Intégrales doubles 5

Trouver le volume lorsque nous avons des limites variables.

...

Parmi toutes les doubles intégrales que nous avons faites jusqu'à maintenant,

les bornes en x et en y étaient fixées.

Voyons ce qui se passe lorsque les bornes en

x et y sont variables.

Considérons que j'ai la même surface, et je ne vais pas

la dessiner précisément, je vous donne juste

une esquisse.

Mais le problème que nous allons en fait résoudre est z, et celui-ci est

exactement le même que celui sur lequel nous étions occupés à travailler.

Le but ici n'est pas de vous montrer comment réaliser une intégrale, mais plus

de vous aider à visualiser le problème et à le schématiser

mentalement.

Et honnêtement, dans les problèmes à double intégrales, la partie la plus compliquée est

de déterminer les bornes.

A partir du moment où celles-ci sont connues, l'intégration en elle-même

est asez facile et triviale.

Ce n'est pas beaucoup plus difficile que les intégrales à une variable.

Considérons une surface telle que z est égal

à xy².

Je vous redessine les axes.

Voilà mon axe X.

L'axe Z.

L'axe Y.

...

X, Y et Z.

Nous avons déjà vu l'allure de ce graphique dans une vidéo précédente.

J'ai sorti le "grapheur" et nous avons ensuite effectué une rotation, et d'autres choses aussi.

Je ne vais pas dessiner le graphe exactement, je vais simplement

esquisser une surface assez abstraite.

esquisser une surface assez abstraite.

Parce que le but ici n'est pas vraiment de trouver les

bornes d'intégration.

Avant même de dessiner la surface, je vais

délimiter les bornes.

La première fois que nous avons résolu ce problème, nous avons considéré que x allait

de 0 à 2, y de 0 à 1, et nous avons ensuite trouvé

le volume délimité au dessus du domaine borné.

Cette fois-ci nous allons faire les choses différemment.

Soit x allant de 0 à 1.

Soit x allant de 0 à 1.

considérons aussi que le volume que nous recherchons

sous la surface ne vient pas d'un y fixé allant vers

une borne supérieure en y.

Je vais vous le montrer : c'est une courbe.

Tout ce que je dessine ici se trouve dans le plan xy.

et cette courbe peut être considérée de deux manières: Nous pourrions dire que y est

une fonction de x,(y=x²).

ou nous pourrions la considérer comme la racine carrée de y.

Nous n'avons pas besoin d'ajouter de signes positif ou négatif

parce que nous nous trouvons dans le premier quadrant.

Ceci est l'aire au dessus de laquelle nous voulons

calculer le volume.

calculer le volume.

laissez moi -- oui, ça ne fait pas de mal de colorer un peu

afin de bien voir ce qui nous intéresse --

Donc voici l'aire au dessus de laquelle nous souhaitons

déterminer le volume.

Vous pourriez l'appeler notre domaine borné.

Et donc, x va de 0 à 1, mais alors,

quel est ce point ?

Ce point sera donc (1,1)

1=1², 1=sqrt(1)

Donc ce point est : y=1.

Donc ce point est : y=1.

Bon, je n'essaye pas de dessiner exactement la surface,

j'essaye juste de vous donner une notion du volume

que nous essayons de calculer.

Si ceci est juste une surface quelconque,

(... changement de couleur ...) dont voici le sommet.

cette ligne est verticale dans la direction de l'axe z.

cette ligne est verticale dans la direction de l'axe z.

En fait, je pourrais la dessiner comme ceci , comme si elle était courbe.

Et comme si cette courbe ici, était comme un mur.

Et comme si cette courbe ici, était comme un mur.

Je vais colorer ce côté "du mur" pour vous montrer

ce à quoi il pourrait ressembler.

... Je fais de mon mieux...

Je pense que cela vous donne une idée.

Laissez moi l'assombrir un peu,

en fait c'est plus un exercice artistique que des maths.

Ca vous donne une idée...

Et donc ici, la frontière est ainsi.

et ce "toit" n'est pas plat,

il pourrait être courbe.

Je le fais comme ceci, mais c'est une surface courbe.

Et nous savons que dans l'exemple que nous traitons,

la surface juste ici est : z=x²

et nous cherchons à calculer le volume en dessous.

Comment, procéder ,

Réfléchissons un peu...

Nous pourrions utiliser l'intuition que je viens de vous donner.

Nous allons considérer un da, qui correspond à

un petit carré la en bas, et cette petite aire (surface) est

l'équivalent d'un dx multiplié par un dy.

Nous avons simplement à la multiplier par f(x,y)

qui correspond à ceci pour toutes les aires (da) et

en faire la somme.

Nous pourrions faire cette somme dans la direction des x en premier

ou dans la direction des y.

Maintenant, avant de le faire, juste pour s'assurer que vous avez

l'intuition parce que les frontières sont la partie difficile,

permettez-moi de dessiner notre plan xy.

Permettez-moi de le faire tourner comme ça.

Je vais juste dessiner notre plan xy.

Parce que c'est ce qui importe.

Parce que la partie la plus difficile ici est simplement de figurer nos

limites de l'intégration.

...

insi, la courbe est tout y est égal à x², regardez

quelque chose comme ça.

C'est le point y est égal à 1.

Ceci est l'axe y, c'est l'axe des x, c'est le

point x est égal à 1.

...

Ce n'est pas un x, c'est un 1.

C'est le x.

Quoi qu'il en soit, si nous voulons comprendre, comment pouvons-nous résumer ce dx

* dy fois, ou ce da, le long de ce domaine?

Donc dessinant le.

Let's visuellement dessiner et il n'est pas mal à faire cette fois

vous devez faire le problème car cela

franchement est la partie difficile.

Beaucoup de professeurs de calcul aura juste vous mettre en place les

intégrante et puis bien dire, OK, le reste est facile.

Le reste est Calc 1 ou.

OK, donc ce domaine, ce domaine ici est la même chose

comme ce domaine ici.

Si sa base est dx et sa hauteur est dy.

Et puis que vous puissiez imaginer que nous cherchons à

cette chose d'en haut.

Donc la surface est ici certains placent et nous sommes à la recherche

tout droit vers le bas, et c'est donc seulement dans ce domaine.

Alors disons que nous voulions prendre l'intégrale avec

quant à x d'abord.

Donc nous voulons résumer, donc si nous voulons que le volume au-dessus de cette

colonne, est tout d'abord, cette zone fois dx, dy, droit ?

Alors disons écrire le volume au-dessus de cette colonne.

Il va être la valeur de la fonction, la hauteur à

ce point, qui est xy carré fois dx, dy.

...

Cette expression nous donne le volume au-dessus de cette zone, ou

Cette colonne ici.

Et disons que nous voulons d'abord que la somme dans la direction x.

Donc nous voulons que dx en somme, une somme ici, ici, en résumé

et cætera, et cætera.

Nous allons donc à la somme dans la direction x.

Donc ma question est, quelle est notre bas

limite d'intégration ?

...

Bien, nous allons organiser genre de notre constante y, droite ?

Et si nous allons vers la gauche, si nous allons plus faibles et moins x nous

genre de bosse dans la courbe ici.

Donc la limite inférieure de l'intégration est

en réalité la courbe.

Et quelle est cette courbe, si nous devions écrire x

est une fonction de y ?

Cette courbe est y est égale à x au carré, ou x est égale

à la racine carrée de y.

Donc, si nous allons intégrer en ce qui concerne les x pour un y fixe

droite ici, que nous allons intégrer dans la direction horizontale

tout d'abord, notre borne inférieure est x est égal à la racine carrée de y.

...

C'est intéressant.

Je pense que c'est la première fois que vous avez probablement déjà vu un

variable lié intégrale.

Mais il est logique, car pour cette ligne que nous allons ajouter

droit en l'espèce, la limite supérieure est facile.

La limite supérieure est de x est égal à 1.

La limite supérieure est de x est égal à 1, mais la borne inférieure est

x est égal à la racine carrée de y.

Parce que vous allez revenir comme, oh, je rencontre la courbe.

Et quelle est la courbe ?

Bien la courbe est x est égal à la racine carrée de y parce que nous

ne sais pas qui y, nous avons choisi.

Assez juste.

Donc une fois nous avons trouvé le volume--ce que nous allons donner la

volume au-dessus de ce rectangle ici--et puis nous

à ajouter à de la dy

...

Et rappelez-vous, il ya un volume entier au-dessus de ce que

je vais dessiner ici.

Je dessine juste cette partie du plan xy.

Donc, ce que nous venons de faire

(cette expression écrite telle quelle), détermine le volume

sous ce rectangle

Maintenant, si nous souhaitons calculer le volume de ce solide,

nous intégrons le long de l'axe y,

ce qui revient à additionner tous les dy.

C'était un dy ici, pas un dx.

Mes dx et dy avaient l'air trop similaires.

donc, maintenant, quelle est la borne inférieure sur l'axe y si j'additionne

tous ces rectangles ?

tous ces rectangles ?

Bien, la borne inférieure est : y=0.

Donc nous irons de y=0 à y=?

Quelle est la borne supérieure ?

Pour y, c'est 1.

Et voila.

Laissez moi ré-écrire cette intégrale.

Donc la double intégrale sera calculée de x=racine(y) à x=1, xy², dx, dy.

Donc la double intégrale sera calculée de x=racine(y) à x=1, xy², dx, dy.

et après les bornes pour y => y va de 0 à 1.

Je viens juste de réaliser que je n'ai plus de temps.

Nous évaluerons ceci dans la prochaine vidéo et

le ferons dans l'autre sens.

A bientôt.

A bientôt.