Similarity Postulates

...

Рецимо да имамо троугао АВС.

Он игледа некако овако.

...

Желим да размислимо о минималној количини информација.

Желим да изведем неколико постулата

које можемо користити за одређивање да ли је неки други троугао

сличан троуглу АВС.

Па, већ знамо да ако су сва три

угла подударна

одговарајућим угловима у троуглу АВС, тада

знамо да имамо посла са сличним троугловима.

Тако, на пример, ако је ово угао од 30 степени,

овај угао је 90 степени, а овај угао тачно овде

је 60 степени.

И имамо други троугао који

изгледа овако, то је, јасноје, мањи троугао,

а углови су подударни.

Дакле, ово је 30 степени.

Ово је угао од 90 степени, а ово је угао од 60 степени,

знамо да ће троугао XYZ у овом случају бити сличан са АВС.

Дакле, ми бисмо знали на основу овог, јер су одговарајући углови

подударни, ми бисмо знали да је троугао АВС

сличан троуглу XYZ.

И морате доћи до тачног редоследа да будете сигурни

да имате једнаке одговарајуће углове.

Теме Y одговара углу од 90 степени.

Теме Х одговара углу од 30 степени.

Теме А одговара углу од 30 степени.

Дакле, А и X су прва темена.

В и Y, који су код 90 степени, су друга два темена,

и онда Z је последње теме.

Дакле, то је шта већ знамо, када имате три угла.

Али да ли требамо три угла?

Ако једино знамо два угла, да ли би то било довољно?

Па, сигурно, јер ако знате два угла за троугао,

знете и трећи.

Тако, на пример, ако имате други троугао

који изгледа овако... дозволите да га нацртам овако...

и ако вам кажем да су само два одговарајућа угла

подударна.

Дакле, можда је овај овде угао подударан овом углу,

а тај угао тачно тамо подударан са тим углом.

Да ли је то довољно за рећи да су ова два троугла слична?

Па, сигурно.

Пошто у троуглу, ако знате два угла,

тада знате колики послењи угао мора бити.

Ако знате да је ово 30 и знате да је то 90,

тада знате да овај угао мора бити 60 степени.

Колики год ова два угла била, одузмете их од 180,

и то ће бити овај угао.

Значи, уопштено, у циљу да покажемо сличност,

не морате да покажете да су три одговарајућа угла

подударна, само треба да покажете за два.

Значи, ово ће бити први постулат о сличности.

Зовамо га угао-угао.

Ако можете показати да су два одговарајућа угла

подударна, тада имамо посла са сличним троугловима.

Тако, на пример, само да ставимо неке бројеве овде,

да је ово било 30 степени и знамо да је то ово троугао,

ово управо овде је 90 степени,

знамо да је овај управо овде троугао

сличан са тим тамо.

И можете стићи до трећег угла

на овај прилично једноставан начин.

Кажете да је овај трећи угао 60 степени,

такод а су сви углови једнаки.

То је један од услова сличности.

Сада, друга ствар коју знамо о сличности

је да ће размера између свих сраница

бити једнака.

Тако, на пример, ако имамо други троугао тачно

овде... дајте да нацртам други троугао....

Назваћу овај троугао Х, У и Z.

И рецимо да знамо да је разера између АВ и ХУ,

знамо да је АВ кроз ХУ...дакле, размера између ове стране

и ове стране... приметите, не кажемо да су оне подударне.

Посматрамо њихову размеру сада.

Кажемо АВ кроз ХУ, рецимо,

да је то једнако са ВС кроз YZ.

То је ејднако са ВС кроз YZ.

А то је једнако са АС кроз XZ.

Дакле, још једном, ово је један од начина

да кажемо, хеј, ово одразумева сличност.

Дакле, ако имате одговарајуће странице,

а размере између све три одговарајуће странице

су једнаке, тада знамо да

имамо посла са сличним троугловима.

Значи, ово је оно што називамо сличност страница-страница-страница.

И не треба да бркате ово

са страница-страница-страница подударност.

Дакле, ово су све постулати о сличности

или аксиоме или ствари које ћемо претпоставити

и онда их користити

да решимопроблеме и докажемо друге ствари.

Страница-страница-страница, када говоримо о подударности,

подразумева да су одговарајуће странице подударне.

Страница-страница-страница за сличност,

говори да ће размера између одговарајућих страница

бити једнаке.

Тако, на пример, рецимо, да је ово овде 10.

Не.

Дајте да узмем већи број.

Рецимо да је ово 60, ово управо овде је 30,

а ово тачно овде је 30 квадратних корена од 3,

и ставио сам ове бројеве јер ћемо ускоро

научити који си уобичајене размере страница када су углови 30-60-90

у троуглу.

И рецимо да је ово овде

6, 3, и 3 квадратних корена од 3.

Приметите АВ кроз ХУ 30 квадратних корена

од 3 кроз 3 квадратна корена од 3, ово ће бити 10.

Колико је ВС кроз ХУ?

30 подељено са 3 је 10.

А колико је 60 подељено са 6 или АС кроз ХУ?

Па, то ће бити 10.

Дакле, генерално, да идете од одговарајуће странице

овде до одговарајуће странице тамо,

увек множимо са 10 на обе стране.

Дакле, не кажемо да су оне подударне

или не кажемо да су странице

једнаке за ову сличност страница-страница-страница.

Кажемо само да их множимо са

истим коефицијентом или други начин

да посматрамо то, размера између одговарајућих страница

су једнаке.

Сада, шта да сам имао...

почнимо други троугао овде.

Дозволите да нацратм то овако.

Заправо, желим да оставим ово овде тако да можемо имати наш редослед.

Дакле, нацртајмо други троугао АВС.

Значи, ово је А, В и С. И рецимо

да знамо да је ова страница, када пређемо на други троугао,

знамо да је ХУ, АВ помножено са неком константом.

Дакле, могу записати то овде.

ХУ је једнако са нека константа пута АВ.

Заправо, дајте да начиним ХУ већим, тако да, заправо,

то не мора бити случај.

Та константа може бити мања од 1 у ком случају

би то била мања вредност.

Али дајте ми да урадим тако.

Па, дајте да начиним ХУ малчице већим.

Дакле, рецимо да је ово Х а то је У.

Дакле, рецимо да знамо да је ХУ кроз АВ

једнако некој константи.

Или ако помножите обе странице са АВ,

добили бисте ХУ као неку скалирану верзију од АВ.

Дакле, можда је АВ једнако 5, ХУ је 10, тада би наша константа била 2.

Увећавамо то са константом 2.

И рецимо да такође знамо да је угао АВС

подударан са углом XYZ.

Додаћу другу тачку овде.

Дакле, дозволите ми да нацртам другу страницу тачно овде.

Дакле, ово је Z. Дакле, рецимо да такође

знамо да је угао АВС подударан са углом XYZ,

и рецимо да знамо да је размера између ВС и ХУ

такође константна.

Размера између ВС и ХУ је такође

једнака са истом констаном.

Тако, на пример, где је ово 5 и 10, можда је ово 3 и 6.

Некако константно дуплирамо

дужину страница.

Па, да ли ће овај троугао XYZ бити сличан?

Па, ако размислимо о томе, ако еј ХУ исти множилац од АВ

као YZ што је множилац од ВС а угао између је

подударан, постоји само један троугао

који можемо одредити овде.

Упућени смо на само један троугао овде,

и дакле, комплетно смо условљени

да дужина ове странице и дужина ове странице

буду скалиране истом вредношћу као та тамо.

И дакле, називамо то сличност страница-угао-страница.

...

Дакле, још једном, видели смо SSS и SAS

у нашим постулатима, али

кажемо нешто веома различито овде.

Кажемо да је то SAS, ако је размера

између одговарајућих страница за тачан троугао

једнака, дакле, АВ и ХУ су једна пар одговарајућих страница и онда

други пар осдговарајућих страница, па, то је други пар,

дакле, то је између ВС и YZ, а углови између

њих су подударни, тада кажемо да су слични.

За SUS за подударност, рекли смо да странице заиста

морају бити подударне.

Овде кажемо да размера између одговарајућих страница

мора бити једнака.

Тако, на приемр, SUS, само да га применимо, ако имам...

дозволите да прикажем неки приемр овде.

Дакле, рецимо да имам троугао који је 3, 2, 4,

и рецимо да имамо други троугао овде

чије су дужине страница 9, 6 и такође

знамо да су углови између подударни дакле

тај угао је једнак са тим углом.

Оно шта вам SUS у свету сличности говори

јесте да ће ови троуглови дефинитивно

бити слични троуглови, да ми заправо

условљавамо јер постоји заправо само један троугао

који можемо нацртати овде.

То је троугао где ће све странице

бити скалиране истим коефицијентом.

Дакле, овде може бити само једна страница коју

можемо нацртати и она

мора бити скалирана са 3, такође.

Ово је једнини могући троугао.

Ако условите ову страницу, кажете, погледајте,

ово је 3 пута та страница, ово је 3 пута та страница,

а угао између њих је подударан,

постоји само један троугао који можемо нацртати.

И знамо да постоји сличан троугао тамо

где је све скалирано коефицијентом 3,

тако да тај једна троугао који можемо нацртати

мора да буде тај сличан троугао.

Значи, ово је оно о ћему говоримо у SUS.

Не кажемо да је ова страница подударна са том страницом

или та страница подударна са том страницом,

кажемо да су оне скалиране истим коефицијентом.

...

Да смо имали други троугао који је изгледао овако,

па, можда је ово 9, ово је 4 а угао између њих

подударан, не бисте могли рећи да су

слични јер ова страница је скалирана са коефицијентом 3.

Ова страница је скалирана само са коефицијентом од 2.

Дакле, овај овде не бисте могли

рећи да је обавезно сличан.

А насупрот томе, да сте имали троугао који је имао сужину 9 овде

и дужину 6 тамо, ало нисте

знали да су ова два угла подударна,

још једном, не условљавате ово довољно,

и не бисте знали да су ова два троугла

обавезно слична јер

не знате да су средишњи углови једнаки.

Сада, можете рећи, па,

постоји неколико других постулата које смо имали.

Имали смо USU када смо имали посла са подударношћу,

али ако размислите о томе, већ смо

показали да су два угла сама по себи

довољна за доказ сличности.

Онда, зашто бринути о углу, једном углу, и страници,

или размери између страница?

Дакле, зашто бринути о томе?

И такође смо имали USU код подударности,

али још једном, већ знамо да су два угла довољна

тако да не требда да проверавамо ову додатну страницу,

дакле, чак ни не требамо ово тачно овде.

Дакле, ово ће бити наши постулати о сличности,

и желим да вас потсетим, страница-страница-страница,

ово је различито од странице-странице-странице код подударности.

Говоримо о размери између одговарајућих страница.

Не кажемо да су оне заправо подударне.

А овде, страница-угао-страница, то се разликује

од страноц-угао-странице за подударност.

То јесте некако повезано, ало овде

говоримо о размери између страница, не

о њиховим мерама.

...