Similarity Postulates

La oss si,

at vi har trekanten A, B, C, og den ser noenlunde ut som dette.

Vi skal finne noen regler,

som vi kan bruke til å bestemme,

om de to trekantene er formlike.

Vi vet allerede,

at hvis alle tre vinkler er kongruente

med de tilsvarende vinklene i trekant ABC,

så er de 2 trekantene kongruente.

Vi kan for eksempel si, at den her vinkelen er 30 grader, den her er 90,

og vinkelen her er 60 grader.

Nå har vi så en annen trekant, som ser sånn her ut.

Den er uten tvil mindre enn den første,

men de tilsvarende vinklene er 30 grader,

90 grader og 60 grader, akkurat som vinklene i ABC.

Vi vet derfor, at trekant XYZ og trekant ABC er formlike.

.

Fordi vi vet,

at de tilsvarende vinklene er kongruente,

vet vi, at trekant ABC og trekant XYZ er formlike.

Det er viktig å ha bokstavene i den riktige rekkefølgen,

så det er de riktige vinklene, som er tilsvarende.

Y er tilsvarende med vinkelen på 90 grader,

X er tilsvarende vinklene på 30 grader og A er tilsvarende vinklene på 30 grader.

A og X hører altså sammen,

B og Y, som er vinklene på 90 grader, hører sammen

og til slutt hører C og Z sammen.

Det er, hva vi vet, når vi har tre vinkler,

men en tre vinkler egentlig nødvendig?

Ville det være n ok kun å kjenne to av vinklene?

.

Det ville det,

fordi vi kan regne oss frem til den tredje vinkelen ved å kjenne de to andre vinklene.

Vi kan si, at vi har en annen trekant,

som ser sånn her ut.

Vi får vite, at kun to av de tilsvarende vinklene er kongruente.

.

Kanskje den her vinkelen er kongruent

med den her vinkelen, og den her vinkelen er kongruent

med den her.

Er det nok til å si, at de to trekantene er formlike?

Selvfølgelig er det det, fordi vi kan regne oss frem til den siste vinkelen i trekanten,

når vi kjenner de to andre.

Hvis vi for eksempel vet, at den her er 30 grader og den her er 90,

så vet vi, at den her skal være 60 grader.

Uansett hva de her to vinklene er,

skal man trekke de to fra 180, og så finner man den siste vinkelen.

For å vise, at de er formlike,

behøver man altså ikke vist, at tre tilsvarende vinkler

er kongruente.

Man skal bare vise, at to av de er.

Det er den første av reglene for formlikhet.

Vi kan kalle den vinkel-vinkel.

Hvis man kan vise, at de tilsvarende vinklene er kongruente,

har man to formlike trekanter.

Vi skriver vinklene inn i den her trekanten.

Den her vinkelen er 30 grader,

og vinkelen skal være 90 grader.

Vi vet derfor, at de her to trekantene

er formlike.

Man kan finne den tredje vinkelen på en enkel måte.

Vi kan si,

at den her vinkelen er 60 grader,

og så er alle tre tilsvarende vinkler de samme i de to trekantene.

Man skal altså kun kjenne to av vinklene for å kunne vise, at trekantene er formlike.

En annen tin, vi vet om formlikhet, er,

at forholdet mellom alle sidene skal være det samme.

Vi har enda en trekant her borte.

Vi tegner enda en trekant.

Den her trekanten kan vi kalle X, Y og Z.

La oss nå si, at vi vet, at forholdet mellom siden AB og XY

er AB over XY.

Det er altså forholdet mellom den her og den her siden.

Legg merke til, at sidene ikke nødvendigvis er kongruente.

Det er kun forholdet mellom sidene, vi ser på nå.

Vi kan si, at siden AB over XY

er lik med side BC over YZ.

Det er lik med BC over YZ, og det er lik med AC over XZ.

AV over XZ.

Det er en av måtene til å finne ut av,

om trekantene er formlike.

Hvis vi har alle 3 tilsvarende sider,

så vil forholdet mellom alle tre tilsvarende sider være det samme.

På den måten vet vi, at vi har med formlike trekanter å gjøre.

Den her regelen kaller vi side-side-formlikhet.

Det skal ikke blandes sammen med

side-side-side-kongruens.

Nå har vi funnet våre regler om formlikhet.

Man kan også kalle det postulater eller grunnsetninger.

Det er noen ting, vi antar

for å kunne løse noen problemer

og bevise andre ting.

Her snakker vi om kongruens, som betyr side-side-side,

at de tilsvarende sidene er kongruente.

Når vi snakker om formlikhet, betyr det side-side-side,

at forholdet mellom de tilsvarende sidene er det samme.

Vi kan si, at det her over er 10.

Hvis den her er 10.

Nei, vi sier 60 i stedet for, og så er den her 30,

og siden her er 30 ganger kvadratroten av 3.

Vi kan bruke de her tallene,

fordi vi snart vil være, hvilket forhold som typisk er mellom sidene

i trekanter med vinklene 30,60,90.

La oss si at sidene her er 6, 3 og 3 ganger kvadratroten av 3.

Legg merka til, at AB over XY er 30 ganger kvadratroten av 3

over 3 ganger kvadratroten av 3, og det vil gi 10.

Hva er så Bc over XY?

30 dividert med 3 er 10.

Hva er så 60 dividert med 6?

AC over XZ må altså også gi 10.

.

For å gå fra den tilsvarende siden her

til den tilsvarende siden her, skal vi alltid

gange med 10.

Vi sier altså ikke, at sidene er kongruente

eller et sidene er like

for side-side-side-formlikhet.

Vi sier, at vi forstørrer de opp ved å gange

med det samme tallet.

.

Forholdet mellom de tilsvarende sidene er altså det samme.

La oss prøve med en ny trekant.

Vi kan si, at vi har enda en trekant her.

Vi tegner den.

.

Vi tegner en annen trekant ABC.

På den nye trekanten er det her A, det her B og det her C.

Vi vet nå, at vi kan finne forholdet mellom sidene på den her trekanten

og sidene på en annen trekant.

Vi tegner litt av en ny trekant.

Vi vet nå, at XY fir AB,

når vi ganger med en bestemt konstant.

Det kan vi skrive her.

XY er lik med en konstant ganger AB.

Vi tegner XY litt større,

så konstanten kan være mindre enn 1.

I det tilfelle vil det være en mindre verdi.

Vi tegner XY en smule større.

La oss si at det her er X, og det her er Y.

Nå vet vi, at XY over Ab er lik med

en eller annen konstant.

Hvis man ganger begge sider med AB,

vil man få XY som en forstørret utgave av AB.

Kanskje AB er 5 og XY er 10,

og så vil vår konstant være 2.

Vi forstørret AB med faktor 2.

La oss si, at vi også vet,

at trekant ABC og trekant XYZ er kongruente,

og så skal vi gjøre enda et punkt på trekanten her.

Vi tegner en ny side på trekanten, og så er det her Z.

Vi vet altså også, at trekant ABC og trekant XYZ er kongruente.

La oss nå si, at vi vet,

at forholdet mellom BC og YZ er den samme konstanten.

Forholdet mellom BC og YZ er altså lik med den samme konstanten som forholdet mellom AB og XY.

Hvis AB er 5, og XY er 10, så er BC kanskje 3, og YZ er 6.

Med konstanten dobler vi altså på en måte lengden av BC.

Vil trekanten XYZ være formlik?

Vi kan kun tegne en trekant her.

Hvis vi sier, at forholdet mellom XY og AB

er det samme som forholdet mellom YZ og BC,

og vinkelen i mellom er kongruent,

så vil det kun være en mulig trekant å tegne her.

Vi er begrenset til en trekant her.

Lengden av den her siden kan altså kun være,

som den er nå.

Lengden av den her siden skal kunne finnes

ved å gange den her siden med en konstant.

Den regelen kaller vi side-vinkel-side-formlikhet.

Vi så SSS og SVS i våre regler om kongruens,

men vi sier noe annerledes her.

Vi sier ved SVS reglen,

at forholdet mellom en tilsvarende side og

den andre tilsvarende er det samme,

så trekantene også de samme.

.

Vi har forholdet mellom AB og XY på den tilsvarende siden,

og så har vi på den andre tilsvarende siden

forholdet mellom BC og YZ,

og vinkelen mellom de to er lik.

I det her tilfellet sier vi, at de er formlike.

For kongruens i SVS-regelen sa vi,

at sidene skulle være kongruente.

Her sier vi, at forholdet mellom de tilsvarende sidene

skal være det samme.

Vi kan like godt vise none eksempler med SVS-regelen her nede.

Vi tegner en trekant her.

Den her trekanten har sidene 3, 2 og 4.

Vi har så en annen trekant her,

som har sidelengdene 9 og 6.

Vi vet også, at vinklene mellom de to sidene er like.

Den her vinkelen er altså lik med den her vinkelen.

SVS-regelen sier så,

at de her trekantene uten tvil vil være formlike.

.

Vi kan kun tegne en trekant her,

og det er den trekanten, hvor alle sidene

skal ganges med den samme faktoren.

Det er altså kun en lang side, vi kan tegne her,

og den skal ganges med faktoren 3 akkurat som de to andre sidene.

Det er den eneste mulige trekanten, vi kan tegne.

Vi kan se, at den her siden er 3 ganger den her,

at den her er 3 ganger den her, og at vinklene mellom de er like.

Det er derfor kun en mulig trekant å tegne.

Vi vet, at det skal være en formlik trekant,

hvor alle sidene skal ganges med faktoren 3.

Den eneste trekanten, vi kan tegne, skal altså være den formlike trekanten.

Det er SVS-regelen, vi har med å gjøre.

Vi sier ikke, at den her siden er like lang som den her siden,

eller at den her siden er like lang som den her.

Vi sier, at sidene er ganget med den samme faktoren.

Hvis vi hadde en annen trekant, som så sånn her ut,

så ville den her siden kanskje være 9, den her være 4,

og vinklene mellom de ville være like.

vi kan ikke si, at de er formlike,

fordi den her siden er ganget med faktoren 3.

Den her siden er kun ganget med faktoren 2.

Derfor kan vi sette et kryss over den her,

for vi kan ikke si, at den nødvendigvis er formlik.

Man kunne også ha en annen trekant, hvor den ene siden var 9

og den andre 6, men vi vet ikke,

om de to vinklene er like.

I det tilfellet har vi altså ikke begrenset mulighetene nok til å kunne si,

at de to trekantene er formlike.

Vi vet nemlig ikke,

om de to vinklene er like.

Nå kan man kanskje si, at det er et par regler til,

som vi hadde, da vi snakket om kongruens,

men hvis man tenker over det,

har vi allerede vist, at to vinkler i seg selv er nok til å vise,

at to trekanter er formlike.

Man behøver altså ikke bekymre seg om å ha to vinkler og en side

eller forholdet mellom sidene.

Da vi snakket om kongruens,

hadde vi også vinkel-side-vinkel,

men vi vet, at to vinkler er nok til å vise, at trekantene er formlike,

så vi skal egentlig ikke bruke den ekstra siden til noe.

Vi behøver egentlig ikke den her.

De her er altså våre regler for formlikhet.

Det er viktig å huske, at side-side-side regelen for formlikhet

ikke er den samme regelen som side-side-side for kongruens.

For formlikhet snakker vi nemlig om forholdet mellom de korresponderende sidene,

og vi sier altså ikke, at de er kongruente.

Side-vinkel-side regelen for formlikhet er også forskjellig

fra side-vinkel-side regelen for kongruens.

Reglene henger på en måte sammen,

men for formlikhet snakker vi om forholdet mellom sidene og ikke de eksakte lengdene.