-
(Comienzo del clip)
-
En todas los integrales dobles que hemos calculado hasta ahora
-
los limites en "x" e "y" eran fijos.
-
Ahora veamos que ocurre cuando los límites
-
en "x" e "y" son variables.
-
Digamos que tengo la misma superficie, y no la voy a
-
dibujar exactamente como se ve. Sólo la dibujaré
-
en sentido figurado.
-
Pero el problema que vamos a hacer ahora es "z", y este es
-
exactamente el mismo que hemos estado realizando.
-
El punto de esto no es mostrarte cómo integrar, el punto
-
de esto es mostrarte cómo visualizar y pensar
-
acerca de estos problemas.
-
Y, francamente, en los problemas de integrales dobles la parte más difícil es
-
encontrar los límites.
-
Una vez que lo hayas hecho, la integración es bastante
-
directa.
-
Realmente no es dificil como como una variable de integracion
-
Entonces, digamos que esa es nuestra superficie:Z is igual
-
a xy al cuadrado.
-
Dejame dibujar los ejes de nuevo.
-
Entonces, este es mi eje de X.
-
Este es my eje de Z.
-
Ese es mi eje de Y.
-
(pausa)
-
X, Y y Z
-
Y tu viste como era esta grafica varios videos atras.
-
Yo saque todo el graficado y rotamos y cosas.
-
Voy a dibujar la grafica de la manera que luce; Yo solo
-
voy traer lo menos abstracticamente como solo una
-
superficie abstracta.
-
Por que el punto aca es realemente encontrar los
-
limites de integracion.
-
Antes de dibujar la superficie en si, yo voy
-
a dibujar el contorno.
-
La primera vez que hicimos este problema dijimos, bien, la x
-
va desde 0 a 2, la y va desde 0 a 1, y luego calculamos
-
el volumen sobre este dominio encerrado.
-
Ahora hagamos algo mas.
-
Digamos que x va desde 0 a 1
-
(pausa)
-
Digamos que el volumen que queremos resolver
-
bajo la superficie, no viene de una y fija
-
a una y a limite superior.
-
Te lo muestro: es realmente una curva.
-
Por lo que esto es todo en el plano xy, todo lo que estoy dibujando.
-
Y esta curva, la podemos ver de dos maneras: podríamos decir que y es
-
una función de x, y es igual a x al cuadrado.
-
O podríamos escribir que es igual a la raíz cuadrada de y.
-
No tenemos que escribir más o menos, ni nada parecido
-
porque estamos en el primer cuadrante.
-
Por lo que esta es el área de la cuál queremos
-
resolver el volumen.
-
(pausa)
-
Déjame, si, no duele colorearla solo para que
-
podamos realmente afinar lo que nos interesa.
-
Por lo que esa es el área superior de la cuál queremos
-
resolver es el volumen.
-
Podríamos decir, que es nuestro limite del dominio.
-
Y asi x va de 0 a 1, pero entonces este punto
-
qué va a ser?
-
Este punto será 1 coma 1, ¿verdad?
-
1 es igual a 1 al cuadrado, 1 es igual a la raíz cuadrada de 1.
-
Por lo que este punto es y es igual a 1.
-
(escribe)
-
Y entonces no dibujaré esta superficie de manera exacta.
-
Simplemente te daré una idea de lo que es el volumen
-
de la figura que estamos tratando de calcular.
-
Si esto es solo una superficie arbitraria - déjame hacerlo
-
en un color diferente - esto es la parte superior.
-
Esta línea será vertical en dirección de z.
-
(pausa)
-
Realmente, podría dibujarla como esto, como si fuera una curva.
-
Y entonces, esta curva de aquí atrás será como una pared.
-
(pausa)
-
Y quizá pintare este lado de la pared para que puedas ver
-
mas o menos como se ve.
-
Estoy haciéndolo lo mejor posible.
-
Creo que te puedes hacer una idea.
-
Déjame hacerlo un poco más oscuro; esto es más bien
-
un ejercicio de arte que de matemáticas, en muchos sentidos.
-
Te puedes hacer una idea.
-
Y entonces el límite aquí es como esto.
-
Y esta parte superior no es plana, ya sabes, podría
-
ser una superficie curva.
-
Lo estoy haciendo y poco así, pero es una superficie curva.
-
Y ahora sabemos en el ejemplo que estamos apunto de hacer que la
-
superficie aquí es z igual a x al cuadrado.
-
Por lo que queremos resolver el volumen bajo esto.
-
Y, ¿cómo lo hacemos?
-
Bien, pensemos.
-
Podríamos utilizar la intuición con lo que ya te he dicho.
-
Vamos a esencialmente tomar una "da", que es un pequeño
-
cuadrado de aquí, y esa pequeña área, es la
-
misma que la de "dx" -- déjame utilizar un color más oscuro -- como la "dx"
-
veces una "dy", y entonces la multiplicaremos por f de
-
xy, lo que será, por cada área, y entonces
-
sumarlos todos.
-
Y luego podemos tomar la suma en la direccion-x primero
-
o la direccion-y primero.
-
Ahora antes de hacer eso, solo vamos a asegurarnos de que tengas
-
la intuicion porque los limites son la parte dificil,
-
dejame solo dibujar nuestro plano xy.
-
Asi que dejame rotarlo asi.
-
Solo estoy dibujando nuestro plano xy.
-
Porque eso es lo que importa.
-
Porque la parte dificil aqui es solo descifrar nuestros
-
limites de integracion.
-
(escribiendo)
-
Asi que la curva es solo y es igual a x al cuadrado, se ve
-
algo asi.
-
Este es el punto y es igual a 1.
-
Este es el eje-y, este es el eje-x, este es el
-
punto x es igual a 1.
-
(pausa)
-
Esto no es una x, es un 1.
-
Esta es la x.
-
De todos modos, lo que queremos descifrar, ?como sumamos este dx
-
multiplicado por dy, o esta da, a lo largo de este dominio?
-
Vamos a dibujarlo.
-
Vamos a visualimente dibujarlo y esto no duele hacerlo cuando
-
tu en realidad tienes que hacer el problema porque es
-
francamente la parte mas dificil.
-
Muchos maestros de calculo puede que te hacan establecer
-
la integral y luego digan, OK, bueno el resto es facil.
-
O el resto es Calculo 1.
-
OK, asi que esta area, esta area aqui es la misca cosa
-
que esta area aqui,
-
Su base es dx y su altura es dy.
-
Y luego te puedes imaginar que estamos mirando a
-
esto desde arriba.
-
La superficie esta aqui arriba en algun lado y estamos mirando
-
justo hacia abajo, y esto es solo esta area.
-
Digamos que queremos sacar la integral con
-
respecto a x primero.
-
Vamos a sumar, si queremos el volumen sobre esta
-
columna, primetro que nada, es el are multiplicado por dx, dy, cierto?
-
Asi que escribamos el volumen sobre la columna.
-
Va a ser el valor de la funcion, la altura a
-
el punto, que es xy al cuadrado multiplicado por dx, dy.
-
(pausa)
-
Esta expresion nos da el volumen sobre esta area, o
-
la columna aqui.
-
Digamos que queremos sumar en la direccion-x primero.
-
Queremos sumar la dx, suma una aqui, suma aqui,
-
etcetera, etcetera.
-
Vamos a sumar en la direccion-x.
-
Mi pregunta para ti es, cual es nuestro
-
limite infetior de integracion?
-
(pausa)
-
Bueno estamos manteniendo nuestra y constante, ?cierto?
-
Si vamos hacia la izquierda, si vamos mas abajo y abajo en x
-
como que chocamos con la curva aqui.
-
Asi que el limite inferior de integracion es
-
en realidad una curva.
-
?Cual es esta curva si fueramos a excribir x
-
como funcion de y?
-
Esta curva es y es igual a x al cuadrado, o x es igual
-
a la raiz cuadrada de y.
-
Si estamos integrando con respecto a x por una y fija
-
aqui--estamos integrando en la direccion horizontal
-
primero---nuestro limite inferior es x es igual a la raiz cuadrada de y.
-
(pausa)
-
Esto es interesante.
-
Creo que esta es la primera vez que probablemente vez un
-
limite integral variable.
-
Pero hace sentido porque para esta fila que estamos sumando
-
aqui, el limite superior es facil.
-
El limipe superior es x es igual a 1.
-
El limite superior es x es igual a 1, pero el limite inferior es
-
x es igual a la raiz cuadrada de y.
-
Porque vuelves, o, yo choco con la curva.
-
?Cual es la curva?
-
Bueno la curva es x es igual a la raiz cuadrada de y porque
-
no sabemos que y cojimos.
-
Justo lo suficiente.
-
Una vez que es calculado el volumen--asi que nos da el
-
volumen sobre el rectangulo aqui--y luego
-
queremos sumar los dy.
-
(Pausa)
-
Y recuerda, que hay todo un volumen sobre lo
-
que estoy dibujando aqui.
-
Solo estou dibujando esta parte en el plano xy.
-
Lo que acabamos de hacer, esta expresion, como esta
-
escrita, calcula el volumensobre
-
el rectangulo.
-
Si queremos calcular el volument del solido entero,
-
tenemos que integrar a lo largo del eje-y.
-
O sumamos todas las dy.
-
Esto es una dy aqui, no una dx.
-
Mi dx y dy se ven similares.
-
?Cual es el limite inferior en el eje-y si estoy sumanso
-
estos rectangulos?
-
(pausa)
-
Bueno, el limite inferior es y es igual a 0.
-
Vamos a ir de y es igual a 0 a que--
-
?cual es el limite superior?
-
--es y es igual a 1.
-
Hay lo tienes.
-
Dejame re-escribir la integral.
-
La doble integral viene de x es igual a la raiz
-
cuadrada de y a x es igual a 1, xy al cuadrado, dx, dy.
-
Y luego el limite de y, y va de 0 a y a 1.
-
Me acabo de dar cuenta que se me acabo el tiempo.
-
En el proximo video vamos a calcular esto, y luego
-
vamos ha hacerlo en el otro orden.
-
Los veo pronto.
-
(Fin del video).
