Hasonlósági alapesetek | Geometria | Khan Academy

Tegyük fel, hogy van egy ABC háromszögünk,

ami valahogy így néz ki.
Ezek a csúcsai: A, B, C.

A lehető legkevesebb
információt akarom megadni,

vagyis szeretnék megfogalmazni néhány
követelményt,

amelyeket arra használhatnánk,
hogy egy másik háromszögről

megállapítsuk, hasonló-e az ABC-hez.

Azt már tudjuk,

hogy ha mindhárom megfelelő szög

ugyanakkora, mint az
ABC háromszögben,

akkor egybevágó háromszögekkel
van dolgunk.

Legyen például ez itt 30 fok,

ez a szög 90, és ez a szög itt

60 fok.

És legyen ez egy másik háromszög,

ami így néz ki, és nyilvánvalóan
egy kisebb háromszög,

de a megfelelő szögei ugyanakkorák.

Ez itt 30 fok,

ez 90 fok és ez 60 fok.

És tudjuk, hogy ez az XYZ háromszög
hasonló lesz az ABC háromszöghöz.

Abból tudjuk ezt, hogy
a megfelelő szögek

ugyanakkorák, és emiatt

az ABC háromszög és az
XYZ háromszög hasonlóak.

Ehhez persze helyes sorrendben kell

az egyes szögeket megfeleltetni.

Y felel meg a 90 fokos szögnek,

X felel meg a 30 fokos szögnek,

A felel meg a 30 fokos szögnek,

tehát A és X az első két dolog.

B és Y a 90 fokos csúcsok,
ezek a másodikok,

és aztán Z a harmadik.

Ez az, amit már ismerünk,
ha megvan a három szög.

De valóban szükség van-e
a három szögre?

Vajon ha csak két szöget ismernénk,
az elég lenne-e?

Nyilván, hiszen ha ismerjük
egy háromszög két szögét,

akkor ismerjük a harmadikat is.

Tehát ha például van itt
egy másik háromszögünk,

ami így néz ki,

és azt mondanám neked, hogy
csak két megfelelő szögük

azonos nagyságú.

Mondjuk ez a szög megegyezik
ezzel a szöggel,

és ez a szög itt
ugyanakkora, mint ez a szög.

Elegendő-e ez ahhoz, hogy azt mondhassuk,
hogy a két háromszög hasonló?

Hát persze.

Hiszen ha egy háromszögnek
ismerjük két szögét,

akkor tudjuk, hogy mekkorának
kell lennie a harmadik szögnek.

Ha tudjuk, hogy ez a szög 30 fok,
és ez a szög 90 fok,

akkor már tudjuk, hogy
ennek a szögnek 60 fokosnak kell lennire.

Akármekkora ez a két szög,
kivonod őket a 180-ból,

és akkora lesz ez a szög.

Általánosságban, a hasonlóság
bizonyításához

nincs szükség mindhárom szög
azonosságának megmutatásához,

elegendő két szög azonosságát megmutatni.

Ez lesz tehát az első kritériumunk
vagy feltételünk.

A két-két szög páronként egyenlő.
Szög-szög feltétel.

Ha be tudod bizonyítani, hogy
két-két szög páronként egyenlő,

akkor a háromszögek hasonlóak.

Például, ha számokkal akarjuk
megnézni,

és ez itt 30 fok volt,
és tudjuk, hogy ebben a háromszögben

ez a szög 90 fokos,

akkor már tudjuk, hogy
ez a háromszög

hasonló ehhez.

És akkor már kijelentheted
a harmadik szögről,

magától értetődően,

hogy ez a harmadik szög 60 fokos,

és így mindhárom szög
páronként megegyezik.

Ez tehát az első feltétele a
hasonlóságnak.

A másik dolog, amit ismerünk
a hasonlóságról,

hogy a megfelelő oldalak hosszának

aránya páronként megegyezik.

Így például, ha van
egy másik derékszögű háromszögünk,

rajzolok ide egy másik háromszöget,

legyen ez az X-Y-Z háromszög.

Tegyük fel, hogy ismerjük
az AB és az XY aránypárt,

tehát ismerjük AB/XY értékét
– ennek és ennek az oldalnak az arányát –

és itt egyáltalán nem azt mondjuk,
hogy ezek hosza megegyezne.

Csak az arányukat vizsgáljuk most.

Azt mondjuk, hogy AB/XY

az AB/XY = BC/YZ,

azaz megegyezik BC/YZ-vel.

Ez pedig megegyezik AC/XZ-vel.

Tehát mégegyszer, ez is egy módja

a hasonlóság meghatározásának.

Tehát ha mindhárom
megfelelő oldal,

a három megfelelő oldal hosszának aránya

páronként megegyezik, akkor tudjuk,

hogy hasonlók a háromszögeink.

És ezt oldal arány hasonlóságnak hívjuk.

De ne keverjük ezt össze

az oldalak egybevágóságával.

Ezek tehát a hasonlósági
feltételeink,

vagy axiómáink,

és később majd ezekre építjük

problémák megoldását
és más dolgok bizonyítását.

Az egybevágóságnál az oldalhossz
elnevezés

azt jelenti, hogy ott
a megfelelő oldalak hossza megegyezik.

A hasonlóság esetén pedig az oldal arány
elnevezés

a megfelelő oldalak páronkénti
arányának megegyezésére utal.

Tehát ha pl. ez itt 10,

na nem,

legyen ez egy nagyobb szám,

mondjuk 60, ez itt 30,

ez pedig 30-szor gyök 3.

Csak azért választottam ezeket a számokat,
mert nemsokára látni fogjuk,

hogy a 30-60-90 fokos háromszögek
milyen jellegzetes aránypárokat alkotnak.

Itt pedig legyen

6, 3 és négyzetgyök 3.

Figyeld meg, AB/XY az 30-szor gyök 3

osztva 3-szor gyök 3, az 10.

Mekkora lesz BC/XZ?

30 osztva 3-mal, az 10.

És mennyi 60 osztva 6-tal, vagy AC/XZ?

Nos, az is 10 lesz.

Tehát általánosságban, ha innen
az egyik oldaltól

megyünk ide, a megfelelő oldalhoz,

akkor minden oldal esetében 10-zel szorzunk.

De erre nem azt mondjuk, hogy egybevágóak,

vagy hogy az oldalak ugyanakkorák,

hanem hogy az oldalak aránya
alapján hasonlóak.

Annyit állítunk, hogy egy ugyanakkora
mennyiséggel szorozva

felnagyítjuk őket, vagy
másképp fogalmazva

a megfelelő oldalak aránya

ugyanaz lesz.

Na és mi van akkor, ha

– rajzoljunk ide egy másik háromszöget,

ezeket itt akarom hagyni,
hogy aztán egyszerre láthassuk őket, –

tehát rajzoljuk meg az ABC háromszöget,

ez itt az A, a B és a C.

És tudjuk, hogy
ha nézzük ezt a másik háromszöget,

akkor ez az XY az AB oldalnak
valamilyen többszöröse.

Le is írom ide,

XY az AB-nek egy konstanssal való szorzata.

Talán egy kicsit nagyobbra
rajzolom az XY-t,

de nem feltétlenül kellene.

A konstans 1-nél kisebb is lehetne,

ekkor egy kisebb értéket eredményezne.

De inkább csináljuk inkább így,

vagyis legyen az XY
egy kicsit nagyobb.

Tehát mondjuk ez az X és ez az Y.

Tegyük fel tehát, hogy az XY/AB

valamilyen konstans érték.

Ha mindkét oldalt megszorozzuk AB-vel,

akkor azt kapjuk, hogy
XY az AB-nek valamekkora nagyítása.

Lehet pl. AB=5, XY=10, és ekkor
a konstansunk 2 lesz.

Egy kettes faktorral nagyítottunk.

Ezenkívül mondjuk azt is tudjuk,

hogy az ABC szög megegyezik
az XYZ szöggel.

Felveszek itt egy új pontot,

és rajzolok egy új oldalt.

Ez itt Z. És mondjuk

tudjuk azt, hogy az ABC szög
megegyezik az XYZ szöggel,

valamint azt is, hogy a BC/YZ arány

ugyanez a konstans érték.

A BC és YZ aránya is

megegyezik a konstanssal.

Így például, ahol ez 5 és 10 volt,
ez mondjuk 3 és 6.

A konstanssal megkétszerezzük

az oldal hosszát.

Vajon ez az XYZ háromszög hasonló-e?

Gondoljuk meg, ha XY ugyanannyiszoros
szorzata AB-nek,

mint YZ a BC-nek, és az
általuk közrezárt szögek

megegyeznek, akkor
csupán egyetlen háromszöget

tudunk itt felrajzolni.

Egyetlen háromszögre
vagyunk itt korlátozva,

vagyis teljesen meghatározott

ennek az oldalnak a hossza,
és az oldal hosszát

pontosan ugyanezzel a konstanssal
való szorzás fogja kiadni.

Ezt a feltételt oldal-szög-oldal
(side-angle-side) hasonlóságnak hívjuk.

Tehát mégegyszer, láttuk a 3 oldal
és a 2 oldal és szög

egybevágósági feltételeket.

De itt most egész más
a helyzet.

Itt ugyanis azt mondjuk, hogy
ha a két háromszögben

két-két oldalhossz aránya egyenlő,

azaz AB/XY, mint az egyik
megfeleltetett oldalpár,

és a másik megfeleltetett oldalpár,

BC és YZ aránya megegyezik,
valamint az ezek által közrefogott szögek

egyenlők, akkor kimondhatjuk
a hasonlóságot.