-
-
-
Bir önceki videoda şunu öğrenmiştik: "a artı b"nin
-
n'inci kuvvetini alıyorsak ve "n" de 2'den çok büyük bir sayıysa,
-
hatta 3'ten büyük olması bile yeterli, çünkü o zaman
-
dağılma özelliğini kullanıp tek tek çarparak ya da
-
polinom çarpımını kullanarak bulmak
-
resmen bir işkence olur.
-
İşin içinden çıkamazsınız.
-
Sonra binom teoremini öğretmiştim.
-
Teoreme göre bu ifade şu toplama eşitti: "k eşittir sıfır"dan
-
n'ye kadar; n'nin k'li kombinasyonları...
-
Kombinasyon konusunda, bunun
-
"binom katsayısı" olduğunu öğrenmiştik.
-
Adının "binom katsayısı" olmasının nedeni,
-
binom teoreminde katsayı olmasıdır.
-
iks üssü "n eksi k". Affedersiniz, her defasında iks yazıyorum.
-
Onu geri alayım.
-
"Düzen", "geri al"
-
"Düzen", "geri al"
-
Amma uzun sürdü.
-
En iyisi... Hayır, burası doğru değil.
-
En iyisi sileyim.
-
Tamamdır.
-
iks yazıp duruyorum.
-
iks yazabiliriz tabii, ama o zaman
-
bu da iks olmalı.
-
-
-
Bir dahaki soruda artık.
-
("a üssü" "n eksi k"), çarpı "b üssü k".
-
"n" burada sabit kalıyor ama terimleri düşünürseniz,
-
"k eşittir sıfır"dan başlıyoruz ve k'yi artırıyoruz.
-
Önceki videoda, "a artı b"nin 4. kuvvetini bulduğumuz
-
bir örnek yapmıştık.
-
Hatırlarsınız, epey zahmetliydi. Tabii, tek tek çarpmak
-
kadar zahmetli olamaz.
-
Farklı "n" ve "k" değerleri için "n'nin k'li kombinasyonlarını"
-
hızlı hesaplamayı başarırsanız, bunu da hızlı yaparsınız.
-
Bu videoda, bir öncekinden biraz daha hızlı
-
bir yöntem göstereceğim.
-
Binom katsayısını hesaplamanın daha hızlı bir yöntemini göstereceğim.
-
Ardından, bir de süper hızlı bir yöntem göstereceğim.
-
Bu yöntem aslında, katsayıları ezberlemek gibi bir şey.
-
Bazılarının zaten ezberlediğini biliyorum. Bu yöntem,
-
binomları hesaplama konusunda harika bir yöntemdir.
-
Önce, biraz daha hızlı olan yöntemi görelim.
-
Bir önceki videoda bir ipucu vermiştim.
-
Katsayıların, Paskal Üçgeni'nin terimleri olduğunu söylemiştim.
-
Peki, Paskal Üçgeni neydi?
-
Üçgeni yazmaya 1 ile başlarsak...
-
En iyisi bunu... Neyse, buraya yazayım, daha iyi.
-
En iyisi iki adet 1 ile başlayalım.
-
Şimdi bu ikisinin toplamını alıyoruz.
-
O da 2 eder.
-
Ardından, sağa ve sola birer adet
-
1 indiriyoruz.
-
Dikkat ederseniz, bunlar, "a artı b"nin karesinin,
-
katsayıları.
-
-
-
Bunlar da "a artı b"nin katsayıları.
-
("a artı b" üssü 1) de diyebiliriz.
-
"1 a" artı "1 b".
-
Bu, "a kare"nin... Baştan yazayım.
-
"a artı b"nin karesi; (1 "a kare") artı "2 ab" artı (1 "b kare").
-
Gördüğünüz gibi, "a artı b"nin karesinin katsayıları.
-
Renk değiştireyim.
-
"1 artı 2", 3 eder.
-
"2 artı 1", 3 eder.
-
1'i indir.
-
1'i indir.
-
Bunlar da "a artı b"nin küpünün
-
katsayıları.
-
Bir önceki videoda
-
tek tek çarparak
-
hesaplamıştık.
-
Katsayıları hatırlıyorsunuzdur.
-
İlk katsayı 1.
-
(1 "a küp") çarpı "b üssü sıfır".
-
Yani, b'yi yazmaya gerek yok. Artı; 3...
-
a'nın üssünü 1 derece indiriyoruz.
-
(3 "a kare" "b") artı (3 "a" "b kare") artı (1 "a üssü sıfır"),
-
yani 1, çarpı "b küp".
-
Epey hızlı oldu.
-
Paskal Üçgeni'ni yazmaya devam edebiliriz.
-
Sıradakini yapalım.
-
1'i indirelim.
-
"1 artı 3", 4 eder.
-
"3 artı 3", 6 eder.
-
Bu çok kullanışlıdır.
-
Binom katsayılarını, hesaplamaya gerek kalmadan
-
kolayca elde edebiliyorsunuz.
-
Çok kolay. Buna bir "algoritma" ya da
-
"şablon" diyebiliriz. 4 ve 1.
-
Tıpkı beklediğimiz gibi simetrik.
-
"b" ile "a"nın yerini değiştirebilirsiniz.
-
"a artı b" ile "b artı a" aynı şeydir.
-
O yüzden, sonuçlar da aynı olacak.
-
Gördüğünüz gibi, "a artı b"nin 4. kuvvetinin binom katsayılarını
-
çok hızlı bir şekilde bulduk.
-
Bir önceki örnekte yaptığımızdan çok daha hızlı.
-
"a artı b" üssü 4.
-
Ana fikri anlamışsınızdır.
-
Başka bir renkle yazayım.
-
(1 "a üssü 4" "b üssü sıfır") artı (4 "a küp"
-
"b üssü 1")
-
artı (6 "a kare" "b kare").
-
Çok mantıklı, değil mi? Bu, ortanca terim
-
olduğu için, "a"nın ve "b"nin üssü
-
aynı.
-
Artı; 4... "a"nın üssünü 1 azalttık. ("a" "b küp")
-
Artı; "b üssü 4".
-
1 çarpı "b üssü 4". Burada "a üssü sıfır" var
-
ama 1 olduğu için yazmıyoruz.
-
1 çarpı "b üssü 4".
-
Bir önceki videodaki yönteme göre
-
çok daha hızlı.
-
Bu şekilde devam edebiliriz.
-
5. kuvveti de yapabiliriz.
-
"1 artı 4", 5 eder.
-
"4 artı 6", 10 eder.
-
"6 artı 4", 10 eder.
-
"4 artı 1", 5 eder.
-
1'i indir.
-
Bunlar, "a artı b"nin 5. kuvvetinin
-
katsayıları.
-
Gördüğünüz gibi, epey hızlı bir yöntem.
-
Ama tabii biraz yer kaplıyor.
-
8., 9. ya da 10. kuvvete kadar
-
hiç sorunsuz işler.
-
Daha sonrasında epey çetrefilli olmaya başlar.
-
Ama 7., 8. ya da 9. kuvvete kadar
-
bunu kullanabilirsiniz.
-
Bu şablonu hızlıca yazıp çözebilirsiniz.
-
Her bir binom katsayısını tek tek hesaplayarak yazmaktan
-
çok daha hızlıdır.
-
Tabii, n'nin k'li kombinasyonlarını hızlı hesaplayabiliyorsanız,
-
bu yönteme ihtiyacınız olmaz.
-
Gelin şimdi, bundan da hızlı bir yöntem göstereyim.
-
Bu bir nevi ezber yöntemi aslında.
-
Bu yöntem sayesinde, "a artı b"nin
-
istediğiniz kuvvetini, örneğin 20. kuvvetini
-
aklınızdan hesaplayacaksınız.
-
Tabii, akıldan hesap yapma konusunda iyiyseniz.
-
Şimdi size bu numarayı göstereyim.
-
Ayrıca, bu yöntemin nasıl işlediğini
-
irdelemenizi şiddetle öneririm.
-
Bu aslında bir "numara" değil.
-
Paskal Üçgeni'nin bir numara olduğunu söyleyemeyiz.
-
Paskal Üçgeni, binom katsayılarını bulmak için
-
kullanılan farklı bir yöntemdir. Size şimdi de
-
binom katsayılarını bulmak için başka bir yöntem
-
göstereceğim.
-
Hatta o, daha hızlı bir yöntem.
-
-
-
Bu yöntemin nasıl işlediğini irdelemeniz de ayrıca iyi olur.
-
Çok güzel bir örnekle başlıyorum.
-
"a artı b" yerine "iks artı y" olsun.
-
Binom teoreminin o şekilde yazıldığını
-
görmüş olabilirsiniz.
-
"iks artı y"nin 10. kuvvetini bulalım.
-
Tek tek çarparak bulmaya kalkarsam
-
tüm günümü alır.
-
Yalnızca binom katsayılarını bulmam bile
-
20 ya da 30 dakika sürer.
-
O da, hiç hata yapmazsam.
-
Belki biraz daha kısa sürer ama yine de az değil.
-
Paskal Üçgeni'ni yazmak için de 1 sayfa gerekir,
-
ki zaten arada bir yerde hata yaparım herhâlde.
-
Peki, bunu nasıl bulacağım?
-
Öncelikle şuradan başlayalım:
-
Bunun toplam 11 terimi olacak, değil mi?
-
Çünkü ("iks üssü 10" çarpı "y üssü sıfır)
-
ile başlayacağız
-
ve son olarak da "y üssü 10" ile bitireceğiz.
-
Sıfır ile başlayıp 10 ile bitirirseniz, 11 teriminiz olur.
-
11 terim olacak.
-
Şimdi şunu yapın:
-
İlk olarak sayıları yazın.
-
Böylece kaç terim olduğunu bilirsiniz.
-
Aslında 11'e kadar gitmenize de gerek yok ama...
-
Neyse, en iyisi, 11'e kadar hepsini yazalım.
-
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ve 11.
-
Sayfa yetti.
-
Birazdan göreceksiniz, 11'e kadar yazmaya
-
-
-
gerek yok aslında. 6'da bitireceğiz.
-
İşin sırrı şu:
-
İlk terimin, "iks üssü 10" olduğunu
-
biliyoruz, değil mi?
-
"iks üssü 10" olacak.
-
İlk terimde "iks üssü 10" olacak.
-
İkinci terimde "iks üssü 9" olacak.
-
Sonra, "iks üssü 8".
-
Sonra, "iks üssü 7".
-
Biraz angarya. "iks üssü 6".
-
"iks üssü 5".
-
"iks üssü 4".
-
"iks küp".
-
"iks kare".
-
iks.
-
Burası da, "iks üssü sıfır" olduğundan, 1 oluyor.
-
Şimdi de y'leri yazayım.
-
Burası "iks üssü 10".
-
Bu renk pek de parlak değilmiş.
-
Burası "y üssü sıfır".
-
Yazmaya gerek yok.
-
Burada 1 adet "y" var.
-
"y üssü 1".
-
"y kare".
-
"y küp".
-
"y üssü 4".
-
"y üssü 5".
-
Çok mantıklı, çünkü ortanca terim.
-
"y üssü 6".
-
"y üssü 7".
-
"y üssü 8".
-
"y üssü 9".
-
Aklınız karışmasın. Buınların her biri
-
ayrı birer terim.
-
Bunları çarptığımızı düşünmeyin sakın.
-
-
-
Şimdi de, bu terimlerin her birinin
-
katsayılarını bulacağız.
-
Bunlar, terimleri ayırmak için çizdiğim çizgiler.
-
Aklınızı daha çok karıştırdım galiba.
-
Terimlerin hepsi
-
birbirine karışmıştı.
-
Ne yaptığımı anlamışsınızdır.
-
Şimdi de katsayıları bulacağız.
-
Biraz daha zor olan bölüm de burası.
-
İlk terimin katsayısı... Bu terimlerin arasına
-
çizgi çekeyim de karışmasınlar. İlk terimin katsayısı
-
her zaman 1'dir.
-
Katsayısı 1.
-
İkinci terimin katsayısı da;
-
ilk terimin kuvveti ile katsayısının çarpımı,
-
yani 10 çarpı 1; bölü, terimin sıra numarası.
-
Yani; 10 çarpı 1, bölü 1.
-
Eşittir, 10.
-
Üçüncü terimin katsayısı;
-
ikinci terimdeki iks'in kuvveti,
-
yani 9, çarpı onun katsayısı, yani 10.
-
Ne olur? 9 çarpı 10. Bölü, terimin sıra numarası.
-
9 çarpı katsayısı, yani 10, bölü 2.
-
"9 çarpı 10" kaçtır?
-
"90 bölü 2". O da 45 eder.
-
Bu şekilde devam ediyoruz.
-
Dördüncü terim; üçüncü terimin kuvveti,
-
yani, 8, çarpı... Başka bir renkle yazayım.
-
8 çarpı, üçüncü terimin katsayısı,
-
yani 45, bölü, terimin sıra numarası.
-
Bu, üçüncü terim olduğuna göre,
-
bölü 3.
-
Bu da, "8 çarpı 15" eder.
-
80 artı 40.
-
Yani, 120'dir.
-
Bu da, dördüncü terim.
-
Araya böyle çizgiler çekeyim.
-
Gittikçe karmaşıklaşıyor.
-
Böyle tek tek yazıyorum ama yeterince
-
soru çözdükten sonra, bir çırpıda yazacaksınız.
-
Beşinci terime geldik.
-
Beşinci terim nedir?
-
Dördüncü terimde iks'in kuvvetini alın.
-
7 çarpı, dördüncü terimin katsayısı.
-
Çarpı 120, bölü 4,
-
değil mi?
-
Bir önceki terimin sıra numarasına, yani 4'e böleceğiz.
-
"7 çarpı 30" eder. Bu da 210'dur.
-
Bu, beşinci katsayımız.
-
Altıncı katsayımız ne?
-
6 çarpı... Önceki terimde iks'in kuvveti,
-
yani 6, çarpı 210,
-
yani onun katsayısı, beşinci terimin katsayısı,
-
bölü 5. Beşinci terim olduğu için.
-
"210 bölü 5" kaçtır?
-
42'dir.
-
"6 çarpı 42". "240 artı 12"dir.
-
252 eder. 252'dir.
-
Orta noktaya geldiğimize göre... Çünkü altıncı terim,
-
ortanca terimimiz... Bundan sonraki terimlerde,
-
yazdığımız katsayıları geriye giderek yazacağız.
-
Paskal Üçgeni'nde ve binom teoreminin tanımında
-
öğrendiğimiz üzere,
-
katsayılar simetrik oluyor.
-
Yani, bir sonraki terimde... Bu son yazdığımız katsayı,
-
ortanca terimindi. Yani, sonraki terimin
-
katsayısı 210 olacak.
-
Aynı yöntemi kullanarak hesaplayabilirsiniz de.
-
Bu, hızlı bir çözüm.
-
Bu 120'dir.
-
Bu 45'tir.
-
Bu da, yani 10. terimin katsayısı da
-
10 olacak.
-
Tabii son katsayı da 1'dir.
-
1 çarpı "y üssü 10".
-
Toplu hâlde yazarsam yanıt ne olur?
-
Örnek çözdükçe, bunu çok hızlı yapacaksınız.
-
"iks üssü 10" artı (10 "iks üssü 9" "y") artı (45 "iks üssü 8"
-
"y kare") artı (120 "iks üssü 7" "y küp") artı
-
(210 "iks üssü 6" "y üssü 4") artı 252...
-
Ortanca terime geldik. ("iks üssü 5" "y üssü 5") artı (210
-
"iks üssü 4" "y üssü 6")... Yer kalmadı.
-
Ne yazacağımı tahmin ettiğinizi ve ana fikri
-
anladığınızı umuyorum.
-
Ayrıca, "iks artı y"nin 10. kuvvetini tek tek çarparak
-
yazmaya kalkmanın da tüm gününüzü alacağını
-
anlamışsınızdır umarım.
-
Belki başka bir videoda, daha az karmaşık bir örnek çözerek,
-
mesela "iks artı y"nin 6. kuvvetini yazarak,
-
bu yöntemin ne kadar kolay olduğunu gösterebilirim.
-
Görüşmek üzere.
-
-
