-
-
In alle dubbele integralen die we tot nu toe hebben gedaan
-
zijn de grenzen voor x en y vast geweest.
-
Nu zien we wat er gaat gebeuren als de grenzen van
x en y variabel zijn.
-
Laten we zeggen dat we hetzelfde vlak hebben, en ik ga hem niet
-
tekenen zoals hij er echt uitziet, maar ik teken hem meer figuurlijk.
-
Maar het probleem wat we echt gaan behandelen is z,
en dit is hetzelfde
-
probleem dat we de hele tijd al aan het doen zijn.
-
Het doel is hier niet om te laten zien hoe je moet integreren, het doel
-
is om te laten zien hoe je zo'n probleem kan visualiseren en erover kunt nadenken.
-
En in feite is bij een dubbele integraal het grootste probleem om de grenzen uit te zoeken.
-
Als je dat eenmaal hebt gedaan, is de integratie zelf vrij vanzelfsprekend.
-
Het is niet echt moeilijker dan integratie met een enkele variabelen.
-
Dus, laten we zeggen dat ons vlak wordt gegeven door:
z = xy kwadraat.
-
Laat me deze assen nog een keer tekenen.
-
Dus dit is mijn x-as.
-
Dit is mijn z-as.
-
En dit is mijn y-as.
-
x, y en z.
-
En je hebt een aantal video's terug kunnen zien hoe de grafiek eruit ziet.
-
Ik heb de 'grapher' erbij gepakt, en we hebben hem gedraaid en dat soort dingen.
-
Ik ga de grafiek niet helemaal tekenen zoals hij eruit ziet, ik ga hem gewoon
-
vrij abstract tekenen, als een abstract vlak.
-
Want het doel hier is om de integratiegrenzen uit te zoeken.
-
Voordat ik überhaupt het gebied ga tekenen, ga ik eerst
-
de grenzen tekenen.
-
De eerste keer dat we dit probleem deden zeiden we, OK, x gaat
-
van 0 naar 2, y gaat van 0 naar 1, en toen hebben we het
-
volume in dat gebied onderzocht.
-
Laten we nu iets anders doen.
-
Laten we zeggen dat x van 0 naar 1 gaat.
-
Dus x gaat van 0 naar 1.
-
En laten we zeggen dat het volume wat we willen bepalen
-
onder het gebied, niet van een vaste y naar een
-
naar boven begrensde y is.
-
Ik laat het wel zien: Het is eigenlijk een kromme.
-
Dit is allemaal in het xy vlak, alles wat ik hier teken.
-
En deze krommen zouden we op twee manieren kunnen zien: we zouden kunnen zeggen dat y een
-
functie van x is, namelijk y is x kwadraat.
-
We zouden echter ook kunnen zeggen x is de wortel van y.
-
We hoeven geen plussen of minnen ofzo te schrijven
-
aangezien we in het eerste kwadrant zitten.
-
Dus, dit is het gebied waarboven we het
-
volume willen bepalen.
-
Laat me even, ja, het doet geen kwaad om dit even in te kleuren zodat we
-
ons echt kunnen richten op waar het om gaat.
-
Dus, dit is het gebied waarboven we het
-
volume willen vinden.
-
We zouden kunnen zeggen, dat dit ons begrensde gebied is.
-
En dus gaat x van 0 naar 1, en dan dit punt
-
wordt wat?
-
Dit punt wordt dan (1,1), toch?
-
1 is gelijk aan 1 kwadraat, en 1 is gelijk aan de wortel van 1.
-
Dus dit punt is y is gelijk aan 1.
-
-
En nu ga ik dit vlak niet precies tekenen.
-
Ik probeer je gewoon een indruk te geven van wat het volume van
-
het figuur wat we proberen te berekenen is.
-
Als dit gewoon een arbitrair gebied- laat ik dit in een andere
-
kleur doen --dus dit is de bovenkant.
-
Deze lijn gaat verticaal in de z-richting.
-
-
In feite, ik zou het zo kunnen kijken, alsof het een kromme is.
-
En dan wordt deze kromme hier in feite een soort muur.
-
En misschien verf ik dan deze kant van de muur even zodat je kunt zien
-
hoe het er soort van uit ziet.
-
Ik doe mijn best.
-
Ik hoop dat een idee hebt.
-
Ik maak het iets donkerder; eigenlijk is dit meer een soort
-
oefening in kunst dan in wiskunde.
-
Je ziet wel wat ik aan het doen bent.
-
En dan de grens hier op deze manier.
-
En deze bovenkant is niet noodzakelijk vlak, hij zou
-
krom kunnen zijn.
-
Ik doe het een klein beetje zo, maar het is een krom gebied.
-
En we weten dat in het voorbeeld wat we zo gaan doen dat het
-
gebied hier gelijk is aan z = x kwadraat.
-
Dus we willen het volume hieronder berekenen.
-
Dus hoe doen we dan?
-
Nou, laten we er over nadenken.
-
We kunnen de intuïtie gebruiken die ik je net gegeven heb.
-
We nemen in feite een dA, wat een klein
-
vierkantje hier beneden is, en dat kleine gebied, dat is
-
hetzelfde als dx -- laat me even een donkerdere kleur gebruiken -- als een dx
-
keer een dy, en dan moeten we die gewoon vermenigvuldigen met f van
-
xy, dat is deze, voor ieder gebied, en dan
-
ze allemaal optellen.
-
En dan kunnen we eerst de som in de x-richting eerst nemen,
-
of eerst in de y-richting.
-
Juist, voordat we dat doen, gewoon om te kijken of je de intuïtie
-
goed hebt opgebouwd want de grenzen zijn het moeilijke gedeelte,
-
laat me het xy vlak even tekenen.
-
En dan draai ik hem zo.
-
En nu teken ik gewoon ons xy vlak
-
Want dat is wat uitmaakt
-
Want het moeilijke is om de
-
integratiegrenzen te bepalen.
-
Dus de kromme is gewoon y = x kwadraat, kijk
-
zoiets.
-
Dus dit punt in y is gelijk aan 1
-
Dit is de y-as, dit is de x-as, dit is het punt
-
x is gelijk aan 1.
-
Dat is geen x, dat is een 1.
-
Dit is de x.
-
In ieder geval, wat we dus willen bepalen, is hoe we deze dx keer dy,
-
dus deze dA, optellen over dit domein.
-
Laten we het tekenen.
-
Laten we het fysiek teken. En het kan geen kwaad om dit echt te doen wanneer
-
je echt het probleem moet oplossen, want
-
dit is het moeilijke gedeelte.
-
Heel veel Analyse-docenten laten je gewoon de
-
integraal opstellen en zeggen dan, OK, de rest is makkelijk.
-
Of: "De rest is Analyse 1".
-
OK, dus, dit is het gebied. Dit gebied hier is hetzelfde
-
als dit gebied hier.
-
Dus de basis is dx en de hoogte is dy.
-
En dan kun je je voorstellen dat we kijken naar
-
dit ding van boven.
-
Dus het gebied is hier ergens, en we kijken
-
recht naar beneden, dus dit is gewoon het gebied.
-
Dus laten we zeggen dat we de integraal willen nemen ten opzichte
-
van x eerst.
-
Dus we willen optellen, dus als we het volume boven deze
-
kolom willen hebben, ten eerste, is dit gebied keer dx, dy, toch?
-
Dus, laten we het volume boven die kolom opschrijven.
-
Dat wordt de waarde van de functie, de hoogte op
-
dat punt, wat xy keer dx, dy is.
-
Deze uitdrukking geeft ons het volume boven dit gebied, of
-
deze kolom hier.
-
En laten we zeggen dat we in de x-richting eerst willen optellen.
-
Dus we willen deze dx optellen, eentje hier, een som hier,
-
et cetera, et cetera.
-
Dus we gaan optellen in de x-richting.
-
Dus mijn vraag aan jou is, wat is onze
-
ondergrens voor integratie?
-
Nou, we houden in feite onze y constant, toch?
-
En als we naar links gaan, naar kleinere en kleinere x-en,
-
stoten we hier tegen de kromme aan.
-
Dus onze ondergrens voor integratie is
-
in feite de kromme.
-
En wat is deze kromme, als we schrijven dat x
-
een functie van y is?
-
de kromme is y = x kwadraat, ofwel x =
-
de wortel van y.
-
Dus als we integreren ten opzichte van x voor een vaste y,
-
hierzo-- we integreren in de horizontale richting als eerste
-
-- onze ondergrens voor x is gelijk aan de wortel van y.
-
Dat is interessant.
-
Dit is waarschijnlijk de eerste keer dat je een
-
variabel-begrensde integraal hebt gezien.
-
Maar dat is vrij logisch, want voor deze rij die we hier optellen
-
is de bovengrens makkelijk.
-
De bovengrens van x is gelijk aan 1.
-
De bovengrens van x is gelijk aan 1, maar de ondergrens is
-
x = de wortel van y.
-
Want je gaat zo van, oh, ik kom hier tegen de kromme aan.
-
En wat is de kromme?
-
Nou ja, de kromme is x = wortel y, want we weten
-
niet welke y we hebben gekozen.
-
Duidelijk toch?
-
Dus als we dit volume hebben bepaald-- dus dat geeft ons
-
het volume boven de rechthoek hier-- en dan willen we
-
de dy's optellen.
-
En onthoud, er zit hier een heel volume boven dat
-
wat ik hier teken.
-
Ik teken dit deel gewoon in het xy-vlak.
-
Dus wat we nu hebben gedaan, deze uitdrukking, zoals hij hier
-
staat geschreven, bepaald de volume van
-
die driehoek.
-
Als we nu het totale volume willen bepalen,
-
integreren we over de y-as.
-
Of we tellen alle dy's op.
-
Dit was een dy, niet een dx.
-
Mijn dx'en en dy'en lijken te veel op elkaar.
-
Dus wat is nu de ondergrens over de y-as als ik deze
-
rechthoeken optel?
-
Nou, de ondergrens van y is gelijk aan 0.
-
Dus we gaan van y=0 naar wat--
-
Wat is de bovengrens?
-
-- naar y=1.
-
En daar heb je het.
-
Laat me deze integraal opnieuw opschrijven.
-
Dus, de dubbele integraal gaat van x= de wortel
-
van y naar x is 1 van xy kwadraat keer dx, dy.
-
En dan voor y, gaat y van 0 naar 1.
-
Ik zie nu dat de tijd om is.
-
In de volgende video gaan we deze integraal evalueren, en dan gaan we
-
het ook in de andere volgorde
-
Tot snel.
