Similarity Postulates

Візьмемо трикутник ABC, наприклад такий.

Я хочу використати щонайменше інформації,

вивести мінімальний набір постулатів,

за допомогою яких можна визначити,
чи інший трикутник

подібний до ABC.

Отже ми вже знаємо, що якщо усі три кута,

всі трі відповідні кута дорівнюють

відповідним кутам ABC, то це значить,

що це подібні трикутники.

Так, наприклад,
якщо цей кут 30 градусів, а цей кут 90,

а отой кут 60 градусів.

А ще в нас є інший трикутник,
схожий на цей,

наприклад, дещо менший,

при цьому його відповідні кути
дорівнюють: цей 30 градусів,

цей 90 градусів, і цей 60 градусів.

У цьому випадку ми знаємо, що XYZ

подібний до АВС.

Ми це знаємо тому,

що відповідні кути рівні.

Ми знаємо,
що трикутник АВС подібний до XYZ.

Дуже важливим є порядок запису вершин,

щоби відповідні кути були рівними.

Y відповідає куту у 90 градусів,

Х відповідає куту у 30 градусів,

А також відповідає куту у 30 градусів.

Тобто ми можемо взяти А та Х першими,

В та Y, котрі по 90 градусів,
будуть другою парою вершин,

і, нарешті, Z та С останні.

Тобто, і ми це вже знаємо,
якщо є три кути...

Але чи потрібні три кути?

Якби ми знали тільки про два кути,

чи було би цього достатньо?

Звісно, оскільки якщо ви знаєте два кути,
ви також знаєте і третій.

Так, наприклад, якщо є ще один трикутник,

котрий виглядає схоже.

І якби я сказав,
що тільки два відповідні кути рівні.

Ну, наприклад, оцей кут
дорівнює отому куту,

а цей кут дорівнює он тому.

Чи достатньо цього, щоби сказати,
що ці два трикутники подібні?

Звісно, достатньо, бо якщо відомі два кути,

то зрозуміло і яким має бути останній кут.

Якщо ви знаєте, що оцей 30°, та отой 90°,

то відомо, що цей має бути 60°.

Якими б не були оці два кути,

відніміть їх від 180° і це буде третій кут.

Тобто, у загальному випадку,
щоби показати подібність,

вам не потрібно показувати,
що усі 3 відповідні кути рівні.

Насправді достатньо двох.

Отже, нехай це буде наш перший
постулат подібності.

Назвемо його Кут-Кут.

Якщо ви можете показати,
що два відповідні кути рівні,

то це два подібні трикутники.

Так, наприклад,
просто щоби оперувати конкретними числами,

якщо цей 30°,
і ми знаємо, що в цьому трикутнику

оцей 90°.

З цього ми знаємо, що отой трикутник

подібний до цього.

І ви можете дуже просто
визначити третій кут.

Можна підрахувати, що третій кут буде 60°,

тобто усі три кути рівні.

Це одне з наших визначень подібності.

Ще нам відомо,
що подібність це те,

коли коефіцієнт відношення
між усіма сторонами однаковий.

Так, наприклад, якщо в нас є
ще один трикутник отут.

Давайте я намалюю ще один трикутник.

Я назву цей трикутник XYZ.

І, наприклад, ми знаємо, що
відношення АВ до ХY,

AB розділити на ХY,

відношення оцієї сторони до отієї.

Завважте, ми не кажемо, що вони рівні,

ми просто розглядаємо відношення.

Ми кажемо, що АВ до ХY, наприклад,

дорівнює ВС до YZ.

Воно дорівнює BC до YZ і також
дорівнює АС до ХZ.

Тобто знову, це один із способів сказати:

"Агов! Це значить вони подібні".

Тобто, якщо ви берети усі три
відповідні сторони,

і відношення в усіх трьох відповідних сторін
одне й те саме,

то це значить, що ми маємо справу
з подібними трикутниками.

Ми це називаємо
Подібність Сторона-Сторона-Сторона,

і будь-ласка не плутайте,

з Рівністю Сторона-Сторона-Сторона.

Отже, це наші постулати подібності

Постулати подібності або аксіоми.

або те, що ми приймаємо

і на чому будемо базуватися
для вирішення задач

та доведення інших речей.

Сторона-Сторона-Сторона, коли ми говоримо
про рівність, означає,

що відповідні сторони рівні.

Для подібності
Сторона-Сторона-Сторона означає,

що відношення між відповідними сторонами
одне й те саме.

Наприклад, якщо

отут 10, ні, візьмемо більше число,

наприклад отут 60, отут 30

а отут 30 коренів з трьох.

І я спеціально підібрав ці числа,

бо ми скоро вивчимо типові відношення

сторін трикутника 30, 60, 90.

І, наприклад, отут ми маємо 6, 3
та 3 кореня з трьох.

Завважте, АВ до XY, 30 коренів з трьох

до 3 кореня з трьох буде 10.

Чому дорівнює BC до XY?

30 розділити на 3 це 10.

А 60 розділити на 6?

Яке відношення АС до XZ?

Це виходить 10.

Тобто, щоби отримати з
відповідної сторони отут

відповідну сторону отут,
ми завжди умножаємо

на 10 кожну сторону.

Тобто, ми не кажемо, що вони рівні,

для подібності Сторона-Сторона-Сторона.

Ми лише кажемо, що ми їх збільшуємо

тим самим коефіцієнтом.

Або, кажучи інакше,

відношення між відповідними сторонами
одне й те саме.

Тепер розглянемо наступний приклад..

Давайте намалюємо ще один трикутник отут.

Я намалюю трикутник АВС.

Ось А, В та С.

І, наприклад, ми знаємо,

що оця сторона,

якщо порівняти її

зі стороною ХY,

то ХY більша за АВ в певне число раз.

Давайте запишемо, XY дорівнює

константі K помножити на АВ.

Насправді, давайте зробимо XY більше,

бо константа може бути менша за 1,

і в цьому випадку це буде менше значення,
але давайте зробимо так.

Давайте я намалюю XY трохи більшою.

Наприклад, ось Х і оце Y.

І, наприклад, XY до АВ дорівнює

певній константі.

Або якщо домножити з обох сторін на АВ,

то ми отримаємо, що XY -
це збільшена версія АВ

Ну, наприклад, якщо АВ 5, то XY 10,

а наша константа буде 2.

Ми подовжили в 2 рази.

І, наприклад, ми також знаємо,

що кут АВС дорівнює куту XYZ.

Я додам ще одну точку отут,

тут буде сторона, оце Z.

Тобто, ми знаємо, що кут АВС
дорівнює куту XYZ.

І, наприклад, відношення

між ВС та YZ таке саме.

Відношення між BC та YZ також дорівнює
тій самій константі.

Тобто, якщо тут 5 та 10,
то тут нехай буде 3 та 6.

Ця константа просто подвоює
довжину сторони.

В цьому випадку, чи буде XYZ подібним?

Ну, якщо подумати,

якщо XY це збільшена версія АВ,

в таке саме число раз,
як і YZ збільшено до ВС,

і цей кут між ними рівний,

то виходить один єдиний
можливий трикутник.

Ніяких варіантів немає.

Ми задали

довжину оцієї сторони.

Довжина отої сторони

повністю визначена коефіцієнтом звідси.

І ми це називаємо
подібність Сторона-Кут-Сторона.

Тобто ми вже побачили
ССС та СКС в постулатах рівності.

Але тут це дещо інше.

В цьому СКС,

якщо подивитись на відношення
однієї відповідної сторони

до іншої відповідної сторони.

Якщо відношення
між відповідними сторонами

двух трикутників однакове.

Так, АВ та XY -
це одна пара відповідних сторін

Інша пара відповідних сторін

це BC та YZ,

та кути між ними рівні,

то трикутники будуть подібними.

Для рівності СКС,
сторони мали бути рівними.

А тут, ми кажемо, що відношення

між відповідними сторонами
має бути те саме.

Щоби використати СКС,

давайте намалюємо ще приклади.

Так, нехай в нас є трикутник 3,2,4.

І до того є ще інший трикутник.

І в цього трикутника сторони 9 та 6.

Ми також знаємо, що кути рівні.

Тобто оцей кут дорівнює отому куту.

І СКС показує,

що ці трикутники є подібними.

І це виходить відтого,

що насправді тут можна побудувати
один єдиний трикутник,

і це трикутник, в якого усі сторони

будуть збільшені в однакове число раз.

Тут є єдина можливість намалювати
довгу сторону.

І вона також буде більша в три рази.

Тут можливий один єдиний трикутник.

Якщо задати цю сторону, сказати дивіться,

ця сторона втричі більша
і ота втричі більша

і кут між ними рівний,
то виходить єдиний можливий трикутник.

І ми знаємо, що якщо все збільшено втричі,

то буде подібний трикутник.

І так, як ми можемо побудувати тільки один
трикутник, то це і буде той подібний.

Тобто, коли ми розмовляємо про СКС,

ми не кажемо, що ці сторони рівні

або оці сторони рівні.

Ми кажемо, що вони збільшені
в однакове число раз.

Візьмемо ще один трикутник,

який виглядає схоже.
Наприклад тут 9, а тут 4,

і кут між ними рівний.

Але вони не є подібними,

бо оця сторона збільшена втричі.

А оця сторона збільшена лише вдвічі.

То, давайте закреслимо,

не можна казати, що вони подібні.

І ще, якщо у вас є трикутник
зі сторонами 9 тут

і 6 отут,

але ви не знаєте, чи кути однакові.

Якщо умов задане недостатньо,

то не можна казати, що ці трикутники

точно є подібними.

Бо ви не знаєте, чи кути між ними рівні.

Ну, можна було б додати ще постулатів.

Наприклад розглянути ККС,
так само як і в рівності.

Але ми вже показали,

що для подібності достатньо двох кутів.

То навіщо турбуватися
про два кути і сторону

або відношення сторін.

Да, в нас є рівність Кут-Сторона-Кут,

але, ще раз, ми знаємо,
що двох кутів цілком достатньо.

І нам не треба додавати ще сторону.

Нам це не потрібно.

Отже це наші постулати подібності.

І пам’ятайте, Сторона-Сторона-Сторона
відрізняється

від Сторони-Сторони-Сторони для рівності.

Бо ми розглядаємо відношення
відповідних сторін.

Але ми не кажемо, що вони рівні.

І Сторона-Кут-Сторона також відрізняється

від Сторони-Кут-Сторони для рівності.

Вони схожі, але тут ми розглядаємо

відношення сторін, а не абсолютний вимір.