们能很快的计算

不同n和k值的C(n,k) 就会相当快了

那么我要做的是教你们

一种稍微快点的方法

用它计算二项式系数会快一些

之后

我会告诉你们一个更快的方法

不用记住这些系数--

有些人就是这么做的

这种方法很神奇

可以得到任意二项式的结果

那么我的稍微快点的方法是什么

上个视频我曾提示过

这些系数是帕斯卡三角形的项

那么帕斯卡三角形是什么呢？

如果我们以1开始 接着你们--

我来做一下-- 在这做

实际上我会以两个1开始

你要做的是 把它们加起来

得到2

接着把1拿下来

拿到左右两边

注意 这些是(a+b)^2的系数

这些是a+b的系数

你们也可以说是(a+b)^1

1个a加1个b

这是a^2-- 你们可以重新写

(a+b)^2 等于a^2+2ab+b^2

那么这些是(a+b)^2的系数

我随机换种颜色

1+2是3

2加1是3

把1拿下来

把1拿下来

现在有(a+b)^3的系数了

这就是我们在--

这是我们一开始做的

那时我们进行了相乘

但现在我们已经知道规律了

第一个系数是1

那么就是a^3 b^0

所以我们不需要写出来b-- 加3

仅需把指数减1

3a^2・b+3ab^2 接着是加a^0

也就是1-- b^3

这样非常快

我们可以继续写出帕斯卡三角形

那么我们来做下一个

把1拿下来

1+3是4

3+3是6

这很简洁

我是说很简单

可以不用计算

就生成二项式系数

我想你们可以称它为一种算法

或者画图法

正如你们期望的 它也是对称的 对吧？

因为可以把b和a互换

a+b和b+a是一样的

所以你们会得到一样的答案

那么-- 我们很快地计算出了

(a+b)^4的二项式系数

这比我们在上个题中做的快多了

(a+b)^4

那么接下来我们-- 我想你们懂了

不过 因为它是1-- 我用不同的颜色来写

a^4 b^0

加上4a^3b^2-- 不对 是b^1

加6a^2・b^2

这个是中间数

a和b在这点都有一样的指数

这样才讲的通

接下来加4a-- 指数减1-- b^3

加b^4

1b^4 对吧？a^0

所以我们并没在这里写a

所以是b^4

这和我们在上个视频最后所做的相比

是很快的了

我们还可以继续

对于5次幂

1+4=5

4+6=10

6+4=10

4+1=5

把1拿下来

这些是(a+b)^5

展开式的系数

所以这是一种快速得出答案的方法

虽然-- 它会占用不少空间

它对于8次幂 9次幂或者10次幂

也能很好的适用

不过那样会变得很大而且麻烦

但你们该知道

对于7 8 9次幂 你们都可以用这种方法

可以迅速地画出来

这样比计算每个二项式系数

来的快一些

尽管你们可能可以很快地计算C(n,k)

那样就不用画图了

那么先不去管这种方法

我教你们一种更快的

也不需要记忆

这种方法允许你们在头脑里

计算(a+b)^n

可以到20次幂

这取决于你们心算的能力了

技巧在于--

我鼓励你们做一下实验 了解一下为什么可行

但这种方法确实管用

我想这甚至不能叫窍门

它只是-- 这里的帕斯卡三角形也不是花招

帕斯卡三角形只是一种供选择的方法

可以产生二项式系数

而我要教你们的仅仅是

另一种生成二项式系数的方法

虽然这种方法可以非常快的得出答案

思考一下为什么这种方法管用

对你们很有好处

我将以一个具体的例子开始

我用x+y取代a+b

因为大家可能见过二项式定理

是那么写的

对于(x+y)^10

如果要用乘法来做

会花我们很多时间

可能得20到30分钟

才能计算出所有的二项式系数

并且不犯错误

可能不会那么久 但确实会比较耗时

如果画帕斯卡三角形则会占用一整页

而且容易犯错

那么我该怎么做呢？

你们知道一点

它会有11项 对吧？

因为会以x^10 y^0

作为第一项

一直到y^10

那么从0开始一直到10 总共11项

所以展开式有11项

我希望你们做的是写出第一项

仅写数字

你们可以写出来所有项

但不一定非要写到11 我会告诉你们原因

不过 我们先来写一下 一直到11

那么1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

把它挤进去

你们会发现

不需要一直到11

可以在6这停下

这里就是诀窍所在了

第一项是x^10

对吧？

x^10

我们知道是x^10

第二项是x^9

接着是x^8

再下面是x^7

有点乏味了 x^6

x^5

x^4

x^3

x^2

x

接着是x^0 或者说1

开始做y项

这是x^10

这有些暗了 换一种颜色

这是y^0

不需要写

接着是y

y的1次方

y^2

y^3

y^4

y^5

这是中间项

y^6

y^7

y^8

y^9

希望你们不会糊涂

这些都是单独项

你们不要认为我要把它们乘起来

接着 我们只需计算

每一项的系数

这些是我画的分隔线

我不想再迷惑你们了

我只是想-- 因为我写的这些项

看起来连在一块了

不过我想你们知道我在干嘛

现在我们必须计算系数了

这里就是巧妙之处

第一项的系数

我在这里和这里画条分隔线

第一项的系数是1 对吧？

那么系数是1

第二项的系数

是第一项的指数

乘以它的系数-- 10乘以1

除以那一项的序号

所以是10乘以1除以1

也就是10

第三项的系数

是前一项x的指数 对吧？

也就是9乘以10

9乘10除以前一项的序号--

所以就是9乘10除以2

9乘10是多少？

是40--不对 是90 再除以2 等于45

继续

第四项是第三项的x的指数--

也就是8--

我换种颜色来写--

是8乘以系数

乘以45除以前一项的序号

是第三项

除以3

也就是8乘15

等于80加40

也就是120

这是第四项

我画一下分隔线

我知道有些复杂了

我会像这样一直写下去

如果你们练习的多了

实际上可以很快地直接写出来

那么第五项

第五项是什么？

用x的指数

也就是7 乘以第四项的系数

乘120-- 除以4

对吧？

除以前一项的序号 也就是4

最后是7乘以30 等于210

这是第五项

第六项是多少？

是6乘以

x的指数-- 乘以210

乘以它的系数-- 乘以第五项的系数

除以5 因为是第五项

210是5的多少倍

42倍 对吧？

那么就是6乘以42-- 等于240加12

252

一旦到了中间项

第六项在中间-- 你们会看到

到了中间项就开始往相反的方向走

从帕斯卡三角形

或者二项式定理的定义

我们知道系数是对称的

所以我们知道下一项和--

这是中间项 对吧？

所以下一项系数是210

你们可以用同样的方法做一下

这仅是一种快速的方法

这个是120

这项是45

这是第10个系数

等于10

当然最后一个系数是1

1y^10

所以我要写出来的话 答案是--

如果你们练习过

你们会发现可以做的很快

x^10+10x^9y

+45x^8・y^2

+120x^7・y^3

+210x^6・y^4 +252--

已经到中间项了-- x^5

y^5 +210x^4・y^6

没地方了

不过你们可以推断出来我下面要做的

这对你们很有意义

以让你们看到 当做-- 比如说(x+y)^6时

会很简单

会花费很长时间

再见

如果真要把(x+y)^10乘出来

希望你们了解

或许我应该用一个小的例子再做一部视频