Double Integrals 5 - Całki podwójne, cz. 5

Obliczanie objętości, gdy granice całkowania są zmiennymi.

-

We wszystkich całkach podwójnych, z jakimi mieliśmy do czynienia do tej pory,

granice całkowania dla x i y były ustalone.

Teraz zobaczymy, co dzieje się, gdy granice całkowania

dla x i y są zmiennymi.

Powiedzmy, że mamy tę samą powierzchnię,

nie zamierzam jej narysować,

naszkicuję ją tylko.

Zadaniem, które chcemy rozwiązać, to z,

to samo, które rozwiązywaliśmy.

Nie chodzi o to, aby pokazać Wam, jak całkować,

chodzi o to, aby pokazać Wam, jak to sobie wyobrazić

i myśleć o tym zadaniu.

W całce podwójnej najtrudniejszą częścią

jest wyliczenie granic całkowania.

Kiedy już to obliczycie,

całkowanie jest dość proste.

To naprawdę nie jest trudniejsze niż całka jednej zmiennej.

Powiedzmy, że naszą powierzchnią

jest z równe x y kwadrat.

Narysuję osie ponownie.

To jest moja oś x.

To moja oś z.

To moja oś y.

-

x, y i z.

Widzieliście, jak wygląda ten wykres kilka filmów wcześniej.

Obracaliśmy narysowany wykres.

Nie zamierzam rysować tego wykresu tak jak wygląda,

zamierzam go tylko naszkicować

jako abstrakcyjną powierzchnię.

Ponieważ chodzi o to, żeby wyliczyć

granice całkowania.

Zanim narysuję powierzchnię, zamierzam

narysować granice całkowania.

Za pierwszym razem, kiedy rozwiązywaliśmy to zadanie, powiedzieliśmy, że

x zmienia się od 0 do 2, y od 0 do 1 i obliczyliśmy

objętość ponad ograniczoną dziedziną.

Teraz zróbmy coś innego.

Niech x zmienia się od 0 do 1.

-

Objętość którą chcemy obliczyć,

nie jest od ustalonego y

do górnej granicy y.

Pokażę Wam: to krzywa.

Więc to wszystko jest na płaszczyźnie XY, to wszystko co tu narysowałem.

Tą krzywą możemy opisać na dwa sposoby:

możemy powiedzieć, że y jest funkcją od x, y równe x kwadrat.

Możemy też napisać, że jest równe pierwiastkowi kwadratowemu z y.

Nie musimy pisać plus lub minus,

bo jesteśmy w pierwszej ćwiartce.

Więc to jest obszar, nad którym chcemy

obliczyć objętość.

-

Pokoloruję go,

tak że możemy wyróżnić to, co nas teraz interesuje.

Więc to jest ten obszar, nad którym chcemy

obliczyć objętość.

Można powiedzieć, że to jest nasza ograniczona dziedzina.

x zmienia się od 0 do 1,

wtedy ten punkt będzie

wynosił (1,1), tak?

1 jest równe 1 kwadrat, 1 jest pierwiastkiem kwadratowym z 1.

Więc w tym punkcie y jest równe 1.

-

Nie zamierzam narysować tej powierzchni dokładnie.

Zamierzam pokazać Wam intuicyjnie,

czym jest objętość, którą chcemy obliczyć.

Jeśli to jest dowolna powierzchnia -- narysuję to w innym kolorze --

to to jest góra.

Ta linia jest pionowa w kierunku osi z.

-

Właściwie, mógłbym narysować ją tak, jak krzywą.

Teraz ta krzywa tutaj to będzie ściana.

-

Może pokoloruję tę stronę ściany, żebyście mogli zobaczyć,

jak to wygląda.

Próbuję jak najlepiej.

Myślę, że już wiecie, o co chodzi.

Pozwólcie, że to przyciemnię, to właściwie bardziej

ćwiczenie plastyczne, niż matematyczne.

Macie wyobrażenie, o co chodzi.

Wtedy granica całkowania tu jest taka.

I ta góra tu nie jest płaska,

to jest wykrzywiona powierzchnia.

Zrobię trochę tak, ale to jest wykrzywiona powierzchnia.

Wiemy, że w tym przykładzie, który rozwiązujemy,

powierzchnia to z równe x y kwadrat.

Więc chcemy obliczyć objętość pod tym.

Jak to robimy?

Pomyślmy.

Możemy użyć intuicji, którą Wam właśnie przedstawiłem.

W zasadzie chcemy wziąć da,

czyli mały kwadrat tu na dole,

to jest to samo co dx -- użyję ciemniejszego koloru -- co dx razy dy,

teraz musimy tylko pomnożyć to przez f od x, y,

czyli tyle, dla każdego obszaru

oraz je zsumować.

Wtedy możemy wziąć sumę najpierw w kierunku x,

albo w kierunku y.

Zanim to zrobimy, by upewnić się, że

macie intuicję, bo granice całkowania to trudna sprawa,

narysuję naszą płaszczyznę XY.

Pozwólcie, że to obrócę.

Zamierzam narysować naszą płaszczyznę XY.

Bo to jest ważne.

Bo najtrudniejszą częścią tu jest obliczenie

granic całkowania.

-

Więc ta krzywa to y równy x kwadrat,

wygląda jakoś tak.

To jest punkt y równy 1.

To oś y, to oś x,

to punkt x równy 1.

-

To nie x, to 1.

To oś x.

Chcemy obliczyć, jak zsumować dx razy dy,

albo da, wzdłuż tej dziedziny.

Narysujmy.

Narysujmy to, dobrze jest to zrobić,

kiedy macie takie zadanie do zrobienia,

ponieważ to jest tak naprawdę ta trudna część.

Wielu nauczycieli rachunku różniczkowego i całkowego zatrzyma się na wyznaczeniu całki

i powie: OK, reszta jest łatwa.

Albo reszta to Analiza I.

OK, ten obszar tu to to samo,

co obszar tu.

Jego podstawą jest dx, a wysokością jest dy.

Możecie sobie wyobrazić,

że patrzycie na to z góry.

Powierzchnia jest gdzieś powyżej, a my patrzymy na nią z góry,

więc to jest po prostu ten obszar.

Chcemy najpierw obliczyć całkę

ze względu na x.

Więc chcemy zsumować. Jeśli chcemy obliczyć objętość ponad tą kolumną,

to pole to dx razy dy, tak?

Zapiszmy objętość nad tą kolumną.

To będzie wartość funkcji,

wysokość w tym punkcie, czyli x y kwadrat razy dx, dy.

-

To wyrażenie daje nam objętość ponad tym obszarem

lub kolumną tutaj.

Chcemy zsumować najpierw w kierunku x.

Więc chcemy zsumować dx, jeden tu, tu

et cetera, et cetera.

Będziemy sumować w kierunku x.

Pytam Was,

jaka jest dolna granica całkowania?

-

Nasz y jest stałą, tak?

Jeśli przesuniemy go w lewo, dla coraz mniejszych x

w pewien sposób wpadniemy na tą krzywą.

Więc dolną granicą całkowania

jest właśnie ta krzywa.

Czym jest ta krzywa, jeśli chcemy

zapisać x jako funkcję od y?

Krzywa ta to y równe x kwadrat

lub x równe pierwiastkowi kwadratowemu z y.

Więc jeśli całkujemy ze względu na x dla ustalonego y

właśnie tu -- całkujemy w kierunku poziomym najpierw --

nasza dolna granica całkowania dla x to pierwiastek kwadratowy z y.

-

To ciekawe.

Myślę, że to chyba pierwszy raz, kiedy widzicie

granicę całkowania, która jest zmienną.

Ale to ma sens, bo dla tego rzędu, który sumujemy tutaj,

górna granica całkowania jest prosta.

Górną granicą całkowania jest x równe 1.

Górną granicą całkowania jest x równe 1,

ale dolną jest x równe pierwiastek kwadratowy z y.

Ponieważ dla mniejszych x wpadacie na tą krzywą.

Co to za krzywa?

Ta krzywa to x równe pierwiastkowi kwadratowemu z y,

ponieważ nie wiemy, który y wybraliśmy.

-

Kiedy już obliczyliśmy objętość

-- nad tym prostokątem tutaj --

i teraz chcemy zsumować po dy.

-

Pamiętajcie, to objętość nad tym,

co tu rysuję.

Rysuję tylko tę część płaszczyzny xy.

To co do tej pory zrobiliśmy, to wyrażenie, tak jak jest teraz zapisane,

wyznacza objętość nad

tym prostokątem.

Teraz jeśli chcemy obliczyć całą objętość bryły,

całkujemy wzdłuż osi y.

Albo sumujemy dy.

Tu był dy, nie dx.

Moje dx i dy są zbyt podobne.

Jaka jest dolna granica całkowania ze względu na y,

jeśli sumujemy takie prostokąty?

-

Dolną granicą całkowania jest y równe 0.

Nasz y zmienia się od y równe 0 do --

jaka jest górna granica całkowania?

-- do y równe 1.

Przepiszę tę całkę.

Całka podwójna od x równego pierwiastek kwadratowy z y,

do x równego 1, x y kwadrat, dx, dy.

Teraz granice dla y, y zmienia się od 0 do 1.

Zorientowałem się, że skończył się czas.

W następnym filmie wyliczymy to,

a później zrobimy to w odwrotnej kolejności.

Do zobaczenia wkrótce.