Similarity Postulates
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0:01 - 0:06假设有一个三角形ABC 就像是这样的
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0:06 - 0:10一个三角形 ABC
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0:10 - 0:13我只考虑它最基本的信息
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0:13 - 0:15有这么一些条件
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0:15 - 0:17用来决定是否另一个三角形
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0:17 - 0:20与三角形ABC相似
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0:20 - 0:23我们已经知道 如果这个三角形全部的角
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0:23 - 0:26所对应的角度
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0:26 - 0:28都与三角形ABC相同的话
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0:28 - 0:30那么 它们就是全等三角形
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0:30 - 0:34比如说 如果这个角是30度 这个角是90度
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0:34 - 0:37那么显然这里的角就是60度
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0:37 - 0:40还有一个三角形 角度看起来也是这样
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0:40 - 0:42虽然角度一样 但显然这个三角形比较小
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0:42 - 0:46但相应的角度都相等 所以这个角是30度
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0:46 - 0:50这个角是90度 这个角是60度
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0:50 - 0:56我们知道在这样的情况下 三角形XYZ就和
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0:56 - 0:57三角形ABC相似
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0:57 - 0:59我们可以得到这个结论
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0:59 - 1:02是因为两个三角形对应的角度都相等
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1:02 - 1:10可以得出结论 三角形ABC和三角形XYZ相似
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1:10 - 1:11你必须使这两个三角形的字母顺序正确
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1:11 - 1:13以保证正确的角相对应
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1:13 - 1:16角Y对应90度角 角X对应
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1:16 - 1:1930度角 角A是30度角
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1:19 - 1:20所以A和X是相对应的两个字母
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1:20 - 1:23角B和角Y都是90度 所以也对应
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1:23 - 1:25最后是角Z的这一组
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1:25 - 1:27所以 如果三组角都相等
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1:27 - 1:29但是你真的需要三组角吗
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1:29 - 1:31如果我们只知道两组角对应相等
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1:31 - 1:32可以吗
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1:32 - 1:33嗯 当然可以了
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1:33 - 1:36因为已知三角形中两个角的度数 就一定知道第三个
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1:36 - 1:41举个例子 有另一个三角形
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1:41 - 1:44和这个三角形相似 也是这个形状的一个三角形
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1:44 - 1:47如果我告诉你这两个三角形只有两组角
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1:47 - 1:48对应相等
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1:48 - 1:51所以假设 假设这个角和
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1:51 - 1:55这个角相等 那里的角和
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1:55 - 1:56那个角相等
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1:56 - 1:59这足以说明这两个三角形相似吗
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2:00 - 2:03当然 因为在一个三角形中 如果你已知其中两个角
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2:03 - 2:06就可以知道剩下的那个角度
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2:06 - 2:08这个角是30度 这个角是90度
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2:08 - 2:11则剩下的角是60度
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2:11 - 2:14不管在什么情况下 无论已知的两个角度是多少
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2:14 - 2:17从180度里减去他们的角度 就是剩下的角
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2:17 - 2:20简单来说 为了证明相似 你不需要
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2:20 - 2:23证明三组对应角
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2:23 - 2:24都相等
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2:25 - 2:27你只需要两组 证明两组角对应相等
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2:27 - 2:31所以这就是我们证明相似的第一个方法
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2:31 - 2:33我们简称它为角角相等
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2:33 - 2:36如果你可以证明两组对应角相等
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2:36 - 2:39那么这两个三角形相似
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2:39 - 2:43举个例子 我们假定一些数字 如果你证明
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2:43 - 2:47这个角是30度 并且知道在这个三角形中
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2:47 - 2:49这个角是90度的话
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2:49 - 2:52那么这个三角形则相似于
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2:52 - 2:53那个三角形
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2:53 - 2:56并且你可以很方便地验证第三个角的度数
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2:56 - 2:57办法非常简单
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2:57 - 3:00第三个角是60度 所以三个角
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3:00 - 3:01都是相等的
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3:01 - 3:04这就是相似的一个证明方法
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3:04 - 3:06关于相似 另一个特征就是
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3:06 - 3:11对应边的长度比都相等
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3:11 - 3:16举个例子 假设我们有另一个三角形
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3:16 - 3:18再画一个三角形
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3:18 - 3:27我把这个它叫做三角形XYZ
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3:27 - 3:30假设我们已知AB边和XY边的长度比
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3:30 - 3:34即已知AB比XY的值
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3:34 - 3:38就是这条边和这条边的比值
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3:38 - 3:40请注意 我并没有说它们是相等的 我只是说
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3:40 - 3:42它们是成比例的 我们现在关注的是比例
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3:42 - 3:45就是假设AB比XY
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3:45 - 3:50等于BC比YZ
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3:50 - 3:57同时也等于AC这一组
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3:57 - 4:05即等于AC比XZ
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4:05 - 4:07那么 这是另一种办法
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4:07 - 4:09可以证明两三角形相似
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4:09 - 4:11所以如果三条边与各自对应边的
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4:11 - 4:15比值都相等
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4:15 - 4:17我们就可以得到两三角形相似的结论
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4:17 - 4:21我们把它称为边边边对应成比例
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4:21 - 4:23你不想把它和
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4:23 - 4:25边边边对应相等则全等的理论混淆
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4:25 - 4:28所以这就是证明相似的基本公设
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4:29 - 4:31相似公设或公理
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4:31 - 4:32我们通过假设得到它们
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4:32 - 4:34我们将通过它们来解决问题
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4:34 - 4:35来证明其他东西
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4:35 - 4:38当我们讨论全等时 边边边意思是
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4:38 - 4:40对应边长度都相等
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4:40 - 4:43边边边 对于相似来说
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4:43 - 4:48指的是对应边长成比例
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4:48 - 4:54举个例子 如果在这里的这条边
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4:54 - 4:57假如说这条边是10 不 让我换个大一点的数
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4:57 - 5:02这条边长是60 那么这条边是30
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5:02 - 5:06这条边是30√3
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5:06 - 5:08我只是想让这些数字恰好成倍
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5:08 - 5:10我们很快就能算出
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5:10 - 5:13这两个30度 60度 90度角三角形的边长比
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5:13 - 5:19我们假设三角形三边长分别为6 3 3√3
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5:19 - 5:24请注意 AB比XY 即30√3
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5:24 - 5:27除以3√3等于10
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5:27 - 5:29BC比XY呢
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5:29 - 5:3230除以3等于10
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5:32 - 5:34那么60除以6呢
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5:34 - 5:38就是AC比XZ
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5:38 - 5:39显然也是10
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5:39 - 5:42所以从小三角形的三边
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5:42 - 5:44到大三角形对应的三边 我们只需要
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5:44 - 5:46给小三角形边长乘以10即可
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5:46 - 5:47所以 他们并非对应相等
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5:47 - 5:49或者说相似不要求
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5:49 - 5:51边边边对应相等
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5:51 - 5:53我们只需要将边长按一定比例扩大
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5:53 - 5:54相同的比例变化
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5:54 - 5:56或者换一种方式思考
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5:56 - 6:00对应边长之比相同
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6:00 - 6:04现在 假设我们有
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6:04 - 6:08另一个三角形
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6:08 - 6:10我这样画它
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6:10 - 6:12这里有我们的结论 我不应该画在这里
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6:12 - 6:15让我再画一个三角形ABC
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6:15 - 6:23三角形ABC中 这是角A角B和角C
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6:23 - 6:26假设我们知道
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6:26 - 6:30从这条边入手 当我们有另一个三角形
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6:30 - 6:31当我们看到另一个相似的三角形
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6:31 - 6:34我们知道XY
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6:34 - 6:39XY等于AB乘以某个常数
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6:39 - 6:43所以 我可以写在这里 XY等于
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6:43 - 6:46某个常数乘以AB
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6:46 - 6:49咱们把XY边画得长一点
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6:49 - 6:51使得那个常数大于1
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6:51 - 6:54常数可以是一个很小的值 我们只是这样假设
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6:54 - 6:57所以我们令XY较大
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6:57 - 7:00假设这里是X那边是Y
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7:00 - 7:08假设我们知道XY比AB等于
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7:08 - 7:09某个常数
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7:09 - 7:11如果你给这个等式左右同时乘以AB
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7:11 - 7:15你就能通过AB再次得到XY
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7:15 - 7:19所以 假设AB等于5 XY等于10
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7:19 - 7:21则常数就是2
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7:21 - 7:232就是边长扩大的比例
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7:23 - 7:26假设我们同时已知
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7:26 - 7:32角ABC和角XYZ相等
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7:32 - 7:34还缺一个要点
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7:34 - 7:39让我再画一个边 这是Z点
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7:39 - 7:45假设我们已知角ABC等于角XYZ
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7:45 - 7:47假设我们知道
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7:47 - 7:51BC边和YZ边的比值也等于这个常数
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7:51 - 7:58BC边和YZ边的比值也等于同一个数
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7:58 - 8:01假设一组边长是5和10 另一组是3和6
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8:01 - 8:04小三角形的边长扩大二倍得到大三角形
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8:04 - 8:10这个三角形XYZ将满足相似
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8:10 - 8:12这是唯一的一个三角形 如果
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8:12 - 8:16XY和AB对应边之间的比例
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8:16 - 8:20与YZ和BC对应边之间的比例相等
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8:20 - 8:22并且其夹角也相等
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8:22 - 8:25则我们只能得到有且仅有的三角形
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8:25 - 8:28我们只能得到唯一的三角形
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8:28 - 8:30有且仅有一个
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8:30 - 8:32这条边
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8:32 - 8:33和这一条边
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8:33 - 8:35也会有同样的比例
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8:35 - 8:41我们把这个称为两边对应成比例且夹角相等
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8:41 - 8:46我们再次想起了学过的SSS和SAS全等
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8:46 - 8:47但这里的有所不同
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8:47 - 8:50这里的SAS是这样的
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8:50 - 8:53如果一组对应边
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8:53 - 8:55两条边长之比
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8:55 - 8:57与另一组对应边两条边长
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8:57 - 8:58之比相等
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8:58 - 9:02也就是说 在这两个三角形中 AB和XY
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9:02 - 9:04和另一组对应边
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9:04 - 9:07BC和YZ边比值相等
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9:07 - 9:10其夹角也相等
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9:10 - 9:12则两个三角形相似
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9:12 - 9:15对于全等的SAS定理要求两组对应边
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9:15 - 9:16边长相等
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9:16 - 9:17而这里 我们只要求两组对应边
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9:17 - 9:21比例相等即可
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9:21 - 9:24现在我们试着应用一下SAS
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9:24 - 9:27让我来画一下 举几个例子
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9:27 - 9:33假设有一个三角形三边长分别为3 2 4
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9:33 - 9:36有另一个三角形
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9:36 - 9:42两个边的长度分别为9和6
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9:42 - 9:45我们还知道两三角形两条边的夹角相等
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9:45 - 9:48也就是说这个角等于这个角
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9:48 - 9:51SAS定理告诉我们
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9:51 - 9:55这一定是一组相似三角形
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9:55 - 9:57对此我们相当确信 因为
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9:57 - 10:00根据这些条件我们只能画出唯一的一个三角形
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10:00 - 10:02这个三角形的三边都将
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10:02 - 10:04以相同倍数扩大
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10:04 - 10:08所以实际上我们只剩下这一条长边了
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10:08 - 10:10我们来把它以三倍扩大
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10:10 - 10:13这就是唯一可能出现的三角形
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10:13 - 10:15如果你使这条边扩大三倍
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10:15 - 10:19这条边也扩大三倍 并且其夹角
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10:19 - 10:22保持不变 这就是我们唯一可以画出的三角形
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10:22 - 10:24我们知道它们是相似的
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10:24 - 10:27每条边都扩大了三倍
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10:27 - 10:31所以我们画出的这个三角形就是我们所说的相似形
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10:31 - 10:32这就是在相似中的SAS
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10:32 - 10:34我们不要求对应这条边等于这条边
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10:34 - 10:36这条边等于那一条边
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10:36 - 10:40我们只需要它们同时扩大相同的倍数
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10:40 - 10:43假设我们有这么一个三角形
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10:43 - 10:48它看起来是这样的 这条边是9 这条边是4
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10:48 - 10:51它们的夹角相等
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10:51 - 10:54你不会说它们相似因为这条边
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10:54 - 10:56扩大了三倍
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10:56 - 10:58而这条边只扩大了两倍
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10:58 - 11:01所以 你不能说
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11:01 - 11:03它们一定相似
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11:03 - 11:08如果有一个三角形一条边长是9
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11:09 - 11:12一条边长是6 但是无法确定
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11:12 - 11:14这两个角是否相等
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11:14 - 11:16同样 你也不能确定
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11:16 - 11:18你不知道这两个三角形
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11:18 - 11:21是否一定相似
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11:21 - 11:24因为你不知道夹角是否一定相等
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11:24 - 11:26你可能会想到会不会还有其他证明相似的办法
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11:26 - 11:32当我们学习全等时 我们讨论过AAS
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11:32 - 11:33但是想想看
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11:33 - 11:35我们已经证明了两组对应角相等
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11:35 - 11:37则一定相似
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11:37 - 11:39所以为什么还需要一组对应边
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11:39 - 11:40的比值呢
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11:40 - 11:42我们甚至还想到
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11:42 - 11:45全等证明中的ASA
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11:45 - 11:47同样想想看 已经有了两组对应角 这已经足够了
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11:47 - 11:49所以我们不需要讨论额外的那一条边
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11:49 - 11:51在相似中 我们甚至根本无需这条规则
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11:51 - 11:54所以这些就是我们的相似定理
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11:54 - 11:57我想提醒大家 边边边的规律在这里是不同的
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11:57 - 11:59不同于全等中的边边边定理
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11:59 - 12:01相似只要求对应边成比例
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12:01 - 12:03不需要完全相等
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12:03 - 12:07这里的边角边也与
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12:07 - 12:08全等中的边角边不同
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12:08 - 12:10它们有一定的联系 但在相似中我们讨论的是
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12:10 - 12:13边与边之间的比例 不要求确切相等
- Title:
- Similarity Postulates
- Description:
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 12:14
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Simplified, China) subtitles for Similarity Postulates |