Bioomteoreem (osa 2)

Binomial Theorem and Pascal's Triangle

Eelmises videos nägime, et kui tahame võtta a + b

n-indasse astmesse, ja kui n on suurem kui 2 --

kuid eriti suurem kui 3 -- siis on väga tüütu

seda korrutada, põhiliselt kasutades distributiivsuse

omadust, või teha polünoomide korrutist, või FOIL-i, või

kuidas iganes te seda õppisite.

See on väga, väga tüütu.

Ja siis õppisime me, bioomteoreemi, mis ütles, et

see on võrdne summaga k-st, mis on võrdne nulliga,

kuni n.

Seda õppisime me kombinatoorikas, kui

bioomkordaja.

Ja seda kutsutakse nii sellepärast, et

see on tegelikult bioomteoreemi kordaja.

x-ist n-k -ni.

Ma kustutan selle.

Muuda, tühista.

Muuda, tühista.

Oh, see võtab liiga palju aega.

Oh, ma ei tahtnud seda teha.

Ma kustutan selle.

OK

Ma kirjutan x-idega.

See võib olla x, kuid siis peab see olema

x ka siin.

Võibolla peaksin ma nii tegema.

a kuni n-k korda b kuni k (a,...,n-k)*(b,...,k)

n püsib konstantne, kuid iga termin

mis algab k-st on võrdne nulliga ja sa suurendad seda.

Ja me tegime näite, kus lahendasime (a+b)**4

eelmises videos.

Ja nagu nägite, siis see oli tüütu, kuid vähem tüütu kui

seda päriselt läbi korrutada.

Ja kui sa muutud kiireks arvutajaks n k-st

erinevate n-ide ja k-dega, see võib olla mõistliku kiirusega.

Mida ma teha tahan, on see, et ma näitan sulle natukene

kiiremat meetodit sellest, mida me just tegime.

Natukene kiirem viis leida bioomkordajaid.

Ja seejärel näitan ma eriti kiiret viisi, et

kordajaid meelde jättes, mida ma päriselt tean, et

mõned inimesed teevad seda nii - see on küllaltki hea viis

põhilisteks bioomkorrutisteks.

Seega milline on mitte nii kiire lahendusviis?

Ma vihjasin, et eelmises presentatsioonis olid need

kordajad olid tegelikult Pascali kolmnurga terminid.

Seega mis on Pascali kolmnurk?

Kui me alustame a1 ja seega --- Tegelikult

ma teen seda nii siia.

Ma alustan kahe 1-ga.

Mis tuleb teha, on see, et sa võtad nende summa.

Saad 2

Ja kui sa tood vasakule ja paremale

1 alla.

Need on kordajad

a+b ruudus.

Need on (a+b)**2

Sa saad öelda a+b ühena

1a+1b

See on ruudus, seega saad sa kirjutada (a+b)**2

See on 1a2+2ab+1b2

Seega on need (a+b)**2 kordajad.

Ma vahetan värve.

Seeha 1+2=3

2+1=3

Tood ühe alla

Tood teise ühe alla

Ja nüüd on meil kordajad

(a+b)**3

Seda arvutasime me

päris alguses.

Me tegelikult korrutasime selle välja.

Ja me teame mustrit.

Esimene kordaja on 1

seega on see 1a**3, b=0, seda ei kirjuta,

plus 3

Me alandasime selle eksponenti 1

3a2b + 3ab2 ja siis 1a=0

ja b**3

Seega oli see küllaltki kiire.

Ja me saame Pascali komnurka kasutada edasi.

Teeme järgmise.

Me saame alla tuua 1-d

1+3=4

3+3=6

See on lihtne

Väga lihtsalt on võimalik koostada bioomkordajaid

ilma neid arvutamata.

Väga lihtne ning seda saab kutsuda algoritmiks

või jooniseks.

See on sümmeetriline, täpselt nagu te eeldasite

Sest väga lihtsalt saab vahetada b ja a

a+b on sama mis b+a, seega

saab kergesti sama vastuse.

Ja nii saime me kiiresti bioomkordajad

(a+b)**4-le

See oli tunduvalt kiirem viis kui see, mida tegime eelmises näites.

(a+b)**4

Ma usun et saite mõttest aru.

Ma kirjutan uue värviga -

1a neljandasse, b nulli, + 4a kuupikorda b ruudus

b üheks

+ 6*a ruudus * b ruudus.

Mis on loogiline, sest on teada, et see on keskmine number.

ja nii a-l kui b-l on sama aste

selles kohas.

siis + 4ab**3

+ b**4

1b kuni neljandani, a kuni nullini, seega

seda me siia ei kirjutanud

1b neljandani.

Ja see oli väga kiire võrreldes sellega, mida

pidime eelmise video lõpus tegema.

Ja me saame niiviisi jätkata.

Näiteks 5 astmega.

Seega 1+4 =5

4+b=10

6+4=10

4+1=5

Toome 1-d alla

Seega need on kordajad

(a+b)**5

See on küllaltki kiire viis selle tegemiseks, kuid

see võtab palju ruumiˇ

ja see saab töödata küllaltki hästi kuni

8 või 9 või 10 astmeni.

Isegi siis muutub see päris suureks koormavaks.

Kuid astmete 7 kõrgemale

saame teha seda.

Sa saad seda joonistada väga kiiresti ja see on

ilmselt kiirem kui iga bioomkordaja

arvutamine.

Sa võid olla kiire arvutama n k-st

ning siis ei pea sa seda tegema.

Seega see kõrvale jättes, ma näitan ühte veel kiiremat

viisi selle tegemiseks, seda meelde jättes.

Ja see võimaldab sul arvutada (a+b)**n

nt 20 astmes lihtsalt peas

arvutades.

Oleneb sellest, kui hea sa oled aritmeetikas oma peas.

See on see trikk.

Ja ma julgustan teid proovima, miks

see töötab.

Tegelikult pole see isegi trikk.

Isegi Pascali kolmnurk pole trikk.

Pascali kolmnurk on lihtsalt alternatiivne viis bioomkordajate

arvutamiseks ja see mida ma näitama hakkan

on üks viis bioomkordajate

arvutamiseks.

Kuigi see on ilmselt kiirem viis nende arvutamiseks.

Ja see on ülesanne teile välja mõtlemiseks, miks see töötab.

MA alustan väga konkreetse näitega.

Ma kasutan a+b asemel x+y

Lihtsalt sellepärast, et te võite bioomteoreemi näha

niimoodi kirjutatuna.

Seega ütleme (x+y)**10

See võtaks kogu päeva kui ma peaksin

seda välja korrutama.

See võtaks ilmselt umbes pool tundi, et vältida vigu

ja leida kõik

bioomkordajad.

Võibolla mitte nii kaua, kuid aega läheks palju sellegipoolest.

Pascali kolmnurga joonistamiseks läheks mul vaja kogu lehekülge,

ja ka siis võib teha kogemata vea.

Seega kuidas ma seda teen.

Ühte asja sa tead.

Siin peab olema 11 liiget,

sest sa alustad x**10 ja

y**0

Ja sa liigud y0 kuni y10

Seega kui sa alustad 0-ga ja pead jõudma 10-ni, siis see on 11 liiget.

Seega 11 liiget.

Mis ma tahan, on see, et sa kirjutaks alguses

numbrid.

Sa tead, et sa saad peaaegu loendada liikmeid.

Sa ei pea liikuma kohe kuni 11-ni ja ma näitan miks.

Tegelikult kirjutame ikka kõik 11 liiget.

Seega 1-11

See mahtus ka.

Ja sa näed, et sa ei pea tegelikult arvutama kõike

kuni 11-ni

Ilmselt võid sa lõpetada juba 6 juures.

Siin on see trikk.

Me teame, et esimene liige on

x**10

Me teame, et x**10

Tegelikult, me teame, et see peab olema x**10

Järgmine liige peab olema x**9

Siis x**8

Siis x**7

Natukene tüütu, x**6

x**5

x**4

x**3

x**2

x

Ja siis on x**0=1

Ma teen nüüd y-d.

See oli x**10

Võtan selle värvi.

Siin on y**0

Seega seda ei kirjuta.

siis on y

y**1

y**2

y**3

y**4

y**5

mis on ka loogiline, sest see on keskmine liige

y**6

y**7

y**8

y**9

Et sa segadusse ei läheks, siis iga see

on eraldi liige.

Ma ei taha, et te arvaks, et ma korrutan neid kõiki

Ja nüüd tuleb meil välja mõelda kordajad

igale liikmele

Need on jaotavad jooned, mis ma tahtsin joonistada.

Ma ei püüdnud teid rohkem segadusse ajada.

Sest need tundusid kokku jooksma.

Iga liige, mida ma kirjutan.

Kuid ma arvan , et sa saad aru mida ma teen.

Seega nüüd peame me välja mõtlema kordajad.

Ja see on lihtne osa.

Seega me teame kordajat esimesele liikmele.

Esimene jagab siin ja siin. Esimese liikme kordaja on

alati 1.

Seega kordaja on 1

Siis teise liikme kordaja on esimese

liikme aste korda see kordaja, seega

10*1 jagada selle liikmega siin

Seega on see 10*1/1

See on 10.

Kolmanda liikme kordaja on

x-i aste

Seega 9 * selle kordaja, mis on 10

Seega on see 9*10 jagatud selle arvuga, mitmes liige ta on.

See on siis 9*10/2

Mis on 9*10

90 on jagatud 2-ga, mis on 45.

Ja sa jätkad seda.

Neljas liige on kolmanda liikme aste

korda 8

See on 8 * selle kordaja

45 jagatud selle liikme arvuga.

See on kolmas liige.

Jagada 3-ga.

See on 8*15

See on 80+40

Ehk 120

See on neljas liige

Ma joonistan need jaotajad.

Ma tean, et see läheb natukene keeruliseks.

Ma kirjutan selle kõik välja, kuid siis kui sa harjutad

seda piisavalt, siis saad sa selle kirjutada otse välja.

See on viies liige.

Mis on viies liige?

Sa võtad x-i astendaja

Seega 7 korda 4 liikme kordaja

120 jagatud 4-ga.

Eks?

Jagada eelmise liikme järjekorranumbriga mis on 4.

See on 7*30 mis on 210.

See on viies kordaja.

Mis on kuues kordaja?

See on 6 korda - sa tead x-i astet,

korda 210

korda selle kordaja - korda viienda liikme kordaja

jagada viiega

210/5 on kui palju?

42

Seega 6*42, see on

252

Ja siis kui sa oled keksmise liikme juures, 6 liikme juures,

mis on keskmine liige, siis näed sa, et sa

saad liikuda vastassuunas lõpuni.

Ja me õppisime Pascali kolmnurgast, või isegi

bioomteoreemi definitsioonist, et

kordajad on alati sümmeetrilised.

Seega me teame, et järgmine on sama, see oli

keskmine eks? Seega me teame ,et järgmine on

210

Ja sa saad seda arvutada tegelikult sama süsteemiga.

See on lihtsalt kiire viis selle tegemiseks.

See on 120

See on 45

Ja see on 10. kordaja

mis on 10.

Ja muidugi viimane kordaja on 1.

1y**10

Seega kui see välja kirjutada -

Kui sa seda harjutad, siis leiad selle küllaltki kiirelt.

See on x10+10x9y+45x**8

y2+120x7y**3+

210x6y4+252x5y5(keskmine liige)+

210x**4

y**6 - Mul saab ruum otsa.

Kuid siit on näha mida ma tegin

ja see on loogiline.

Ja loodatavasti saad sa aru, et kui

sa oleks päriselt pidanud (x+y)**10 korrutama,

võtaks see palju aega.

Võibolla ma teen veel ühe video, et näidata

sulle, et see on lihtsam kui

teha nt (x+y)**6

Kohtumiseni.