When is a particle speeding up

Нека имаме някаква частица,
която се движи спрямо числовата ос.

Ще начертая тук една
числова ос.

Това е числовата ни ос.

Да кажем, че започва
тук при нула.

После в течение на времето,
тази малка точка стига до тук.

Може би се движи надясно,
забавя се, после се ускорява.

Може би се движи наляво,
забавя се, после се ускорява.

Може да прави всякакви неща.

За да опишем движението ѝ, нейното
местоположение като функция на времето,

имаме функцията s(t).

Местоположението на частицата
като функция на времето е дадено

като t^3 – 6t^2 + 9t.

Ще ограничим дефиниционното
множество до положителните членове.

Ще приемем, че времето
е по-голямо или равно на 0.

Въпросът, на който искаме
да отговорим в това видео,

е кога тази частица се ускорява?

Кога тя се ускорява?

Мисля, че трябва малко
пояснение.

Какво означава да
се ускорява?

Има два сценария.

Ако частицата вече се
движи надясно...

знаем, че се движи
надясно, когато

нейната скорост е
по-голяма от 0.

Ако се движи надясно,

и ускорението ѝ също
е надясно...

значи ако ускорението също
е по-голямо от 0, тогава

това е ситуацията, в
която се ускорява.

Другият сценарий, когато
се ускорява,

е ако се движи наляво.

В този случай скоростта е
отрицателна.

Скоростта е отрицателна и ние искаме
да се движи по-бързо в отрицателна посока,

тогава ускорението също
ще бъде отрицателно.

Тогава ускорението става
все по-отрицателно във времето.

Тогава ускорението също
трябва да е отрицателно,

ако искаме да се забързва.

Ако имаме някаква друга
комбинация,

ако скоростта е отрицателна,
а ускорението е положително,

това означава, че скоростта
става по-малко отрицателна,

или тя се забавя в посока
наляво.

И обратно, ако скоростта
е положителна,

а ускорението е отрицателно,

това означава, че
отиваме надясно,

но също така се забавя
в посока надясно.

Да помислим върху
тези два сценария.

Тъй като скоростта тук е
толкова важна,

трябва да си спомним, че...
спомни си, че

производната е скоростта на изменение
спрямо някаква променлива.

Ако функцията е положителна,
тогава производната

на местоположението
спрямо времето,

това е всъщност точно
моментната скорост на изменение

на местоположението
спрямо времето.

Какво е изменението на
местоположението спрямо времето?

Това ще бъде равно на
нашата функция на скоростта.

Това е равно на функцията
на скоростта v(t).

Или можем да го запишем като
s'(t), което също може

да се запише като ds/dt,
което е равно на скоростта

като функция от времето.

Да намерим производната
на това.

Скоростта като функция
от времето

е равна на 3t^2 – 12t + 9.

Да направим графика
на тази функция на скоростта,

за да я осмислим.

Кога скоростта е положителна
и кога е отрицателна?

Какво е ускорението в
тези интервали?

За да го начертая, можем
да кажем, че пресича оста v,

или пресечната точка с
вертикалата е когато v(0)

е равно на 9.

Това ще ни помогне
да я начертаем.

Това е точката на пресичане
с вертикалната ос.

Но също ще начертая...
да определим къде

пресича и оста t.

Нека това да е равно на 0.

3t^2 – 12t + 9 = 0.

Да видим.

За да опростим, мога
да разделя двете страни на 3.

Получавам t^2 –4t + 3 = 0.

Това може лесно
да се разложи.

Това е t. Да видим.

Трябват ми две числа, такива,
че произведението им да е 3,

а сборът им да е –4.

Това ще стане (t – 3)(t – 1) = 0.

Кога този израз е равен на 0?

Ако някое от тези е равно на 0,
ако или (t – 3) е нула,

или (t – 1) е нула,
тогава цялото е нула.

Значи t може да е равно на 3
или на 1.

Ако t е равно на 3 или на 1, тогава
някое от тези е равно на нула,

или целият този израз
е равен на 0.

И понеже коефициентът на
t^2 е положителен,

знаем, че това ще бъде
една отворена нагоре парабола.

Да видим как можем да начертаем
скоростта като функция от времето.

Това е оста на скоростта.

Това е оста на времето.

Нека това е момент t = 1 секунда,

приемам, че това са секунди,
2, 3, 4.

Всъщност малко ще ги раздалеча,

защото 1 и 3 са важните тук...
1, 2, 3.

И те няма да бъдат...

Малко ще свия вертикалните
деления.

Нека това тук да е
скорост 9.

Когато t = 0, скоростта
е равна на 9.

Когато t = 1,
скоростта е нула.

Получихме го ето тук.

3 – 12 + 9, това е нула.

Когато t = 3, скоростта
отново е нула.

Върхът ще бъде тук
между тези,

когато t = 2...
точно между тези две нули.

Можем да намерим тази
скорост, ако искаме.

Ще бъде 3 по 4 минус 12 по 2,
плюс 9.

Колко е това?

Това е 12 – 24 + 9.

Става –12 + 9.

Значи е равно на –3.

Дали е вярно...
12, да, минус 3.

Значи това е –3...
това е 9,

това е положително.

Ще изглежда горе-долу така.

Графиката на скоростта като
функция от времето

ще изглежда горе-долу така.

Като ни интересуват само
положителните стойности на времето.

Ще изглежда ето така.
Да помислим.

Спомни си, че това е скорост.

Това е скоростта като
функция от времето.

Да видим кога скоростта
ще е по-малка от 0

и ускорението ще е
по-малко от нула.

Да разгледаме този случай
ето тук.

Кога случаят е такъв?

И двете са по-малки от 0.

Скоростта е по-малка от 0

в този интервал, целият
интервал в цикламено.

Но ускорението не е
по-малко от 0 през цялото време.

Спомни си, ускорението е темпът
на изменение на скоростта.

Можем да запишем, че
ускорението

като функция от времето е
равно на темпът, с който

скоростта се променя
спрямо времето.

Можем да запишем, че
ускорението е

равно на v'(t), което е същото като

втората производна на позицията
спрямо времето.

И така, ускорението, можем
наистина да го разглеждаме

като наклона на допирателната
към графиката на функцията на скоростта.

Значи ето тук, мястото, където
този наклон е нодолу,

това има отрицателен наклон,

и самата крива е под
оста t,

това става само в
този интервал ето тук.

Между тази нула ето тук
и върха,

имаме ето тази точка тук.

И после наклонът
става плосък.

Значи този интервал ето тук

е когато t е по-голямо от 1

и е по-малко от 2.

Тогава отговаря на
нашите условия.

Сега да видим кога скоростта
е по-голяма от 0

и ускорението е по-голямо от 0.

Скоростта е по-голяма
от 0 ето тук.

Но забележи, ускорението,
наклонът е отрицателен.

Имаме наклон надолу,
така че това не съответства.

Тук скоростта е по-голяма от 0,

и наклонът на скоростта,
темпото на промяна на скоростта,

ускорението също
е по-голямо от 0.

Това е този интервал ето тук,

където ускоряваме в
посока надясно.

Това е интервалът за
t по-голямо от 3.

Кога се ускоряваме?

Ускоряваме между първата
и втората секунда

и после след третата секунда.