Similarity Postulates

Hãy cho rằng chúng ta có tam giác ABC.

Nó sẽ nhìn giống như thế này.

Mình muốn biết một tối thiểu số thông tin
nhất định.

Mình muốn ra được một vài tiên đề

để chúng ta có thể xác định được
một tam giác khác

có đồng dạng với ABC hay không.

Thì chúng ta đã biết được nếu
cả 3

góc của tam giác bằng với

các góc tương ứng của tam giác ABC,

thì chúng ta biết được chúng ta đang có
2 tam giác bằng nhau.

Ví dụ như, nếu đây là 30 độ,

góc này là 90 độ, và góc này ở ngay đây

là 60 độ,

và chúng ta có một tam giác khác

nhìn giống như tam giác này,
nhìn nó rõ ràng là tam giác nhỏ hơn,

nhưng nó có các góc tương ứng.

Vậy thì góc này là 30 độ.

Góc này là 90 độ, và góc này
là 60 độ.

Chúng ta biết được rằng XYZ
trong trường hợp này sẽ đồng dạng với ABC.

Và rồi bởi vì những góc tương ứng này
bằng nhau,

chúng ta cũng sẽ biết được tam giác ABC

sẽ đồng dạng với tam giác XYZ.

Và bạn phải có đúng thứ tự

để bạn chắc được bạn đang có những
góc tương ứng.

Y sẽ tương ứng với góc 90 độ.

X sẽ tương ứng với góc 30 độ.

A sẽ tương ứng với góc 30 độ.

Vậy thì A và X sẽ là cặp góc đầu tiên.

B và Y thì cả hai đều là 90 độ, nên
sẽ là cặp góc thứ 2.

Và Z sẽ là cuối cùng.

Vậy nên đó là những thứ mình đã biết,
nếu bạn có 3 góc.

Nhưng mà bạn có cần biết hết
3 góc hay không?

Nếu chúng ta chỉ biết 2 góc
thì có đủ thông tin không?

Thì, đương nhiên vì nếu bạn biết
2 góc của tam giác,

bạn sẽ biết góc còn lại.

Ví dụ như nếu bạn có một tam giác khác

mà nhìn như thế này-- hãy để mình
vẽ nó như thế này--

và nếu mình cho bạn biết rằng chỉ có
2 gặp góc tương ứng

bằng nhau.

Thì có lẽ góc này ở đây cũng sẽ bằng với
góc này ở đây,

và góc này ở đây sẽ bằng với góc kia.

Điều này có đủ để mình nói
2 tam giác này đồng dạng hay không?

Thì chắc chắn.

Bởi vì trong một tam giác, nếu bạn biết
được 2 trong 3 góc,

bạn sẽ biết góc còn lại.

Nếu bạn biết đây là 30 độ,
và đây là 90 độ,

bạn sẽ biết được góc này sẽ là
60 độ.

Bất kỳ 2 góc này là gì, bạn chỉ cần
lấy 180 trừ đi chúng,

và đó sẽ là góc này.

Vậy nhìn chung thì để chúng ta
biết được sự đồng dạng,

bạn không cần phải chỉ ra cả 3 cặp góc

bằng nhau, bạn chỉ cần chỉ ra 2 cặp thôi.

Và đây là tiên đề đồng dạng đầu tiên
của chúng ta.

Chúng ta sẽ gọi nó là góc-góc.

Nếu bạn có thể chỉ ra 2 cặp góc tương ứng

bằng nhau, chúng ta sẽ có 2 tam giác
đồng dạng.

Ví dụ như là, hãy viết những số ở ngay đây,

nếu đây là 30 độ, và chúng ta biết được
với tam giác này

thì góc này sẽ là 90 độ,

chúng ta biết được tam giác này ở ngay đây

sẽ đồng dạng với tam giác kia.

Và bạn có thể đi tới góc thứ 3

một cách dễ dàng.

Bạn có thể nói góc thứ 3 này
sẽ là 60 độ.

Vậy cả 3 góc sẽ bằng nhau.

Đây sẽ là một trong những
điều kiện về đồng dạng của chúng ta.

Bây giờ thì, một điều khác mà chúng ta
biết được về động dạng,

là tỉ lệ giữa các cạnh

sẽ bằng nhau.

Ví dụ như là, nếu chúng ta có
một tam giác khác

ở ngay đây-- mình sẽ vẽ một
tam giác khác--

mình sẽ gọi tam giác này là XYZ.

Hãy cho rằng chúng ta biết được
tỉ lệ giữa AB và XY,

chúng ta biết AB chia cho XY-- nên
tỉ lệ giữa cạnh này

và cạnh này-- hãy để ý chúng ta đang
không nói chúng bằng nhau.

Chúng ta chỉ đang xem xét tỉ lệ thôi.

Chúng ta có thể nói AB chia cho XY, hãy cho rằng

nó sẽ bằng với BC chia cho YZ.

Nó sẽ bằng với BC chia cho YZ.

Và sẽ bằng với AC chia cho XZ.

Vậy một lần nữa, đây là một
trong những cách

bạn có thể biết được, ê, hai tam giác này
đồng dạng.

Vậy thì bạn sẽ có 3 cặp cạnh tương ứng,

tỉ lệ giữa 3 cặp cạnh tương ứng

sẽ bằng nhau, vậy thì chúng ta sẽ biết được

2 tam giác này đồng dạng.

Vậy chúng ta sẽ gọi đây là trường hợp
đồng dạng cạnh-cạnh-cạnh.

Và bạn không muốn lẫn lộn chúng

với tam giác bằng nhau cạnh-cạnh-cạnh.

Tất cả những gì nãy giờ là tiên đề
đồng dạng,

mà chúng ta cho là luôn đúng

để chúng ta có thể nhờ nó

mà giải quyết những vấn đề khác hoặc
chứng minh định lý khác.

Cạnh-cạnh-cạnh, khi chúng ta nói về
tam giác bằng nhau,

có nghĩa là các cặp cạnh tương ứng
sẽ bằng nhau.

Cạnh-cạnh-cạnh cho tam giác
đồng dạng, chúng ta đang nói

về tỉ lệ giữa các cặp cạnh tương ứng

sẽ bằng nhau.

Ví dụ như là hãy cho rằng cạnh ngay đây
sẽ bằng 10.

Không,

để mình nghĩ ra một số lớn hơn.

Hãy cho rằng cạnh này bằng 60,
và cạnh này bằng 30,

và cạnh này ở ngay đây sẽ bằng
30 nhân căn 3.

Mình chỉ đang lấy những con số này
vì sau này chúng ta sẽ học được

rằng đây sẽ là tỷ lệ các cạnh cho
tam giác

góc 30-60-90.

Và hãy xem rằng tam giác này ở đây

sẽ là 6, 3, và 3 căn 3.

Hãy để ý rằng AB chi cho XY, 30 căn 3

chia cho 3 căn 3 sẽ là 10.

BC chia cho XY sẽ bằng gì?

30 chia 3 sẽ bằng 10.

Và 60 chia cho 6 hay là AC chia cho XZ
sẽ bằng gì?

Thì nó cũng sẽ bằng 10.

Vậy nhìn chung, khi chúng ta đi từ cạnh
của tam giác này

sang cạnh tương ứng của tam giác kia,

chúng ta luôn nhân 10 cho cả 3 cặp.

Vậy thì chúng ta đang không nói
2 tam giác này bằng nhau,

hoặc chúng ta đang không nói các cạnh

này bằng nhau cho trường hợp
tam giác bằng nhau cạnh-cạnh-cạnh.

Chúng ta chỉ đang nói rằng các cạnh

đều được nới ra với tỉ lệ bằng nhau,
hoặc một cách khác

để nói là, các tỉ lệ giữa các cặp
cạnh tương ứng nhau

sẽ bằng nhau.

Và bây giờ, điều gì sẽ xảy ra nếu
chúng ta có-- hãy

vẽ một tam giác khác ở ngay đây.

Hãy để mình vẽ nó như thế này.

Thật ra, mình vẫn sẽ để danh sách
trường hợp ở đây.

Hãy vẽ một tam giác ABC khác.

Vậy thì đây sẽ là A, B, và C. Và hãy cho rằng

chúng ta biết được rằng cạnh này,
khi chúng ta đi từ tam giác này,

chúng ta biết được XY sẽ bằng với AB
nhân một hằng số.

Mình sẽ viết nó ở ngay đây.

XY sẽ bằng với một hằng số nhân AB.

Thật ra để mình vẽ XY lớn hơn, thiệt ra
cũng không

cần thiết lắm.

Hằng số đó có thể bé hơn 1, thì trong
trường hợp đó,

cạnh của tam giác sẽ nhỏ hơn.

Nhưng hãy để mình vẽ XY như thế này,

Hãy để mình vẽ XY lớn hơn.

Hãy cho rằng đây là X và đây sẽ là Y.

Hãy cho rằng chúng ta biết XY chia cho AB

sẽ bằng với một hằng số nào đó.

Hoặc nếu bạn muốn nhân cả hai vế
cho AB,

bạn có thể có được XY sẽ bằng với
AB được nhân lên.

Vậy chắc AB sẽ bằng 5, XY bằng 10,
và hằng số của chúng ta sẽ bằng 2.

Chúng đang nhân lên 2 lần.

Hãy cho rằng chúng ta cũng biết được
góc ABC

sẽ bằng với góc XYZ.

Mình sẽ thêm một điểm ở đây.

Vậy hãy để mình vẽ một cạnh khác
ở ngay đây.

Đây sẽ là Z. Vậy hãy cho rằng

chúng ta cũng biết góc ABC sẽ
bằng với góc XYZ,

và hãy cho rằng chúng ta biết tỉ lệ
giữa BC và YZ

cũng là hằng số này.

Tỉ lệ giữa BC và YZ cũng

bằng với hằng số.

Thì ví dụ như đây là 5 và 10, thì đây
sẽ là 3 và 6.

Thì hằng số ở đây chúng ta đang

nhân đôi độ dài mỗi cạnh.

Vậy thì tam giác XYZ có đồng dạng
hay không?

Thì, nếu bạn nghĩ về nó, nếu XY
là bội của AB với một số

giống như là YZ là bội của BC với số đó,
và góc ở giữa

bằng nhau, thì chỉ có duy nhất
một tam giác

giống vậy mà chúng ta có thể dựng
ở đây.

Chúng ta bị giới hạn lại chỉ một tam giác
ở ngay đây,

vậy thì chúng ta đã giới hạn

độ dài của cạnh này, và độ dại
của cạnh này

cũng sẽ có tỉ lệ giống với
cạnh này ở đây.

Vậy nên chúng ta gọi đây là trường hợp
đồng dạng cạnh-góc-cạnh.

Vậy một lần nữa, chúng ta có
cạnh-cạnh-cạnh và cạnh-góc-cạnh

trong các tiên đề về tam giác bằng nhau,

nhưng ở đây chúng ta đang nói tới
một thứ hoàn toàn khác.

Chúng ta đang nói trong trường hợp
cạnh-góc-cạnh, nếu mà tỉ lệ

giữa các cặp cạnh tương ứng của
một tam giác

là bằng nhau, thì AB và XY là một
cặp cạnh tương ứng, và rồi ta có

cặp cạnh tương ứng còn lại,
vậy nên đây là cạnh thứ 2,

vậy là tỉ lệ giữa BC và YZ,
và góc giữa chúng

cũng bằng nhau, thì chúng ta
có thể nói 2 tam giác đồng dạng.

Với trường hợp tam giác bằng nhau
cạnh-góc-cạnh, các cạnh

thật sự phải bằng nhau.

Ở đây chúng ta đang nói chỉ cần tỉ lệ giữa
các cặp cạnh tương ứng

bằng nhau thôi.

Để mình thực hành thì ví dụ là
cạnh-góc-cạnh -- để mình

cho bạn một vài ví dụ ở đây.

Hãy cho rằng mình đang có một tam giác
ở đây là 3, 2, 4.

Và hãy cho rằng chúng ta có một
tam giác khác ở đây

và có độ dài là 9, 6, và chúng ta
cũng biết được

rằng góc ở giữa sẽ bằng nhau

nên ta có góc này sẽ bằng với
góc này.

Với tiên đề tam giác đồng dạng,
thì cạnh-góc-cạnh cho chúng ta biết

rằng các tam giác này chắc chắn

sẽ đồng dạng với nhau, rằng chúng ta

đang giới hạn lại bởi vì thật ra chỉ có
một tam giác

thỏa điều kiện mà chúng ta đã vẽ ở đây.

Nó sẽ là một tam giác mà

tất cả các cạnh của nó đều được
nhân lên bởi một tỉ lệ chung.

Vậy nên chỉ có một cạnh dài ở đây
mà chúng ta

có thể vẽ, và nó

sẽ cũng phải được nhân lên 3 lần.

Vậy đây là tam giác duy nhất thỏa
điều kiện.

Nếu bạn đang giới hạn cạnh này,
bạn đang nói rằng,

đây là 3 lần cạnh này, đây
cũng là 3 lần cạnh này,

và góc giữa 2 cặp cạnh cũng bằng
nhau,

thì chỉ có duy nhất 1 tam giác mà chúng ta
có thể vẽ.

Và chúng ta biết rằng đó là
tam giác đồng dạng

bởi vì mỗi cạnh đều được nhân lên
3 lần,

vậy nên chỉ có 1 tam giác mà chúng ta

có thể vẽ, và tam giác đó bắt buộc
là tam giác đồng dạng.

Vậy đây là thứ cạnh-góc-cạnh
đang đề cập tới.

Chúng ta đang không nói cạnh này
đang bằng với cạnh này,

hoặc cạnh này đang bằng với
cạnh này,

chúng ta đang nói rằng chúng chỉ được
nhân lên với tỉ lệ giống nhau.

Nếu chúng ta có một tam giác
nhìn như thế này,

thì cạnh này có thể là 9, cạnh này
là 4, và góc giữa chúng

bằng nhau, bạn không thể nói

chúng đồng dạng vì cạnh này đang được
nhân với 3,

và cạnh này chỉ được nhân với 2.

Vậy bạn không thể nói tam giác này
ở đây

đồng dạng.

Và tương tự thì nếu bạn có một tam giác
có cạnh 9 ở đây và cạnh 6 ở đây,

nhưng bạn không biết được rằng

2 góc này bằng nhau,

thì một lần nữa, bạn đang không có đủ
điều kiện giới hạn,

và bạn cũng không biết rõ rằng
2 tam giác

có đang đồng dạng hay không,
bởi vì bạn không biết

rằng góc ở giữa có bằng nhau hay không.

Bây giờ, bạn có thể nói rằng, thì

chúng ta có một vài tiên đề khác
cho tam giác bằng nhau.

Chúng ta đã có góc góc cạnh khi
chúng ta xét tam giác bằng nhau,

nhưng nếu bạn nghĩ thêm về nó,
chúng ta đã

chỉ ra sẵn rằng 2 góc cũng đủ

để cho chúng ta biết sự đồng dạng.

Vậy thì tại sao mà chúng ta phải
quan tâm tới góc-góc-cạnh

hay là tỉ lệ giữa các cạnh?

Chúng ta đâu cần quan tâm đến
cạnh đâu đúng không?

Thì chúng ta cũng có góc-cạnh-góc
trong tam giác bằng nhau,

nhưng một lần nữa, chúng ta cũng đã
biết chỉ cần 2 góc là đủ,

nên chúng ta không cần quan tâm
thêm đến cạnh còn lại,

chúng ta không cần trường hợp này
ở đây.

Vậy nên đây sẽ là các tiên đề
đồng dạng của chúng ta,

và mình muốn nhắc bạn rằng,
cạnh-cạnh-cạnh ở đây

sẽ khác với cạnh-cạnh-cạnh
của tam giác bằng nhau.

Chúng ta đang nói về tỉ lệ
giữa các cặp cạnh tương ứng.

Chúng ta đang không nói các
cạnh này phải bằng nhau.

Và ở đây, cạnh-góc-cạnh,
nó cũng khác

với cạnh-góc-cạnh của
tam giác bằng nhau.

Nó cũng hơi liên quan,
nhưng ở đây

chúng ta đang nói về tỉ lệ giữa
các cạnh,

chứ không phải về độ dài.