อินทิกรัลสองชั้น 5

การหาปริมาตรเมื่อเรามีขอบแปรค่าได้

-

ในพวกอินทิกรัลสองชั้นทั้งหมดที่เราทำมา

ขอบของ x กับ y นั้นคงที่

ตอนนี้เราจะดูว่าเกิดอะไรขึ้นตอนขอบ

x กับ y แปรค่าได้

งั้นสมมุติว่าผมมีผิวเดิม, และผมจะไม่วาด

มันอย่างที่มันจะเป็น, ผมแค่วาดมัน

ประกอบเฉย ๆ

แต่ปัญหาที่เราจะทำคือ z, และนี่คือ

เหมือนกับที่เราทำมาเป๊ะ

ประเด็นตรงนี้ไม่ใช่แสดงวิธีการอินทิเกรตให้ดู, แต่

ประเด็นคือให้คุณมองภาพแล้วคิด

ถึงปัญหาพวกนี้

ที่จริงแล้ว ในปัญหาอินทิกรัลสองชั้น ส่วนที่ยากที่สุด

ก็คือการหาขอบเขต

เมื่อคุณหาขอบได้, การอินทิเกรตก็

ตรงไปตรงมาแล้ว

มันไม่ได้ยากกว่าการอินทิเกรตตัวแปรเดียว

งั้นสมมุติว่านั่นคือพื้นผิวของเรา: z เท่ากับ

xy กำลังสอง

ขอผมวาดแกนอีกที

นี่คือแกน x

นั่นคือแกน z

นั่นคือแกน y

-

x,y และ z

คุณจะเห็นว่ากราฟนี้ดูเหมือนในวิดีโอก่อน ๆ

ผมเอาตัววาดกราฟมาแล้วหมุนอะไรพวกนั้น

ผมจะไม่วาดกราฟอย่างที่มันเป็น, ผม

แค่วาดมันไปเหมือนกับผิว

ตามใจสักผิวนึง

เพราะประเด็นตรงนี้ คือการหา

ขอบเขตการอินทิเกรต

ก่อนที่ผมจะวาดรูปพื้นผิว, ผมจะต้อง

วาดขอบ

อย่างแรกที่เราต้องทำคือ เราบอกว่า โอเค x ไป

จาก 0 ถึง 2, y ไปจาก 0 ถึง 1, และเราก็หา

ปริมาตรเหนือโดเมนมีขอบอันนั้น

ทีนี้ลองทำอีกอย่างนึง

สมมุติว่า x ไปจาก 0 ถึง 1

-

และสมมุติว่าปริมาตรที่เราอยากหาใต้พื้นผิว

มันไม่ใช่จาก y คงที่ค่านึงไปยัง

ค่า y ขอบบนอีกอัน

ผมจะแสดงให้ดู: มันเป็นเส้นโค้ง

นี่คือระนาบ xy ทั้งหมด, ทุกอย่างที่ผมจะวาดตรงนี้

และเส้นโค้งนี้, เราอาจมองมันเป็นสองแบบ: เราอาจบอกว่า y

เป็นฟังก์ชันของ x, y เท่ากับ x กำลังสอง

หรือเราอาจเขียนว่า x เท่ากับสแควร์รูทของ y

เราไม่ต้องใส่บวกหรือลบ หรืออะไรแบบนั้น

เพราะเราอยู่ใต้จตุภาคแรก

ดังนั้นนี่คือพื้นที่ที่เราอยากหา

ปริมาตร

-

ขอผม, ใช่, มันไม่ผิดที่จะใส่สีให้เรา

เข้าใจจริง ๆ ว่าเราสนใจอะไรอยู่

นั่นก็คือพื้นที่ที่เราอยาก

หาปริมาตร

คุณอาจบอกว่า, นั่นคือโดเมนขอบเขตของเรา

ดังนั้น x ไปจาก 0 ถึง 1, แล้วจุดนี้

จะเป็นอะไร?

จุดนั่นจะเป็น 1 ลูกน้ำ 1, จริงไหม?

1 เท่ากับ 1 กำลังสอง, 1 เท่ากับสแควร์รูทของ 1

ดังนั้นจุดนี้คือ y เท่ากับ 1

-

แล้วผมจะไม่วาดพื้นผิวนี้จริง ๆ

ผมแค่พยายามให้คุณเข้าใจว่าปริมาตรของรูป

ที่เราพยายามคำนวณเป็นยังไง

หากนี่คือผิวอะไรสักอย่าง -- ขอผมวาดด้วยอีกสี

นึงนะ -- งั้นนี่คือด้านบน

เส้นนี้จะตั้งในทิศ z

-

ที่จริง, ผมวาดมันแบบนี้ได้, เหมือนกับเส้นโค้ง

แล้วเส้นโค้งด้านหลังตรงนี้จะเป็นกำแพง

-

และบางทีผมอาจระบายสีกำแพงข้างนี้ให้คุณเห็น

ว่ามันเป็นยังไง

ผมจะพยายามนะ

ผมว่าคุณคงเข้าใจ

ขอผมทำให้มันเข้มหน่อย, นี่เป็นแบบฝึกหัดศิลปะ

มากกว่าเลขนะ, จริง ๆ

คุณคงเข้าใจ

แล้วขอบเขตตรงนี้จะเป็นแบบนี้

และด้านบนนี่ไม่ได้ราบ, คุณก็รู้, มันอาจเป็น

ผิวโค้งก็ได้

ผมทำมันโค้งหน่อยอย่างนั้น, แต่มันเป็นผิวโค้ง

และเรารู้ในตัวอย่างที่เราจะทำว่า

ผิวตรงนี้คือ z เท่ากับ x กำลังสอง

เราอยากหาปริมาตรใต้ผิวนี้

แล้วเราจะทำยังไง?

ทีนี้, ลองคิดดู

เราสามารถใช้สัญชาตญาณที่ผมให้คุณไป

ที่สุดแล้วเราจะหา da, ซึ่งก็คือ

สี่เหลี่ยมเล็ก ๆ ตรงนี้, และพื้นที่เล็ก ๆ นั้น, นั่นก็

เหมือนกับ dx -- ขอผมใช้สีเข้มนะ -- คือ dx คูณ

dy, แล้วเราก็คูณมันกับ f ของ

x y, ซึ่งก็คือนี่. แต่ละพื้นที่, แล้ว

รวมมันเข้าด้วยกัน

แล้วเราก็หาผลรวมในทิศ x ก่อน

หรือไม่ก็ y ก่อน

ทีนี้ก่อนจะทำอย่างนี้, แค่ให้มั่นใจว่าคุณมีสัญชาตญาณ

จริง ๆ เพราะขอบเขตเป็นส่วนที่ยาก,

ขอผมวาดระนาบ xy สักหน่อย

ขอผมหมุนมันแบบนั้นนะ

ผมจะวาดระนาบ xy ของเรา

เพราะนั่นสำคัญ

เพราะส่วนที่ยากตรงนี้ คือการหาขอบ

ของการอินทิเกรต

-

ดังนั้นเส้นโค้งนี้ก็แค่ y เท่ากับ x กำลังสอง, ออกมา

หน้าตาแบบนี้

นี่คือจุด y เท่ากับ 1

นี่คือแกน y, นี่คือ แกน x, นี่คือจุด

x เท่ากับ 1

-

นั่นไม่ใช่ x, นั่นคือ 1

นี่คือ x

เอาล่ะ, เราอยาหาว่า, เราจะรวม dx คูณกับ

dy หหรือ da ตามโดเมนนี้ยังไง?

งั้นลองวาดกัน

ลองนึกภาพดู มันไม่ผิดที่จะทำตอน

คุณต้องทำโจทย์แบบนี้ เพราะที่จริงแล้ว

มันเป็นส่วนที่ยาก

ครูสอนแคลคูลัสมากมายให้คุณตั้งอินทิกรัล

ขึ้นมาแล้วบอกว่า โอเค ที่เหลือมันง่ายแล้ว

หรือที่เหลือก็คือ แคลฯ 1

โอเค, ดังนั้นพื้นที่, พื้นที่นี้ก็เหมือนกับ

พื้นที่ตรงนี้

งั้นตรงฐานก็คือ dx และความสูงคือ dy

แล้วคุณก็นึกเอาว่าเรากำลังดูสิ่งนี้

จากด้านบน

ดังนั้นพื้นผิวอยู่ด้านบนนี้สักที่ และเรากำลังมอง

ลองมาตรง ๆ และนี่คือพื้นที่ตรงนี้

งั้นสมมุติว่าเราอยากหาอินทิกรัลเทียบ

กับ x ก่อน

งั้นเราอยากรวม, หากเราต้องการปริมาตรเหนือ

คอลัมน์นี้, อย่างแรกเลย, มันคือพื้นที่นี้คูณ dx, dy จริงไหม?

งั้นลองเขียนปริมาตรเหนือคอลัมน์นั้นกัน

มันจะเท่ากับค่าของฟังก์ชัน, ความสูงที่

จุดนั้น, ซึ่งก็คือ xy กำลังสอง คูณ dx, dy

-

พจน์นี้บอกเราถึงปริมาตรเหนือพิ้นที่นี้ หรือ

คอลัม์นี้ตรงนี้

และสมมุติว่าเรารวมมันในทิศ x ก่อน

งั้นเราอยากเรวม dx นั่น, รวมมันตรงนี้, รวมตรงนี้,

ต่อไป, ต่อไป

งั้นเราจะรวมมันในทิศ x

ดังนั้นคำถามให้คุณคือว่า ขอบล่างของ

การอินทิเกรตนี้คืออะไร?

-

ทีนี้, เราอยากเก็บ y เป็นค่าคงที่, จริงไหม?

และหากเราไปทางซ้าย, เราลดค่า x ต่ำลง ต่ำลง เราจะ

ชนกับเส้นโค้งตรงนี้

ดังนั้นขอบล่างของการอินทิเกรตคือ

เส้นโค้งนี้

แล้วเส้นโค้งนี้คืออะไร หากเราเขียน x

เป็นฟังก์ชันของ y?

เส้นโค้งนี้คือ y เท่ากับ x กำลังสอง, หรือ x เท่ากับ

สแควร์รูทของ y

ดังนั้นหากเราอินทิเกรตเทียบกับ x สำหรับค่า y คงที่

ตรงนี้ -- เราจะอินทิเกรตในแนวราบ

ก่อน -- ขอบล่างของเราคือ x เท่ากับ สแควร์รูทของ y

-

นั่นน่าสนใจ

ผมว่ามันอาจเป็นครั้งแรกที่คุณเห็น

อินทิกรัลที่ขอบแปรค่าได้

แต่มันถูกแล้วเพราะในแถวนี้ เรากำลังรวมไป

ถึงตรงนี้, ขอบบนนั้นง่าย

ขอบบนก็แค่ x เท่ากับ 1

ขอบบนคือ x เท่ากับ 1, แต่ขอบล่างคือ

x เท่ากับสแควร์รูทของ y

เพราะคุณถอยไปเรื่อย ๆ แล้วก็ โอ้ ฉันชนเส้นโค้งนี่

แล้วเส้นโค้งนี่คืออะไร?

เส้นโค้งนี่คือ x เท่ากับสแควร์รูทของ y เพราะ

เราไม่รู้ว่า y ที่เหลือคืออะไร

ใช้ได้แล้ว

งั้นเมื่อเราหาปริมาตร -- นั่นจะบอกเรา

ถึงปริมาตรเหนือสี่เหลี่ยมผืนผ้านี่ตรงนี้ -- แล้วเราจะ

รวมพวก dy เข้าด้วยกัน

-

และจำไว้, มันมีปริมาตรเหนือสิ่งที่ผม

วาดตรงนี้

ผมแค่วาดส่วนนี้ในระนาบ xy

ดังนั้นสิ่งที่เราทำไปตรงนี้, พจน์นี้, อย่างที่

เขียนตอนนี้, คือหาปริมาตรเหนือ

สี่เหลี่ยมนั่น

ทีนี้หากเราอยากหาปริมาตรทั้งหมดของทรงตัน,

เราก็อินทิเกรตตามแกน y

หรือเราบวก dy ทั้งหมดนั่น

นี่ก็คือ dy ตรงนี้, ไม่ใช่ dx

dx กับ dy ผมดูเหมือนกันเกินไปนะ

ทีนี้ ขอบล่างของแกน y ที่ผมจะรวม

สี่เหลี่ยมพวกนี้คืออะไรนะ?

-

ทีนี้, ขอบล่างก็คือ y เท่ากับ 0

หรือเราอาจไปจาก y เท่ากับ 0 ถึงอะไร -

ขอบบนคืออะไร?

-- คือ y เท่ากับ 1

แล้วคุณก็ได้แล้ว

ขอผมเขียนอินทิกรัลใหม่นะ

อินทิกรัลสองชั้นนั่นจะเท่ากับ x เท่ากับสแควร์รูท

ของ y ถึง x เท่ากับ 1, xy กำลังสอง, dx, dy

แล้วขอบ y, ไปจาก 0 ถึง 1

ผมเพิ่งรู้ว่าผมหมดเวลาแล้ว

ในวิดีโอหน้า เราจะหาค่ามัน, แล้วเราจะ

ทำมันในอีกลำดับนึง

แล้วพบกันใหม่ครับ

-