Similarity Postulates

Да кажем, че имаме триъгълник АВС,
нека той изглежда така.

Искам да обърнем внимание на
минималната информация.

Искам да обясня два признака,

които можем да използваме, за да определим
дали има друг триъгълник,

който е подобен на триъгълника АВС.

Вече знаем, че ако
всичките три ъгъла,

всички съответни ъгли
са еднакви

на тези в триъгълник АВС,
то тогава знаем, че

имаме подобни триъгълници.

Така например, ако тук ъгълът е 30 градуса,
тогава този ъгъл е 90 градуса

и този тук е 60 градуса.

Имаме и друг триъгълник,
който прилича на този,

прилича на този, вижда се,
че е по-малък,

но съответните му ъгли,
този е 30 градуса,

този е 90 градуса,
а този 60 градуса.

Знаем, че триъгълник XYZ в този случай,
ще е подобен на триъгълник АВС.

И ние знаем това, понеже
съответните ъгли са равни.

Ще знаем, че триъгълник АВС
е подобен на триъгълник HYZ.

И трябва да сложим всичко в ред,
за да сме сигурни,

че имаме правилните
съответни ъгли.

Y съответства на ъгъла от
90 градуса, Х съответства

на ъгъла от 30 градуса, А съответства
на ъгъла от 30 градуса,

така че А и Х са първите
два елемента.

В и Y, които са по 90 градуса,
са втората двойка

и Z е последният.

Това е всичко, което вече знаем,
ако имаме три ъгъла.

Но нужни ли са три ъгъла?

Ако знаехме само два ъгъла,

това достатъчно ли е?

Разбира се.

Понеже ако знаем два ъгъла в един триъгълник,
тогава знаем и третия.

Така например, ако имам
още един триъгълник, който

изглежда така, имам предвид,
че изглежда начертан така.

И ако ви кажа, че само два
от съответните ъгли

са равни.

Така че явно този ъгъл тук
е съответен

на този ъгъл, а онзи ъгъл там
е съответен на този.

Това достатъчно ли е, за да твърдим, че
тези два триъгълника са подобни?

Ами да, така е, защото в един триъгълник,
ако знаем два от ъглите,

тогава ще знаем и
третия ъгъл какъв ще е.

Знаем, че този е 30, а
онзи е 90 градуса,

и оттам следва, че този ъгъл
трябва да е 60 градуса.

Каквито и да са тези два ъгъла,
изваждаме ги от 180,

и ще получим този ъгъл.

Като цяло, за да докажем
подобие, не е нужно

да имаме равни три съответни ъгли.

Реално трябва да са налице два.

Така че това ще е нашият
първи признак за подобие,

който наричаме "ъгъл-ъгъл".

Ако виждаме два съответни
ъгъла да са равни,

тогава имаме налице
подобни триъгълници.

Така например, само да включим
малко числа,

ако този ъгъл е 30 градуса,
и знаем, че в този триъгълник

ъгълът тук е 90 градуса;

знаем, че този триъгълник
тук е подобен на онзи там.

И можем да отидем направо
на третия ъгъл,

по един много пряк начин.

Казваме, че този ъгъл, третият, е 60 градуса,
оттам всичките три ъгъла са равни.

Това е едно от условията
за подобност.

Друго нещо е, че е известно,
при подобността

отношенията на всички страни
ще са едни и същи.

Така например, ако имаме
още един триъгълник тук,

нека начертая
още един триъгълник.

Ще обознача този триъгълник
с X, Y и Z.

И да кажем, че знаем
отношението на АВ и XY,

знаем, че АВ върху XY,

т.е. отношението между
тази страна и тази страна.

Забележи, че не е дадено те да са
равни, само казваме, че

отношението им,
сега гледаме отношението;

казваме, че АВ върху XY...
да кажем, че

това е равно на
ВС върху YZ.

Това е равно на ВС върху YZ,

е равно на АC върху XZ.

Така че пак, това е един от начините,
по които казваме:

"Хей! Това означава подобност."

Ако знаем, че
всички съответни страни,

ако отношението между всички
съответни страни е едно и също,

то тогава знаем, че се занимаваме
с подобни триъгълници.

И този признак за подобие се нарича
подобие по три страни (трети признак).

Тук трябва да внимаваш,
да не го объркаш с признака

за еднаквост по три страни.

Това тук са признаци за подобие.

Признаците за подобие,
или аксиомите,

или нещата, които ще приемем,

и ще ги използваме,
за да решаваме задачи

и да доказваме и други неща.

Признакът по три страни, когато говорим
за еднаквост, означава,

че съответните страни
са равни по дължина.

Признакът за три страни при подобие:
казваме, че отношенията

на съответните страни са еднакви.

Така например, ако това тук е...

да кажем, че това тук е 10...
не, нека имаме

по-голямо число – да кажем, че
е 60, това тук е 30,

а това тук е 30 по
квадратен корен от 3.

Избрах тези числа,
защото това, което

ще научим скоро, е какви са
типичните отношения

на страни в триъгълници с ъгли
30, 60 и 90 градуса.

И да кажем, че тези страни тук са 6, 3 и
3 по корен квадратен от 3.

Забележи, че АВ върху XY е
30 по квадратен корен от 3

върху 3 по квадратен корен от 3,
което ще бъде 10.

А колко е ВС върху XY?

30 делено на 3 е 10.

А колко е 60 делено на 6?

Колко е отношението AC към XZ –

това ще е 10.

В общи линии, за да отидем на
съответната страна тук и там,

винаги умножаваме
всяка страна по 10.

Така че не казваме,
че са еднакви,

не казваме, че страните са равни

при тази подобност от вида
"страна-страна-страна".

Казваме, че са пропорционални

по същия начин.

Друг начин, по който
можем да разгледаме:

отношението на съответните страни
е едно и също.

А какво става, ако имаме...

Нека построим още един
триъгълник тук.

Чертая го, ето така.

Тук няма да махам нещата,
за да имаме списъка.

Ще начертая още един
триъгълник АBC.

Чертая друг триъгълник АВС,
ето, това са А, В и С.

И да кажем, че знаем,

че тази страна, когато отидем
на друг триъгълник,

за който знаем, че XY

представлява АВ, умножена
по някакъв коефициент.

Така че А... тук мога да я напиша,

XY е равна на някакъв коефициент,
умножен по АВ.

Всъщност нека удължа XY,
за да не се налага

този коефициент
да е по-малък от 1,

случай, при който тя ще е с по-малка стойност,
но нека направя така.

Нека направя XY да изглежда
малко по-дълга.

И да кажем, че това е X,
а това е Y.

И да кажем, че е известно това, че
XY върху АВ е равно

на някаква константа.

Или ако умножим двете
страни по АВ,

ще получим, че XY е някаква
уголемена версия на АВ.

И знаем, може би това е да кажем,
че АВ е 4, XY е 10,

тогава нашата константа ще е 2.

Увеличихме я с
коефициент две.

И да кажем, че знаем също, че и

този ъгъл, ъгъл АВС,
е равен на ъгъл XYZ.

Тук ще има още една точка.

Нека начертая още една
страна тук, така, това е Z.

И да кажем, че знаем, че
този ъгъл АВС е равен на XYZ.

Знаем също, че отношението

между BC и YZ е тази константа.

Отношението между BC и YZ също е
и равно на същата константа.

Така че един пример, при който това са
5 и 10, а това са 3 и 6.

Коефициентът е нещо, с което променяме
дължината на страната.

Така че този триъгълник XYZ
ще бъде ли подобен?

Ако помислим, има само едно,
ако кажем, че

това е някакво произведение,
ако XY e произведение от

същия коефициент и АВ, както
YZ е произведение на ВС,

и този ъгъл между тях е еднакъв,

тук съществува само един триъгълник,
който можем да построим.

На много малко разстояние сме
до един триъгълник тук,

така че определено ограничаваме

дължината на тази страна.

И дължината на тази страна ще е
пропорционална на онази там.

Това е втори признак за подобие - две страни от един триъгълник са пропорционални на съответните страни от другия и

ъгълът, заключен между тях е
равен за двата триъгълника.

Имаме подобен признак за еднаквост,

но тук казваме нещо различно.

Казваме, че съгласно втори признак за подобие,

ако отношението на страна
от единия триъгълник

към нейната съответна от другия,

ако отношенията между съответните страни

на двата триъгълника са еднакви,

ако АВ и XY са едната двойка
съответни страни,

и тогава има още една двойка
съответни страни,

това е тази втора двойка,
BC и YZ,

и ъгълът между тях е равен,

тогава казваме, че
е налице подобност.

Докато признака за еднаквост казва,
че страните всъщност

трябва да са равни.

Тук казваме, че отношението между

съответните страни трябва да е равно.

Така например, за да приложим
този признак...

нека го начертая,
за да покажа няколко примера.

Да кажем, че тук имам един примерен
триъгълник с дължини 3, 2, 4.

И да кажем, че тук имам
още един триъгълник,

триъгълник със страна 9 и 6.

Знаем и това, че ъглите между
двете страни са равни.

Този ъгъл е равен
на този ъгъл.

Признакът за подобие по две страни и ъгъл
ни казва, че

тези триъгълници определено
ще са подобни.

Поставяме някакво ограничение,
понеже

има само един триъгълник,
който можем да начертаем тук.

Това е триъгълникът, за който
всички страни ще бъдат

променени с един и същ коефициент.

Така че тук има само една страна,
която можем да начертаем.

И това също ще се увеличи по три.

Има само един единствен
възможен триъгълник,

ако намалим страната, ако кажем,
да видим, тази страна е 3 пъти

по тази, тази е три пъти по тази
и ъгълът между тях е равен,

има един-единствен триъгълник,
който можем да начертаем.

И знаем, че има
подобен триъгълник там,

където всичко е
увеличено с коефициент 3.

Така че триъгълника, който можем да построим,
ще е този единствен подобен триъгълник.

Ето за този триъгълник говорим,
страна, ъгъл, страна.

Не казваме, че тази страна
е равна на тази или

че онази страна е
равна на онази.

Казваме, че те са увеличени
с един и същ коефициент.

Ако имаме друг триъгълник,
ако имахме друг триъгълник,

който изглежда така, да кажем
тази страна е 9, тази е 4,

и ъглите помежду им са равни.

Не можем да твърдим, че са подобни,
защото тази страна е

увеличена с коефициент 3.

Тази е увеличена с коефициент две.

Така, когато записваме там,
не можем да кажем, че

задължително има подобие.

И по същата причина, ако тук имаме
един триъгълник със страна 9

и друга страна 6, но не знаем,
че тези два ъгъла са равни.

Пак да кажем, че пропорционалността
тук не е достатъчна,

не бихме могли да знаем,
че онези два триъгълника

се непременно подобни.

Тъй като не знаем дали
този ъгъл по средата е еднакъв.

Сега може би си казваш, че
съществуват още няколко признака,

които разглеждахме; имахме ъгъл - ъгъл - страна,
когато разглеждахме еднаквост.

Но ако помислим за това,

вече показахме, че два ъгъла
сами по себе си

са достатъчни, за да има подобност.

Така че какво толкова да му мислим за ъгъл,
и друг ъгъл и страна, или

отношението между страните.

Защо да усложняваме излишно?

Признакът за еднаквост по
два ъгъла и страна –

пак да кажем, че за подобие
са достатъчни два ъгъла.

И не е нужно да включваме
още една страна.

И дори не ни е нужна тази тук.

Така че това ще са нашите
признаци за подобност.

И искам да припомня, че признакът
по три страни се различава

от признака за еднаквост
по три страни.

Тук говорим за отношението
между съответните страни.

Не казваме, че те са всъщност еднакви.

Признакът за подобие по две страни
и ъгъл също се различава

от признака за еднаквост по две страни и ъгъл.

Има някаква прилика, но тук говорим

за пропорционалност на съответните страни,
а не за равенство на съответните страни.