Introduction to the Null Space of a Matrix
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0:01 - 0:04我們再來複習一下次空間
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0:04 - 0:06然後來看看是不是我們可以定義一些有趣的
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0:06 - 0:08處理矩陣和向量的次空間
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0:08 - 0:15所以一個次空間――比如我有某個次空間
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0:15 - 0:18哦 就稱它爲次空間S吧
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0:18 - 0:21如果下述條件成立它就是次空間――
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0:21 - 0:24這都是複習――0向量――
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0:24 - 0:26我這樣來講――
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0:26 - 0:280向量 是屬於S的
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0:28 - 0:30所以它包含0向量
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0:30 - 0:36然後如果v1和v2都在次空間內
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0:36 - 0:43則v1加上v2也在次空間內
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0:43 - 0:44這就是說
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0:44 - 0:46次空間在加法下是封閉的
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0:47 - 0:48你可以相加任何兩個向量
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0:48 - 0:50你就會得到次空間內的另一個向量
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0:50 - 0:52然後最後一點 如果你還記得
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0:52 - 0:54就是次空間在乘法下封閉
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0:54 - 1:00使得如果c是實數 它是一個純量
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1:00 - 1:01如果我乘以
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1:01 - 1:05v1是次空間內的向量
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1:05 - 1:08則如果我將任意的實數
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1:08 - 1:11與這個次空間內的向量相乘
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1:11 - 1:14就是v1我就得到次空間內的另一個向量
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1:14 - 1:16所以它在乘法下封閉
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1:16 - 1:18這些都是次空間的性質
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1:18 - 1:20這就是次空間的定義
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1:20 - 1:21如果你稱某個東西是次空間
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1:21 - 1:23這些條件必須都滿足
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1:23 - 1:25現在我們來看看是否能做一些有趣的
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1:25 - 1:29關於矩陣向量乘法的理解的東西
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1:29 - 1:32比如我有矩陣A――
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1:32 - 1:35我寫成漂亮的黑體
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1:35 - 1:38它是一個m×n的矩陣
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1:38 - 1:40我對於下述東西很感興趣
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1:40 - 1:44我要建立齊次方程
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1:44 - 1:46我們要來講一講它爲什麽是齊次的
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1:46 - 1:48好 我等一會兒再說
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1:48 - 1:50我們先來建立這個方程
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1:50 - 1:59矩陣A乘以向量x等於0向量
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1:59 - 2:02這是齊次方程
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2:02 - 2:04因爲這裡有一個0
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2:08 - 2:09我要問――
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2:09 - 2:10我在講次空間
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2:10 - 2:13如果我取所有的x――
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2:13 - 2:17如果我取全體所有的
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2:17 - 2:21所有滿足這個方程的x的集合
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2:21 - 2:23這是一個次空間嗎？
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2:23 - 2:26我們來考慮一下
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2:26 - 2:31我要取所有的Rn中的x
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2:31 - 2:35記住 如果矩陣A有n列
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2:35 - 2:36則我定義了
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2:36 - 2:38矩陣乘法
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2:38 - 2:41如果x有r個分量
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2:41 - 2:43如果x有n個分量
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2:43 - 2:45那才是有定義的
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2:45 - 2:46我來定義一個集合
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2:46 - 2:48包含所有Rn中的向量
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2:48 - 2:51它們滿足
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2:51 - 2:54方程A乘以x
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2:54 - 2:57等於0
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2:57 - 3:00我的問題是 這是一個次空間嗎？
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3:00 - 3:04這是一個成立的次空間嗎？
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3:04 - 3:07第一個問題是 它包含0向量嗎？
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3:08 - 3:10要是它包含0向量
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3:10 - 3:13那麽0向量必須滿足這個方程
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3:13 - 3:20任何一個m×n的矩陣A乘以0向量是多少？
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3:20 - 3:24我們來寫出矩陣A
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3:24 - 3:29矩陣A a11 a12
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3:29 - 3:31直到a1n
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3:31 - 3:34然後這個 向下的列
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3:34 - 3:36我們向下直到am1
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3:36 - 3:38然後向下直到
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3:38 - 3:39這裡 到amn
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3:39 - 3:46我要將這個和0向量相乘
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3:46 - 3:47這個有n個分量
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3:47 - 3:51所以0向量的n個分量是0 0
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3:51 - 3:54有n個0
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3:54 - 3:56這裡的分量數必須
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3:56 - 3:58和列數是相同的
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3:58 - 4:01但是當你取積的時候
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4:01 - 4:03這個矩陣外積 得到的是什麽？
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4:03 - 4:06我們得到了什麽？
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4:06 - 4:10好 上面的第一項是a11乘以0
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4:10 - 4:14加上a12乘以0 加上這裡的每一項乘以0
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4:14 - 4:16你把它們都加起來 a11乘以0
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4:16 - 4:21加上a12乘以0 直到a1n乘以0
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4:21 - 4:22所以結果是0
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4:22 - 4:29現在這一項是a21<i>0 加上a22<i>0</i></i>
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4:29 - 4:32加上a23<i>0 直到a2n<i>0</i></i>
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4:33 - 4:34這個 明顯地 是0
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4:34 - 4:36繼續這樣做
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4:36 - 4:38因爲所有這些都是 實際上――
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4:38 - 4:40你可以把它看做是點積――
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4:40 - 4:44我沒有定義行向量
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4:44 - 4:48與行向量的點積 但我想你應該理解――
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4:48 - 4:50這些每個元素 乘以
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4:50 - 4:53這個向量對應的分量
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4:53 - 4:55當然啦 你總是以0相乘
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4:55 - 4:56然後相加
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4:56 - 4:58所以你什麽也沒得到 只是一串0
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4:58 - 5:01所以0向量滿足這個方程
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5:01 - 5:05即A乘以0向量等於0向量
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5:05 - 5:07這是非常不尋常的標志
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5:07 - 5:08我把它寫成這樣
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5:08 - 5:09因爲我不喜歡
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5:09 - 5:10總是把0寫成黑體
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5:11 - 5:12來使得你們認出它是一個向量
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5:12 - 5:14所以我們證明了第一點成立
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5:14 - 5:170向量是這個集合中的一個元素
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5:17 - 5:21我來定義我的集合
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5:21 - 5:23我定義它爲
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5:23 - 5:25我等一會兒再告訴你們爲什麽我稱它爲
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5:25 - 5:27那麽現在我們知道了0向量
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5:27 - 5:32是集合N中的一個元素
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5:32 - 5:35現在比如我有兩個向量
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5:35 - 5:38即v1和v2它們是――
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5:38 - 5:39我寫下來
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5:39 - 5:43比如說我有兩個向量 v1和v2
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5:43 - 5:49它們都是這個集合中的元素
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5:49 - 5:50這意味著什麽？
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5:50 - 5:52這意味著它們都滿足這個方程
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5:52 - 5:56這就意味著A――矩陣A――
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5:56 - 5:58乘以向量v1是0
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5:58 - 6:00這是由定義得到的
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6:00 - 6:02它們是這個集合中的元素
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6:02 - 6:03這就意味著它們必須滿足這個
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6:03 - 6:07字這也就意味著A乘以向量v2
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6:07 - 6:10是0向量
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6:10 - 6:13要使這個在加法下封閉
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6:13 - 6:21A乘以向量v1加上向量v2
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6:21 - 6:23這兩個向量的和
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6:23 - 6:24應該是N中的一個元素
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6:24 - 6:26但我們來看看它是什麽
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6:26 - 6:28這兩個向量的和是這個向量
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6:28 - 6:29這個等於――
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6:29 - 6:30我還沒有證明這個
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6:30 - 6:32我沒有做證明這個的影片
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6:32 - 6:33但證明這個很簡單
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6:34 - 6:35僅由矩陣向量乘法的定義就可以
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6:35 - 6:37由矩陣向量乘法
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6:37 - 6:40可以發現分配律
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6:40 - 6:42或許我應該做一個關於這個的影片 但嚴格來說
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6:42 - 6:44你僅需要理解
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6:44 - 6:45每一項的結構
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6:45 - 6:50這個等於Av1加上Av2
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6:50 - 6:53我們知道這個等於0向量
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6:54 - 6:55而這個也等於0向量
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6:55 - 6:58如果你將0向量和它本身相加
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6:58 - 7:01這個全體還是0向量
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7:01 - 7:06所以如果v1是N中的元素 v2也是N中的元素
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7:06 - 7:08就是說它們都滿足這個方程
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7:08 - 7:11那麽v1加上v2也仍然是N中的元素
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7:11 - 7:13因爲當我將A與它相乘時
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7:13 - 7:14我又得到了0向量
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7:14 - 7:18我把這個結果也寫下來
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7:18 - 7:31我們現在知道哦v1+v2也是N中的元素
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7:31 - 7:33而我們要說明的最後一點
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7:33 - 7:35就是它在乘法下封閉
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7:35 - 7:41比如說v1是我們定義的空間中的元素
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7:41 - 7:44它滿足這個方程
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7:44 - 7:49那麽c<i>v1呢？</i>
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7:49 - 7:53它是N中的元素嗎？
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7:53 - 7:55好 我們來看看
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7:55 - 8:00矩陣A乘以這個向量是什麽 好
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8:00 - 8:01我要將這個和這個純量相乘
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8:01 - 8:02我要算得另一個向量
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8:02 - 8:05我不想寫大寫的V
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8:05 - 8:06小寫的v 它是一個向量
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8:06 - 8:08這個等於什麽？
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8:08 - 8:11好 再一次地 我沒有證明
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8:11 - 8:12但它是一個非常直接的結論
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8:12 - 8:16說明了當你處理純量時
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8:16 - 8:18如果你有一個純量
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8:18 - 8:20你是在與矩陣相乘之前將這個純量
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8:20 - 8:24與向量相乘
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8:24 - 8:26或是將這個矩陣先乘以向量
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8:26 - 8:27然後再算純量都沒有關係
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8:27 - 8:30所以要證明
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8:30 - 8:34這個等於c乘以矩陣A是很顯然的――
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8:34 - 8:37我把它寫成漂亮的黑體 乘以向量v
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8:37 - 8:40這兩個是相等的
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8:40 - 8:43或許我應該在影片裏講一講這一點
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8:43 - 8:44但還是留給你們做吧
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8:44 - 8:46你 按部就班地 理解
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8:46 - 8:48分量與分量的機理
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8:48 - 8:49然後就會明白了
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8:49 - 8:53但很顯然地 如果這是真的 我們已經知道v1
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8:55 - 8:58是這個集合中的元素
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8:58 - 9:01這就意味著A乘以v1是0向量
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9:01 - 9:04所以這個就意味著
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9:04 - 9:07這個就化簡成c0
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9:07 - 9:08仍然是0
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9:08 - 9:14所以cv1是N中的元素
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9:14 - 9:15所以它在乘法下是封閉的
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9:15 - 9:18我先假定這個是成立的
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9:18 - 9:20但或許我要在另一個影片裏證明這個
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9:20 - 9:21但我要做這些來說明
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9:21 - 9:25這個集合N是一個次空間
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9:25 - 9:27這是一個次空間
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9:27 - 9:28它包含0向量
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9:28 - 9:31它在加法下封閉
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9:31 - 9:32它在乘法下封閉
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9:32 - 9:34事實上我們用一個特殊的名字來稱呼它
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9:34 - 9:38我們稱之爲 我們稱
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9:38 - 9:46爲A的零核空間
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9:46 - 9:49或許我們可以把A寫成――
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9:49 - 9:51或許我不應該寫成
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9:51 - 9:52我們來用橙色吧
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9:52 - 9:56橙色的N等於――
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9:56 - 9:59這個的含義就是A的零核空間
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9:59 - 10:01或許我們可以講零核空間寫成是
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10:01 - 10:03橙色的N 而按照字面含義
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10:03 - 10:05如果我給出任意矩陣A
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10:05 - 10:10我說 嘿 給我找到A的N 那是什麽？
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10:10 - 10:14照字面意義 你的目標是要找到所有
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10:14 - 10:19滿足方程Ax=0的x構成的集合
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10:19 - 10:22我要在下一個影片中來講解
- Title:
- Introduction to the Null Space of a Matrix
- Description:
-
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- Video Language:
- English
- Team:
Khan Academy
- Duration:
- 10:23
|
Fran Ontanaya edited Chinese (Traditional, Taiwan) subtitles for Introduction to the Null Space of a Matrix |