Sætninger for ligedannethed i trekanter

Lad os sige, at vi har trekant ABC
og den ser nogenlunde således ud.

Vi skal finde nogle regler,
som vi kan bruge til at bestemme,

om en anden trekant er
ligedannet med trekant ABC.

Vi ved allerede, hvis alle tre vinkler er
kongruente med de tilsvarende vinkler

i trekant ABC, så er
de to trekanter ligedannede.

For eksempel, hvis denne vinkel er
30 grader, den her er 90,

og vinklen herover er 60 grader og

vi har en anden trekant,
som ser sådan her ud,

-- den her helt sikkert
mindre end den første --

og vinklerne er 30 grader,
90 grader og 60 grader,

så ved vi, at trekant XYZ er
ligedannet med trekant ABC.

Da de tilsvarende vinkler er kongruente,

ved vi, at trekant ABC er
ligedannet med trekant XYZ.

Det skal være i den rigtige rækkefølge,
så de rigtige vinkler er tilsvarende.

Y er tilsvarende med 90-graders vinklen.

X er tilsvarende med 30-graders vinklen
og A er er vinklen på 30 grader,

så A og X hører altså sammen,

B og Y, som er 90-grader
vinklerne, hører sammen

og til sidst hører C og Z sammen.

Det ved vi, når vi kender tre vinkler,

men er tre vinkler nødvendige?

Hvis vi kun kendte to af vinklerne,
er det nok?

Det er det, fordi når du kender
to vinkler i en trekant,

så kender du den trejde.

For eksempel har jeg en anden trekant,
som ser således ud og jeg fortæller,

at kun to af de tilsvarende
vinkler er kongruente.

Måske er den her vinkel kongruent
med den her vinkel og

den her vinkel er kongruent med den her.

Er det nok til at sige,
at de to trekanter er ligedannede?

Selvfølgelig.

Når du kender to vinkler i en trekant,
så ved du, hvad den sidste vinkel er.

Hvis du ved, at den her er 30
og den her er 90,

så ved du, at den her skal være 60 grader.

Ligemeget hvad disse to vinkler er,
træk dem fra 180,

og så har man den sidste vinkel.

Generelt for at vise ligedannethed,
så behøver man ikke vise,

at tre tilsvarende vinkler er kongruente,
du behøver blot at vise to.

Det er den første regel for ligedannethed.

Vi kan kalde den vinkel-vinkel.

Hvis du kan vise, at to tilsvarende
vinkler er kongruente,

så har vi ligedannede trekanter.

For eksempel lad os skrive nogle tal her.

Hvis du viser, at denne er 30 grader og
i denne trekant er denne 90 grader,

så ved vi at denne trekant herover
er ligedannet med den.

Du kan nemt finde den tredje vinkel.

Du siger, den tredje vinkel er 60 grader,
så alle tre vinkler er de samme.

Det er en betingelse for ligedannethed.

Den anden ting, vi ved om ligedannethed er

at forholdet mellem alle siderne
skal være det samme.

Hvis vi har endnu en trekant herovre.

Jeg tegner lige endnu en trekant.

Jeg kalder denne trekant XYZ.

Lad os se på forholdet
mellem AB og XY, altså AB / XY.

Forholdet mellem den side og denne side.

Vi siger ikke de er kongruente.

Vi kigger på deres forhold nu.

Vi kan sige, at AB / XY er lig BC / YZ
og det er lig med AC/XZ.

Det er en af måderne man
kan vise ligedannethed.

Hvis forholdet mellem alle tre
tilsvarende sider er det samme,

så ved vi, at vi har ligedannede trekanter.

Denne regel kalder vi
side-side-side-ligedannethed.

Det skal ikke blandes sammen med
side-side-side-kongruens.

Her er vores regler om ligedannethed
eller sætninger.

Det er ting, vi antager og bygger på
for at løse opgaver eller vise andre ting.

Side-side-side,
når vi snakker om kongruens,

betyder, at de tilsvarende sider
er kongruente.

Side-side-side,
når vi snakker ligedannethed,

betyder, at forholdet mellem de
tilsvarende sider er det samme.

For eksempel hvis den herovre er 10.

Nej, vi siger 60 i stedet for
og denne her er 30,

og siden herovre er 30 gange kvadratrod 3.

Vi brugte de her tal,

fordi vi snart vil lære, hvilket forhold der typisk er mellem siderne

i trekanter med vinklerne 30, 60, 90.

Lad os sige at siderne herovre er 6, 3 og 3 gange kvadratrod 3.

Læg mærke til, at AB over XY er 30 gange kvadratrod 3

over 3 gange kvadratrod 3, og det vil give 10.

Hvad er så BC over XY?

30 divideret med 3 er 10.

Hvad er så 60 divideret med 6?

AC over XZ må altså også give 10.

.

For at gå fra den ensliggende side her

til den ensliggende side her, skal vi altid

gange med 10.

Vi siger altså ikke, at siderne er kongruente

eller at siderne er ens

for side-side-side-ligedannethed.

Vi siger, at vi forstørrer dem op ved at gange

med det samme tal.

.

Forholdet mellem de ensliggende sider er altså det samme.

Lad os prøve med en ny trekant.

Vi kan sige, at vi har endnu en trekant herovre.

Vi tegner den lige.

.

Vi tegner en anden trekant ABC.

På den nye trekant er det her A, det her B og det her C.

Vi ved nu, at vi kan finde forholdet mellem siderne på den her trekant

og siderne på en anden trekant.

Vi tegner lige lidt af en ny trekant.

Vi ved nu, at XY giver AB,

når vi ganger med en bestemt konstant.

Det kan vi skrive herovre.

XY er lig med en konstant gange AB.

Vi tegner lige XY lidt større,

så konstanten kan være mindre end 1.

I det tilfælde vil det være en mindre værdi.

Vi tegner XY en smule større.

Lad os sige at det her er X, og det her er Y.

Nu ved vi, at XY over AB er lig med

en eller anden konstant.

Hvis man ganger begge sider med AB,

vil man få XY som en forstørret udgave af AB.

Måske AB er 5 og XY er 10,

og så vil vores konstant være 2.

Vi forstørrede AB med faktor 2.

Lad os sige, at vi også ved,

at trekant ABC og trekant XYZ er kongruente,

og så skal vi lige have endnu et punkt på trekanten herovre.

Vi tegner lige en ny side på trekanten, og så er det her Z.

Vi ved altså også, at trekant ABC og trekant XYZ er kongruente.

Lad os nu sige, at vi ved,

at forholdet mellem BC og YZ er den samme konstant.

Forholdet mellem BC og YZ er altså lig med den samme konstant som forholdet mellem AB og XY.

Hvis AB er 5, og XY er 10, så er BC måske 3, og YZ er 6.

Med konstanten fordobler vi altså på en måde længden af BC.

Vil trekant XYZ være ligedannet?

Vi kan kun tegne én trekant herovre.

Hvis vi siger, at forholdet mellem XY og AB

er det samme som forholdet mellem YZ og BC,

og vinklen imellem er kongruent,

så vil der kun være en mulig trekant at tegne herovre.

Vi er begrænset til én trekant herovre.

Længden af den her side kan altså kun være,

som den er nu.

Længden af den her side skal kunne findes

ved at gange den her side med en konstant.

Den regel kalder vi side-vinkel-side-ligedannethed.

Vi så SSS og SVS i vores regler for kongruens,

men vi siger noget anderledes her.

Vi siger ved SVS reglen,

at hvis forholdet mellem én ensliggende side og

den anden enslignede er det samme,

så er trekanterne også de samme.

.

Vi har forholdet mellem AB og XY på den ene ensliggende side,

og så har vi på den anden ensliggende side

forholdet mellem BC og YZ,

og vinklen mellem de to er ens.

I det tilfælde siger vi, at de er ligedannede.

For kongruens i SVS-reglen sagde vi,

at siderne skulle være kongruente.

Her siger vi, at forholdet mellem de ensliggende sider

skal være det samme.

Vi kan lige vise nogle eksempler med SVS-reglen hernede.

Vi tegner en trekant her.

Den her trekant har siderne 3, 2 og 4.

Vi har så en anden trekant her,

som har har sidelængderne 9 og 6.

Vi ved også, at vinklerne mellem de to sider er ens.

Den her vinkel er altså lig med den her vinkel.

SVS reglen siger så,

at de her trekanter uden tvivl vil være ligedannede.

.

Vi kan kun tegne én trekant herovre,

og det er den trekant, hvor alle siderne

skal ganges med den samme faktor.

Der er altså kun én lang side, vi kan tegne her,

og den skal ganges med faktoren 3 ligesom de to andre sider.

Det er den eneste mulige trekant, vi kan tegne.

Vi kan se, at den her side er 3 gange den her,

at den her er 3 gange den her, og at vinklerne mellem dem er ens.

Der er derfor kun én mulig trekant at tegne.

Vi ved, at der skal være en ligedannet trekant,

hvor alle siderne skal ganges med faktoren 3.

Den eneste trekant, vi kan tegne, skal altså være den ligedannede trekant.

Det er SVS-reglen, vi har med at gøre.

Vi siger ikke, at den her side er ligeså lang som den her side,

eller at den her side er ligeså lang som den her.

Vi siger, at siderne er ganget med den samme faktor.

Hvis vi havde en anden trekant, der så sådan her ud,

så ville den her side måske være 9, den her være 4,

og vinklerne mellem dem ville være ens.

Vi kan ikke sige, at de er ligedannede,

fordi den her side er ganget med faktor 3.

Den her side er kun ganget med faktor 2.

Derfor kan vi sætte et kryds over den her,

for vi kan ikke sige, at den nødvendigvis er ligedannet.

Man kunne også have en anden trekant, hvor den ene side var 9

og den anden 6, men vi ved ikke,

om de to vinkler imellem er ens.

I det tilfælde har vi altså ikke begrænset mulighederne nok til at kunne sige,

at de to trekanter er ligedannede.

Vi ved nemlig ikke,

om de to vinkler er ens.

Nu kan man måske sige, at der er et par regler mere,

som vi havde, da vi snakkede om kongruens,

men hvis man tænker over det,

har vi allerede vist, at to vinkler i sig selv er nok til at vise,

at to trekanter er ligedannede.

Man behøver altså ikke bekymre sig om at have to vinkler og en side

eller forholdet mellem siderne.

Da vi snakkede om kongruens,

havde vi også vinkel-side-vinkel,

men vi ved, at to vinkler er nok til at vise, at trekanterne er ligedannede,

så vi skal egentlig ikke bruge den ekstra side til noget.

Vi behøver egentlig ikke den herovre.

De her er altså vores regler for ligedannethed.

Det er vigtigt at huske, at side-side-side reglen for ligedannethed

ikke er den samme regel som side-side-side for kongruens.

For ligedannethed snakker vi nemlig om forholdet mellem de korresponderende sider,

og vi siger altså ikke, at de er kongruente.

Side-vinkel-side reglen for ligedannethed er også forskellig

far side-vinkel-side reglen for kongruens.

Reglerne hænger på en måde sammen,

men for ligedannethed snakker vi om forholdet mellem siderne og ikke de eksakte længder.