Teorema Binomial (parte 2)

Teorema Binomial e o Triângulo de Pascal

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No último vídeo nos vimos que se você quiser fazer a mais b

elevado a n-ésima potência, e se n for maior do que... na verdade 2... mas

realmente, especialmente maior que 3... isso é muito entediante para

se multiplicar, em essência usando a propriedade

distribuitiva, ou fazendo a multiplicação polinomial, ou FOIL (ver Wikipedia: FOIL Method), ou

da maneira que você aprendeu.

Isso é extremamente, extremamente entediante.

E então nos aprendemos que o Teorema Binomial, que diz

isso... que isso é igual ao somatório de de k igual a zero até

n de n, k a k, correto?

No qual isso é o que nós aprendemos em Combinatória, como sendo

o coeficiente binomial.

E isso é a razão de isso ser chamado um coeficiente binomial, porquê

isso é de fato o coeficiente do Teorema Binomial... de

x elevado a n menos k... oh, desculpe, eu continuarei escrevendo x.

Deixe-me desfazer isso.

Editar... desfazer...

Editar, desfazer...

Oh, isso está demorando demais!

Oh, deixe-me apenas... ah não, não era isso que eu queria fazer!

Deixe-me apagar isso.

OK.

Eu continuarei escrevendo x...

Isso pode ser um x, mas então isso deve ter

um x aqui também.

.

Talvez eu deva fazer isso.

... de a elevado a n menos k, vezes b elevado a k.

Então cada termo... você sabe o n permanece constante... mas cada termo

e você começa com k igual a zero e você vai incrementando-o.

E nós fizemos um exemplo para resolver a mais b elevado à quarta potência

no vídeo anterior.

E como você viu, isso foi entediante, mas menos entediante do quê

de fato multiplicar tudo isso.

E se você quer ser realmente rápido em computar n elege k

para ns diferentes e k, isso deverá ser razoavelmente rápido.

Então eu quero fazer isso, eu irei mostrar a você um método

um pouco mais rápido do que nós já fizemos.

Tipo uma maneira mais rápida de computar coeficientes binomiais.

E então depois disso, eu irei lhe mostrar uma maneira super rápida

isso, um atalho para memorizar os coeficientes... que eu já

sei que algumas pessoas fizeram... isso é uma maneira bastante impressionante

de em essência multiplicar qualquer binômio!

Então qual é a minha maneira pseudo rápida de fazer isso?

Bem, eu deixei a dica na última apresentação de que estes

coeficientes eram de fato termos do triângulo de Pascal.

Então o que é um triângulo de Pascal?

Então se nós começarmos com um 1 e então você apenas vai... e de fato,

deixe-me fazer isso... bem, sim, deixe-me fazer isso bem aqui.

E então, agora deixe-me começar com dois 1s...

E o que você faz com isso, você faz a soma de ambos.

Então isso dá 2.

E então você traz o 2 para baixo, para a esquerda

e para a direita.

E observe, estes são os coeficientes de

a mais b ao quadrado.

.

E estes são os coeficientes de a mais b.

Você poderia dizer a mais b elevado a 1.

1a mais 1b.

Isso é um quadrado... então você pode reescrever, a mais b ao

quadrado... isso é 1a ao quadrado mais 2am mais 1b ao quadrado.

Então estes são os coeficientes de a + b ao quadrado.

Deixe-me trocar arbitrariamente de cores.

E então, 1 mais 2 são 3.

2 mais 1 são 3.

Traga o 1 para baixo.

Traga para baixo o 1.

E agora nós temos os coeficientes para a

mais b elevado ao cubo.

O que nós computamos no... isso foi a primeiríssima

coisa que nós fizemos!

E agora nós os multiplicamos.

E nós apenas sabemos o padrão.

O primeiro coeficiente é 1.

Então isso é 1a elevado ao cubo, b elevado a zero... e então nós não temos

que escrever o b... mais 3.

Nós apenas diminuímos 1 deste expoente.

3a ao quadrado vezes b, 3ab ao quadrado e então mais1a elevado a zero...

que é apenas 1... b ao cubo.

Então isso foi muito rápido.

E nós podemos prosseguir com o triângulo de Pascal.

Então vamos resolver o próximo.

E então nós podemos descer um 1.

1 mais 3 são 4.

3 mais 3 são 6...

E isso é fácil.

Eu digo, de uma maneira simples, agora você pode gerar coeficientes

binomiais sem ter que os calcular.

Muito simples, eu penso que você poderia chamar isso de um algoritmo...

ou diagrama.

E ele é simétrico, exatamente como você poderia esperar, certo?

Porquê você pode trocar facilmente a e b.

a mais b é a mesma coisa que b mais a, então você

poderia em essência ter a mesma resposta.

E então, nós apenas... rapidamente nós calculamos os coeficientes

binomiais para a mais b elevado à quarta.

O que foi muito mais rápido do que nós fizemos no último exemplo.

a mais b elevado à quarta.

E então nós... eu penso que você sacou!

Mas, então este 1... deixe-me escrevê-lo em uma cor diferente... 1a...

elevado à quarta, b à zero, mais 4a ao cubo b

ao quadrado... b à um...

Mais 6a ao quadrado b ao quadrado...

O que faz sentido de que, você sabe, isso é um número central...

e ambos... e a e b possuem o mesmo expoente

neste ponto.

E então mais 4a... nós diminuímos... b ao cubo...

Mais b elevado à quarta.

1b elevado à quarta, correto? a elevado à zero, então isso é

o que nós não escrevemos lá.

Então 1b elevado à quarta.

E isso foi muito rápido comparado ao que nós tivemos que fazer

no final do último vídeo.

Nós podemos simplesmente continuar...

Você sabe, para 5.

Então 1 mais 4 são 5...

4 mais 6 são 10.

6 mais 4 são 10...

4 mais 1 são 5..

Traga o 1 para baixo.

Então estes são os coeficientes para a expansão de a

mais b elevado à quinta.

E então isso é uma maneira razoavelmente rápida para resolver isso, embora

isso possa levar... primeiro, isso toma muito espaço!

E isso pode funcionar razoavelmente bem, você sabe, para até uma

potência de oito, ou nove, ou dez...

E depois disso isso começa a se tornar realmente grande e intrincado...

Mas você sabe, para potências até sétima, oitava ou

nona, você pode resolver assim.

Você pode desenhar isso realmente rápido e resolver isso, e isso é

provavelmente mais rápido do que de fato computar cada um dos

coeficientes binomiais.

Embora você possa ser bastante rápido em calcular n elege k, (distribuição n, k a k),

você não precisa fazer isso!

Então com isso fora do caminho, deixe-me lhe mostrar uma maneira ainda

mais fácil de resolver isso, tipo memorizável.

E isso o possibilitará de de fato calcular a mais b

elevado a n-ésima... você sabe, à 20-ésima potência...

praticamente de cabeça.

Dependendo de quão bom você é em aritmética de cabeça.

Então aqui vai o macete.

E eu o encorajo a testar o porquê isso

funciona, mas isso funciona!

E eu quero dizer que isso não é de fato um truque.

Isso é apenas... e este triângulo de Pascal também não é um truque...

O triângulo de Pascal é apenas uma maneira alternativa de gerar

coeficientes binomiais, e o que eu estou para lhe mostrar é apenas

uma outra maneira de em suma gerar os coeficientes

binomiais.

Embora seja possivelmente uma maneira mais rápida de computá-los.

.

E isso é um bom projeto para você pensar sobre o porquê isso funciona.

Então eu estou apenas iniciando com um exemplo bem concreto.

Ao invés de um a mais b, deixe-me apenas fazer x mais y.

Apenas porquê você pode encontrar o teorema binomial

escrito desta maneira.

Então digamos, x mais y elevado a décima potência.

Isso poderia me levar todo o dia se eu tivesse que

multiplicar tudo isso.

Isso provavelmente me tomaria 20 a 30 minutos, se fizer

com atenção, para calcular todos os

coeficientes binomiais.

Talvez nem tanto, mas isso me iria ocupar um bocado.

E para desenhar o triângulo de Pascal, isso iria lotar uma página completa,

e provavelmente eu ainda faria algum erro.

Então como eu resolvo isso?

Então o que você vai fazer é... então uma coisa que você sabe...

Isso irá ter 11 termos, right?

Porquê você irá começar com x elevado à

décima, y à zero.

E você irá ir por toda a vida até y à décima...

Então se você iniciar em zero e você vai até 10, que é o décimo primeiro termo.

Então este foi o décimo primeiro termo.

O quê eu quero que você faça é apenas ir escrevendo até

o primeiro, apenas os números.

Você sabe, você pode mesmo contar os termos.

Você não precisa ir por toda a vida até 11, e eu irei mostrar isso...

Mas por hora, deixe-me escrever toda a vida até 11.

Então 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11.

Apenas espremido aqui.

E agora você verá, você não precisa ir por

toda a vida até 11.

Você provavelmente poderá parar no 6.

Então este é o macete.

Nós sabemos que o primeiro termo irá ser x

elevado à décima, certo?

Nós sabemos que

Bem, nós de fato sabemos que isso irá ser x à décima.

O segundo termo irá ser x à nona.

E então isso irá ser x à oitava.

Isso irá ser x à sétima...

Um pouco entediante... x à sexta...

x à quinta...

x à quarta.

x à terceira...

x ao quadrado...

x.

E então isso irá ser x à zero, ou apenas um.

Deixe-me apenas cuidar dos ys...

Então isso foi x à décima.

Não está forte o suficiente, esta cor...

Então isso é y à zero.

Então nós não temos que escrevê-lo lá.

Mas então nós temos um y.

y à um.

y ao quadrado...

y ao cubo...

y à quarta.

y à quinta.

O que faz sentido, este é o temo central.

y à sexta...

y à sétima.

y à oitava.

y à nona...

Eu não quero deixá-lo confuso, cada um desses

é um termo separado.

Eu não quero que você pense que eu os estou multiplicando...

.

E então, nós agora apenas temos que calcular os coeficientes

em cada um desses termos.

Estas são linhas divisórias que eu tentei desenhar.

Eu não estou tentando confundí-lo ainda mais...

Eu apenas quis... porquê elas parecem estar correndo juntas...

cada um dos termos que estou escrevendo...

Mas eu penso que você entendeu o que estou fazendo.

Então agora nós temos que calcular os coeficientes.

E então essa é a parte fácil.

Então nós sabemos que o coeficiente no primeiro termo... deixe-me desenhar

uma linha divisória aqui e aqui... o coeficiente no primeiro

termo será sempre 1, certo?

Então, o coeficiente é 1.

Então o coeficiente no segundo termo irá ser

o expoente no primeiro termo... seu coeficiente... então 10...

vezes 1... dividido pelo termo que está aqui...

Então isso irá ser 10 vezes 1, dividido por 1.

Então isso irá resultar 10.

O coeficiente do terceiro termo irá ser o

expoente em x, correto?

Então isso são 9 vezes seu coeficiente... que é 10... então

isso irá ser 9 vezes 10... dividido pelo termo dele...

Então isso irá ser 9 vezes seu coeficiente, 10, dividido por 2...

Então quanto são 9 vezes 10?

Isso são 40... isso são 90 dividido por 2 que dá 45...

E você continua...

O quarto termo irá ser o expoente do terceiro termo... então

isso irá ser 8 vezes... deixe-me escrever isso aqui em uma

cor diferente... isso irá ser 8 vezes seu coeficiente,

vezes 45, dividido pelo termo dele...

Então isso é o terceiro termo...

Dividido por 3...

Bem, isso são apenas 8 vezes 15...

E nós veremos, isso serão 80 mais 40.

Então isso é igual a 120.

Então isso é o quarto termo.

E então deixe-me apenas desenhar estas divisórias...

Eu sei que isso está ficando um pouco complicado.

E eu estou escrevendo assim, mas se você praticar

isso o suficiente, você poderá ir escrevendo já diretamente.

Então o quinto termo.

Qual é o quinto termo?

Bem, você paga o expoente em x...

Então 7 vezes o coeficiente do quarto termo...

vezes 120... dividido por 4.

Correto?

Dividido pelo termo anterior, por 4.

Bom isso é apenas 7 vezes 30, que dá 210.

E isso é o quinto coeficiente...

Qual é o sexto coeficiente?

Bem, isso são 6 vezes... você sabe o expoente no

x... vezes 210.

Vezes seu coeficiente... vezes o coeficiente do quinto termo...

dividido por 5... para o quinto termo.

Bem, 5 vai para 210 quantas vezes?

42 vezes, correto?

Então isso são 6 vezes 42... o que dá 240 mais 12.

Isso são 252.

E então uma vez que você está no ponto do meio... o sexto termo

no termo do meio... você verá isso, você sabe, voce começa

a ir de volta pela outra ponta.

E nós aprendemos um, do triângulo de Pascal, ou mesmo a

definição do Teorema Binomial, que os

coeficientes são simétricos.

Então nós sabemos que o próximo irá ser o mesmo... este foi

o termo central, certo? ... então nós sabemos que o próximo

irá ser 210.

E você pode calculá-lo usando o mesmo sistema.

Isso é apenas uma maneira rápida de fazer isso.

Este irá ser 120.

Ester irá ser 45...

E este aqui irá ser o décimo coeficiente...

Este irá ser 10.

E então é claro, o último coeficiente é apenas 1.

1y à décima potência.

Então se eu for escrever isso, a resposta será... e se você

praticar isso, você descobrirá que pode fazer isso bem rápido... isso é x

elevado à décima, mais 10x à nona y, mais 45 à oitava...

y ao quadrado, mais 120x à sétima, y ao cubo, mais

210x à sexta y à quarta, mais 252... estamos no termo

central... x à quinta y à quinta, mais 210x

à quarta y à sexta... estou ficando sem espaço!

Mas você pode, e eu espero que você possa extrapolar o que eu estou fazendo,

e que isso faça sentido para você.

E na esperança de que você tenha se dado conta de que agora

você tivesse que multiplicar x mais y à décima, isso

teria lhe tomado o dia todo...

Talvez eu faça mais um vídeo com um pequeno exemplo para lhe

mostrar de que isso é um pouco menos complicado quando voê resolve, digamos...

x mais y à sexta potência.

O vejo em breve!

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