Binomial Theorem (part 2)

Binomial Theorem and Pascal's Triangle

.

رأينا في العرض الاخير انه اذا اردنا ان نأخذ (a + b)^n

واذا كانت n في الحقيقة اكبر من 2 --لكن

بشكل خاص في الحقيقة اكبر من 3-- من الواضح جداً اننا

سنضرب، باستخدام خاصية التوزيع

او اجراء عملية ضرب لمتعدد الحدود، او FOIL، او

كيفما تعلمتموها

انها واضحة جداً

ومن ثم قد تعلمنا ان نظرية ثنائي الحدود، والتي تقول

هذا، ان ذلك يساوي المجموع من k = 0

الى n لـ n اختار k، اليس كذلك؟

كان هذا ما تعلمناه في التوافقيات

كمعامل ثنائي الحدود

ولهذا السبب يسمى بمعامل ثنائي الحدود، لأنه

في الواقع معامل نظرية ثنائي الحدود --لـ

x^ n - k --اوه، آسف، لا زلت استمر بكتابة x

دعوني اعدل ذلك

اضافة، تراجع

اضافة، تراجع

هذا يتطلب وقتاً طويلاً

دعوني --اوه، لا، هذا ليس ما اردت فعله

دعوني امحوه

حسناً

لا زلت استمر بكتابة x

يمكنه ان يكون x، لكن بالتالي هذا يجب ان يكون

x كذلك

.

ربما ان علي القيام بذلك

--لـ (a^ n - k) (b^k)

اذاً كل عبارة --كما تعلمون، ان n تبقى ثابتة-- لكن في كل عبارة

تبدأ من k = 0 وتستمر بالزيادة

وقد قمنا بحل مثال لايجاد (a + b)^4

في العرض السابق

وكما رأيتم، ان ذلك كان واضحاً، لكنه اقل وضوحاً من

عملية الضرب

واذا اصبحت سريعاً في حساب n اختار k

لقيم n و k المختلفة، فيمكنه ان يكون سريعاً بانصاف

اذاً ما اود القيام به هو، ان اوضح لكم

طريقة اسرع بقليل من ما قد فعلناه

انها طريقة اسرع نوعاً ما لحساب معاملات ثنائي الحدود

ثم بعد ذلك، سوف اوضح لكم طريقة سريعة جداً

تسهل من حفظ المعاملات --وفي الوافع انني

اعرف بعض الاشخاص الذين ابتكروها-- انها طريقة مذهلة

لضرب اي ثنائي حدود

اذاً ما هي طريقتي السريعة للقيام بذلك؟

حسناً، لقد اعطيت تلميحاً في العرض الاخير بحيث كانت تلك

المعاملات عبارة عن عبارات لمثلث باسكال

اذاً ما هو مثلث باسكال؟

فاذا بدأت بـ 1 ومن ثم انتقلت --في الواقع

دعوني اقوم بها-- حسناً، دعوني اقوم بذلك هنا

ومن ثم، في الواقع دعوني ابدأ بـ 1

وما ستفعله هو، تأخذ مجموع كل من هؤلاء

اذاً هذا يساوي 2

ومن ثم تنزل 1، الى الجانب الايسر و

الجانب الايمن

ولاحظوا، انه يوجد معاملات لـ

(a + b)^2

(a + b)^2

وهذه هي معاملات a + b

يمكنك ان تقول (a + b)^1

1a + 1b

هذا يساوي a^2 --اذاً يمكنك ان تعيد الكتابة، (a + b)^2

= 1a^2 + 2ab + 1b^2

اذاً هذه هي معاملات (a + b)^2

دعوني اغير الالوان

وبذلك، 1 + 2 = 3

2 + 1 = 3

ننزل الـ 1

ننزل الـ 1

والآن لدينا معاملات

(a + b)^3

وهو ما قمنا بحسابه في --هذا هو الشيئ

الاول الذي قمنا به

لقد قمنا بضربه بالفعل

ونحن نعرف النمط

المعامل الاول هو 1

اذاً هو 1a^3، b^0 --اذاً لايتوجب علينا

ان نكتب الـ b-- + 3

لقد قمنا بتقليل قيمة الأس بمقدار 1

3a^2 b + 3ab^2، ومن ثم + 1a^0

--اي 1-- b^3

كان ذلك سريعاً للغاية

ويمكننا الاستمرار بالنزول نحو مثلث باسكال

اذاً دعونا ننتقل الى التالي

يمكننا ان ننزل 1

1 + 3 = 4

3 + 3 = 6

وهذا متقن

اعني، انه بسيط جداً، في الواقع يمكنك ان تعمم

معاملات ثنائي الحدود دون وجوب حسابها

بسيط جداً، واخمن انه يمكنكم ان تسموها باللوغارتم

او بالرسم

وهذا متماثل، كما تريد اعتباره، اليس كذلك؟

لأنه يمكنك بكل سهولة ان تبدل b و a

a + b تعادل b + a، لذا

يجب ان تحصل على نفس الاجابة

وبذلك --لقد اوجدنا بسرعة

معاملات ثنائي الحدود لـ (a + b)^4

وكان هذا بشكل اسرع من ما فعلت في المثال الاخير

(a + b)^4

ومن ثم --اعتقد انكم قد استوعبتم الفكرة

لكن هذا 1 --دعوني اكتب بلون مختلف-- 1a^4

b^0 + 4a^3 b^2

b^1

+ 6a^2 b^2

ومن المنطقي، كما تعلمون، ان هذا عدد اوسط

وكلاهما --و a و b لهما نفس الأس

على هذه النقطة

ثم + 4a --نقلل من قيمتها-- b^3

+ b^4

1b^4، اليس كذلك؟ a^0، وهذا ما

لم نكتبه هنا

اذاً 1b^4

وقد كان ذلك سريعاً جداً مقارنه بما قمنا به في

نهاية العرض الاخير

يمكننا الاستمرار

كما تعلمون، بالنسبة للـ 5

1 + 4 = 5

4 + 6 = 10

6 + 4 = 10

4 + 1 = 5

ننزل الـ 1

اذاً هذه هي معاملات امتداد

(a + b)^5

ولهذا تعتبر طريقة سريعة للقيام بذلك، على الرغم من

انه يمكنها --اولاً، انها تتطلب مساحة كبيرة

ويمكن ان تكون صالحة، كما تعلمون، للقوى الاعلى من

8 او 9 او 10

حتى وان بدأت تكون كبيرة وثقيلة

لكن كما تعلمون، انه بالنسبة للقوى الاعلى من 7 او 8 او

9، فيمكنكم القيام بهذا

يمكنكم رسمه بسرعة والقيام بهذا، وهو

ربما اسرع من حساب كل من

معاملات ثنائي الحدود

على الرغم من انك ربما تكون سريعاً في حساب n اختار k

وهنا لا يتوجب عليك فعل هذا

اذاً بهذا، دعوني اوضح لكم

طريقة اسرع للقيام بذلك، وتتطلب قليلاً من الحفظ

وهي ستوضح لكم حساب (a + b)^n

--كما تعلمون، انه مرفوع للقوة 20--

ذهنياً

استناداً الى مهارتك في الحساب الذهني

اذاً هنا تكمن الخدعة

وانا احفزكم على تجربة سبب

نجاحها، لكنها تصلح

واعني انها ليست بخدعة

انها عبارة عن --ومثلث باسكال هذا ليس خدعة

ان مثلث باسكال عبارة عن طريقة بديلة لتعميم

معاملات ثنائي الحدود، وما اريد ان اوضحه لكم هو

طريقة اخرى لتعميم

معاملات ثنائي الحدود

على الرغم من انها ربما طريقة اسرع لحسابها

.

وهو مشروع جيد لتفكروا بسبب نجاحها

اذاً سأبدأ بمثال دقيق

بدلاً من a + b، دعوني اضع x + y

لأنه لربما رأيتم نظرية ثنائي الحدود

مكتوبة بتلك الطريقة

لذا دعونا نقول (x + y)^10

هذا سيتطلب يوماً كاملاً اذا اردت

ان اضربه

ربما سيتطلب من 20 الى 30 دقيقة، دون

ارتكاب اي خطأ غير مقصود، لايجاد جميع

معاملات ثنائي الحدود

ربما ليس بهذا الطول، لكنها ستتطلب وقتاً طويلاً

ولرسم مثلث باسكال فإن ذلك يتطلب ورقة كاملة

وربما انني لا ازال ارتكب اخطاء غير مقصودة

اذاً كيف افعل هذا؟

ما تفعله هو --شيئ واحد تعلمه

ان هذه تحتوي على 11 عبارة، اليس كذلك؟

لأنك ستبدأ من x^10

y^0

وستذهب وصولاً الى y^10

فاذا بدأت من 0 وانتقلت الى 10، فإن هذه 11 عبارة

انها تحتوي على 11 عبارة

ما اود القيام به هو ان اكتب

الاعداد

كما تعلمون، انه يمكنكم عد العبارات

لا يتوجب عليكم الذهاب وصولاً الى 11، وسوف اوضح لكم

لكن في الواقع، دعونا نكتب الاعداد جميعها وصولاً الى 11

اذاً 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

سأقوم بتقليص حجمهم

وسترون انه لا يجب عليكم المرور بهم

وصولاً الى 11

ربما يمكنكم التوقف على 6

اذاً الخدعة تكمن هنا

نحن نعلم ان اول عبارة ستكون x^10

اليس كذلك؟

نحن نعلم ان x^10

في الواقع، نعلم انها ستكون x^10

العبارة الثانية ستكون x^9

ثم تكون x^8

ستكون x^7

اقل وضوحاً، x^6

x^5

x^4

x^3

x^2

x

ومن ثم ستكون x^0، او 1

دعوني انتقل الآن الى الـ y

كان ذلك x^10

ان هذا ليس لامعاً بما فيه الكفاية، اي هذا اللون

اذاً هذا y^0

لا يتوجب علينا ان نكتبه هنا

لكن لدينا الآن y

y^1

y^2

y^3

y^4

y^5

وهذا منطقي، هذه هي العبارة الوسطى

y^6

y^7

y^8

y^9

لا اريد ازعاجكم، اي من هذه

تعد عبارة منفصلة

لا اريدكم ان تعتقدوا انني اقوم بضربهم

.

ومن ثم، يكون علينا ان نجد معاملات

كل من هذه العبارات

كانت تلك ما حاولت رسمها عبارة عن خطوط فاصلة

لم احاول ازعاجكم اكثر

فقط اردت ان --لأنها تبدو وكأنها تسير مع بعضها

كل واحدة من العبارات التي اكتبها

لكنني اعتقد انكم تعلمون ما افعل

اذاً علينا الآن ان نجد المعاملات

ومن ثم فإن هذا هو الجزء المنظم

نحن نعلم ان معامل العبارة الاولى --دعوني ارسم

خط فاصل هنا وهنا-- معامل

العبارة الاولى يكون 1 دائماً، اليس كذلك؟

اذاً المعامل هو 1

معامل العبارة الثانية سيكون

أس العبارة الاولى × معامل --اذاً 10

× 1-- ÷ العبارة كما هي

اذاً سيكون 10 × 1، ÷ 1

اي سيكون 10

معامل العبارة الثالثة سيكون

أس الـ x، اليس كذلك؟

اذاً هو 9 × معاملها --اي 10-- لذا

يكون 9 × 10 --÷ العبارة نفسها

اذاً سيكون 9 × معاملها، اي 10، ÷ 2

اذاً ما هو حاصل ضرب 9 × 10؟

يساوي 40 --اي عبارة عن 90 ÷ 2 = 45

وتستمر بهذا

العبارة الرابعة ستكون أس العبارة الثالثة --اي

يكون 8 ×-- دعوني اكتب هذا

بلون مختلف-- سيكون 8 × معاملها

× 45 ÷ العبارة نفسها

اذاً هي العبارة الثالثة

÷ 3

حسناً، هذا يساوي 8 × 15

وسوف نرى، هذا يساوي 80 + 40

اي يساوي 120

تلك هي العبارة الرابعة

ومن ثم اسمحوا لي ان ارسم هذه الفواصل

اعلم انها تبدو معقدة قليلاً

وانا اكتبها بهذا الشكل، لكن اذا مارست

هذا بشكل كافي، سيمكنك ان تكتبه مباشرة

والآن العبارة الخامسة

ما هي العبارة الخامسة؟

حسناً، نأخذ أس الـ x

اذاً 7 × معامل العبارة الرابعة

× 120 --÷ 4

اليس كذلك؟

÷ العبارة السابقة، اي 4

حسناً، هذا يساوي 7 × 30، اي يساوي 210

كان ذلك المعامل الخامس

ما هو المعامل السادس؟

حسناً، انه 6 --تعلمون أس

الـ x--
× 210

× معاملها --اي × معامل العبارة الخامسة--

÷ 5، هذا بالنسبة للعبارة الخامسة

حسناً، ما هو ناتج 210 ÷ 5؟

انه 42، اليس كذلك؟

اذاً هو 6 × 42 --اي 240 + 12

ويساوي 252

ومن ثم عندما تصل الى العبارة الوسطى --اي العبارة السادسة

وهي العبارة الوسطى-- سترون انكم ستبدأون

بالعودة الى الوراء بالاتجاه المعاكس

وقد تعلمنا من مثلث باسكال، او ايضاً من

تعريف نظرية ثنائي الحدود، ان

المعاملات متماثلة

لذا نحن نعلم ان التالي سيكون نفس --كانت هذه

هي الوسطى، اليس كذلك؟-- اذاً نحن نعلم ان التالي

سيكون 210

ويمكنك ان تحسبه باستخدام نفس النظام

انها عبارة عن طريقة سريعة للقيام بهذا

هذا سيكون 120

هذا سيكون 45

وهذا سيكون المعامل العاشر

--هذا سيكون 10

ثم بالطبع فإن المعامل الاخير عبارة عن 1

1y^10

فاذا اردت ان اكتب هذا، فإن الاجابة هي --واذا

تمرنتم على هذا، ستجدون انه يمكنكم ان تسرعوا-- انه x^10

+ 10x^9y + 45x^8y^2

+ 120x^7 y^3 +

210x^6 y^4 + 252 --بالطبع على

العبارة الوسطى-- x^5 y^5 + 210 x^4

y^6 --ان المساحة تنفذ لدي

لكن اتمنى انه يمكنك تقدير ما افعله

وهو منطقي بالنسبة لكم

واتمنى انكم قد ادركتم انه اذا

كان عليكم ضرب (x + y)^10، فإن هذا

سيتطلب منكم يوماً كاملاً

ربما سأصمم عرضاً آخر بمثال اصغر لأوضح

لكم انه اقل تعقيداً عندما تجدون

(x + y)^6

اراكم قريباً

.