Kahekordsed integraalid 5

Finding the volume when we have variable boundaries.

Kõikidest kahekordsetest integraalidest, mida oleme teinud

seni, piirid x'l ja y'l olid fikseeritud.

Nüüd, vaatame, mis juhtub, kui piirid

x ja y on muutujad.

Ütleme, mul on sama pind, ning ma ei

joonista seda nagu ta välja näeb, ma joonistan ta

piltlikult.

Aga ülesanne, mida teeme on z ja see on

täpselt sama, mida oleme seni teinud.

Punkt siit ei näita teile, kuidas integreerida punkt

siit näitab, kuidas visualiseerida ning mõelda

nendest ülesannetest.

Ja ausalt, kahekordsete integraalide ülesannetes on raskeimaks osaks

piiride välja nuputamine

Kord, kui seda teete, on integratsioon

üsna otsekohene.

Ta ei ole tegelikult üldse raskem ,kui ühe muutuja integratsioon

Ütleme, et see on meie pind: z on võrdne

xy ruuduga.

Las ma joonistan teljed uuesti.

See on minu x-telg.

See on minu z-telg.

See on minu y-telg.

x,y ja z.

Ja te nägite, milline see graafik välja nägi mitu videot tagasi.

ma võtsin terve grafeerija, ning me keerutasime jne.

Ma ei joonista graafikut, nagu ta välja näeb; ma vaid

teen seda üsna abstraktselt, kui vaid

abstraktset pinda.

Kuna asja mõte siin, on tegelt välja mõelda

integratsiooni piire.

Enne, kui ma üldse alustan pinna joonistamist, ma

joonistan piiri.

Esimest korda, me tegime seda ülesannet, ütlesime, OK, x läheb

nullist kaheni, y läheb nullist üheni, ning arvutasime

ruumala selle piiritletud piirkonna kohal.

Nüüd teeme midagi muud.

Ütleme, et x läheb nullist üheni.

Ja ütleme, et see ruumala, mida tahame arvutada

selle pinna all, pole fikseeritud y kuni

ülemise piiri y.

Ma näitan teile: See on tegelikult kõver.

Nii, see on kõik xy tasandil, kõik, mida joonistan siia.

Ja see kõver, me võiksime vaadata teda kahel viisil, me võiksime öelda, et y on

funktsioon x'st, y on võrdne x ruuduga.

Või me saaksime kirjutada on võrdne ruutjuurega y'st.

Me ei pea kirjutama pluss või miinus, või midagi sellist.

kuna me oleme esimeses veerandis.

Nii, see ala üleval, mida me tahame

arvutada ruumala.

Las ma, jah, Ei tee haiget selle ära värvimine, et me

mõistaksime mis meid huvitab

Nii, see on ala üleval, millest tahame ruumala

välja nuputada.

Võiksite öelda, see on meie piiritletud piirkond.

Ja nii, x läheb nullist üheni, ning siis see punkt

tuleb 0 või mis?

See punkt tuleb 1 koma 1, eks?

1 on võrdne 1 ruudus, 1 on võrdne ruutjuurega ühest.

Nii, et see punkt on y võrdub ühega.

Ja siis ma ei joonista seda pinda täpselt.

Ma vaid üritan anda aimu sellest, milline on ruumala

kujundist, mida arvutame.

Kui see on mingi mistahes pind-- las ma teen seda

teises värvis-- nii, see on ülemine osa.

See joon läheb vertikaalselt z-suunas.

Tegelikult, võiksin joonistada ta niimoodi, nagu see on kõver.

Ja siis see kõver siin taga on nagu sein.

Ja võib-olla ma värvin selle seina külje et te näeksite

milline ta välja näeb.

Teen oma parima.

Arvan, saate sellest aru.

Las teen selle natuke tumedama; see on tegelikult rohkem

nagu kunsti ülesanne, kui matemaatika, mitmel moel.

Saate aru küll.

Ja piiritlus siin on selline.

Ja ülemine osa ei ole lame, teate, see võiks

olla kõver pind.

Ma teen natuke nii, kuid see on kõver pind.

Ja me teame näites, me teeme et

pind siin on z on võrdne x ruuduga.

Nii, tahame arvutada ruumala selle all.

Kuidas seda teeme?

Mõtleme sellest.

Võiksime tegelikult kasutada aimu, mida just andsin.

Me põhimõtteliselt ligtsalt võtame da, mis on

väike ruut, siin all, ja see väike piirkond, see on

sama asi, mis dx-- las kasutan rumedamat värvi-- kui dx

korda dt, ja siis peame korrutame seda korda f

xy'st, mis on see, iga ala kohta, ja siis

nad kõik kokku summeerima.

Ja siis me saaksime võtta summa x-suunas esmalt

või y-suunas esmalt.

Nüüd, enne selle tegemist, lihtsalt, et veenduda et teil on

aimu, kuna piirid on raske osa.

las ma joonistan meie xy tasandi.

las ma keeran ta ülesse, niimoodi.

Ma vaid joonistan meie xy tasandi.

Kuna see on, mis on tähtis.

Kuna raskeim osa siin on meie integratsiooni

piiride leidmine.

Nii, et kõver on vaid y võrdub x ruudus, vaadake

midagi sellist.

see on punkt y on võrdne 1'ga.

See on y-telg, see on x-telg, see on

punkt x on võrdne 1'ga

See ei ole x, see on 1.

See on x.

Igatahes, me tahame arvutada, kuidas me summeerime seda dx

korda dy, või see da, selles piirkonnas?

Joonistame selle.

Joonistame selle visuaalselt, ja ei tee kahju, kui

tegelikult peate seda ülesannet tegemam kuna

see on ausalt raske osa.

Paljud matemaatilise analüüsi õpetajad lasevad üles seda

integraali, ning ütlevad siis, olgu, ülejäänud n kerge.

Või ülejäänud on Calc 1.

Olgu, see piirkond, see ala siin on sama asi, nagu

see asi siin.

Tema põhi on dx ja tema kõrgus on dy.

Ja siis võiksite ette kujutada, et vaatame

seda asja ülevalt.

nii, pind on siin üleval, kuskil ja me vaatame

otse alla sellele, ja see on vaid see ala.

Ütleme, et tahame võtta integraali

x suhtes esmalt.

Tahame summeerida, nii, et kui tahame ruumala selle

tulba kohal, esmalt, on see ala korda dx, dy, eks?

Nii, kirjutame ruumala selle tulba kohale.

See tuleb funktsiooni väärtus, kõrgus selles punktis, mis on

xt ruudus, korda dx, dy.

See avaldis annab meile ruumala selle ala kohal, või

selle tulba siin-samas.

Ja ütleme, et tahame summat x suunas esmalt.

Nii, tahame summeerida seda dx, summeerime ühe siin, summerime siin,

jne. jne.

Nii, me summeerime x-suunas.

Minu küsimus teile on, mis on meie

madalaim integratsiooni piir?

Nii, me suhteliselt hoiame oma y konstandina, eks?

Ja kui me läheme vasakule, kui me läheme madalamale ja madalamale x'st, me

"põrkume" selle kõveraga siin.

Nii, et integratsiooni alumine piir on

tegelikult kõver.

Ja mis on see kõver, kui me kirjutaksime x

on funktsioon y'st?

See kõver on y on võrde x ruuduga, või x on võrdne

ruutjuurega y'st.

Nii, kui me integreerime x suhtes fikseeritud y'ks

siin-- me integreerime horisontaalses suunas

esmalt-- meie alam piir on x on võrdne ruutjuurega y'st.

See on huvitav.

Arvan see on esimene kord, kui olete näinud

muutujaga seotud integraali.

Aga see on loogiline, kuna see rida, mida kokku liidame

siin, ülemine piir on kerge.

Ülemine piir on x võrdub ühega.

Ülemine piir on x on võrdne ühega, kuid alumine piir on

x on võrdne ruutjuurega y'st.

Kuna saate tagasi minna, nagu, oh, "põrkun" kõveraga.

Ja mis on see kõver?

Nii, kõver on x on võrdne ruutjuurega y'st, kuna me

ei tea, millise y me valisime.

Sobib küll.

Kord, kui oleme välja nuputanud ruumala-- nii, see annab meile

ruumala selle ristküliku kohal siin-- ja siis me

tahame dy'd liita.

Ja mäletage, siin on terve ruumala selle kohal, mida

ma joonistan siin.

Ma joonistan seda osa xy-tasandil.

Nii, mida ma siin tegin just, nüüd, kui ta on

kirjutatud, nüüd, arvutades seda ruumala selle

ristküliku kohal.

Nüüd kui me tahame arvutada seda tervet selle keha ruumala.

Me integreerime y-telge pidi.

Või me liidame kokku kõik dy'd.

Ja see oli dy siin, mitte dx.

Minu dx'd ja dy'd näevad välja liiga sarnased.

Ja nüüd, mis on madalam piir y-teljest ja kui ma summeerin

need ristkülikud?

Nii, alumine piir on y on võrdne nulliga.

Nüüd liigume y on võrdne 0 kuni--

Mis on ülemine piir?

-- kuni y on võrdne ühega'ni.

Ja siin see on.

Las ma kirjutan selle integraali.

Nii, et kahekordne integraal tuleb x on võrdne ruutjuur

y kuni x on võrdne 1, xy ruudus, dx, dy.

Ja siis, y piir, y läheb 0 kuni y kuni 1.

Ma just mõistsin, et aeg on otsas.

Järgmises videos ma arvutan sellle, ja siis me

teeme seda teises järjekorras.

Kohtume varsti.