< Return to Video

Giới thiệu về không gian hạch của ma trận | Vectơ và Không gian | Đại số tuyến tính | Khan Academy

  • 0:01 - 0:04
    Hãy ôn lại các khái niệm về không gian con một lần nữa.
  • 0:04 - 0:06
    Hãy xem mình có thể xác đinh một vài
  • 0:06 - 0:09
    không gian con giải quyết các ma trận và vectơ hay không.
  • 0:09 - 0:16
    Vậy nên một không gian con -- hay một vài
  • 0:16 - 0:18
    một vài không gian con s.
  • 0:18 - 0:21
    Nó sẽ là một không gian con nếu thỏa mãn các điều kiện sau
  • 0:21 - 0:26
    khi vectơ 0 thuộc s
  • 0:26 - 0:28
  • 0:28 - 0:30
    Vậy nó bao gồm vectơ 0.
  • 0:30 - 0:37
    Vậy nếu ta có v1 và v2 đều là thành phần của không gian con, thì
  • 0:37 - 0:43
    v1 cộng v2 cũng là thành phần của không gian con.
  • 0:43 - 0:46
    Vì vậy không gian con đóng
  • 0:46 - 0:47
    với phép cộng.
  • 0:47 - 0:49
    Bạn có thể cộng hai thành phần bất kỳ và được một thành phần thứ 3
  • 0:49 - 0:50
    cũng thuộc không gian con này.
  • 0:50 - 0:53
    Và yêu cầu cuối cùng, nếu bạn còn nhớ, là
  • 0:53 - 0:55
    không gian con đóng với phép nhân.
  • 0:55 - 1:00
    Vậy nên nếu c là một số thực, và nếu nó chỉ là một hệ số.
  • 1:00 - 1:05
    Và nếu mình nhân, v1 là một phần cuae không gian con này,
  • 1:05 - 1:10
    nếu mình nhân số thực tùy ý này với thành phần của
  • 1:10 - 1:13
    không gian con, v1, mình sẽ được
  • 1:13 - 1:14
    một thành phần khác của không gian con.
  • 1:14 - 1:16
    Vậy ta có không gian con đóng với phép nhân luôn.
  • 1:16 - 1:18
    Đây là tất cả điều ta cần biết về không gian con.
  • 1:18 - 1:20
    Định nghĩa của không gian con.
  • 1:20 - 1:21
  • 1:21 - 1:23
  • 1:23 - 1:25
    Vậy để xem mình có thể làm gì thú vị với
  • 1:25 - 1:29
    điều mình đã biết về tích vectơ ma trận không.
  • 1:29 - 1:34
    Giả sử mình có một ma trận
  • 1:34 - 1:38
    m nhân n.
  • 1:38 - 1:41
    Vậy nếu mình hứng thứ với tình huống dưới đây,
  • 1:41 - 1:44
    mình muốn thành lập một phương trình tuyến tính thuần nhất.
  • 1:44 - 1:47
    Và mình sẽ bàn về lý do vì sao nó thuần nhất.
  • 1:47 - 1:48
  • 1:48 - 1:50
    Mình sẽ chuẩn bị lập nên phương trình ở đây.
  • 1:50 - 2:00
    Ma trận a nhân vectơ x bằng vectơ 0.
  • 2:00 - 2:02
    Đây là một phương trình thuần nhất,
  • 2:02 - 2:04
    vì ta có 0 ở đây.
  • 2:07 - 2:09
    Và mình muốn hỏi là --
  • 2:09 - 2:11
    mình nói về không gian con.
  • 2:11 - 2:16
    nếu mình lấy tất cả giá trị x thỏa mãn
  • 2:16 - 2:20
    phương trình này, mình sẽ có một không gian
  • 2:20 - 2:24
    hợp lệ hay không?
  • 2:24 - 2:25
    Hãy nghĩ về nó một chút.
  • 2:25 - 2:31
    Mình muốn lấy tát cả các x thuộc Rn.
  • 2:31 - 2:35
    Hãy nhớ, nếu ma trận có n cột, thì mình mới chỉ
  • 2:35 - 2:39
    xác đinh tích của vectơ ma trận.
  • 2:39 - 2:43
    Nếu x thuộc r, và nếu x cần chính xác n thành phần
  • 2:43 - 2:45
    thì lúc đó nó sẽ xác định.
  • 2:45 - 2:48
    Vậy để mình xác định tập hợp của các vectơ thuộc
  • 2:48 - 2:54
    Rn nơi chúng thỏa mãn phương trình a nhân vectơ x
  • 2:54 - 2:58
    sẽ bằng vectơ 0.
  • 2:58 - 3:01
    Vậy đây có phải không gian con a không?
  • 3:01 - 3:05
    Đây có phải là một không gian con không?
  • 3:05 - 3:08
    Vậy câu hỏi đầu tiên chính là, nó có chứa vectơ 0 ở đây không?
  • 3:08 - 3:10
    Để nó chứa vectơ 0, vectơ 0 phải thỏa mãn phương trình này.
  • 3:10 - 3:13
  • 3:13 - 3:20
    Vậy a của ma trận m nhân n nhân vectơ 0 bằng?
  • 3:23 - 3:28
    Để mình viết ma trận a ra-- ma trận a, a[1. 1]
  • 3:28 - 3:29
    a[1, 2]
  • 3:29 - 3:32
    cho đến tận a[1.n]
  • 3:32 - 3:34
    Và khi ta đi dọc xuống dưới
  • 3:34 - 3:35
    ta sẽ dến a[m, 1]
  • 3:35 - 3:37
    và đi về phía dưới bên phải
  • 3:37 - 3:39
    ta có a[m, n]
  • 3:39 - 3:46
    và mình sẽ nhân nó cho vectơ 0 có n thành phần.
  • 3:46 - 3:49
  • 3:49 - 3:53
    Vậy vectơ 0 nhân n thành phần lận lượt sẽ được 0, 0,
  • 3:53 - 3:54
    và n số 0.
  • 3:54 - 3:56
    Số thành phần ở đây phải luôn bằng
  • 3:56 - 3:59
    số của cột. Nhưng khi bạn
  • 3:59 - 4:02
    lấy tích này, tích vectơ ma trận này,
  • 4:02 - 4:04
    bạn sẽ có gì?
  • 4:04 - 4:07
    Mình sẽ có gì?
  • 4:07 - 4:10
    Số hạng đầu tiên là a[1,1]
  • 4:10 - 4:11
    nhân 0, cộng a[1,2]
  • 4:11 - 4:14
    nhân 0, công từng số hang nhân 0.
  • 4:14 - 4:16
    Và mình cộng tất cả lại với nhau, a[1,1]
  • 4:16 - 4:16
    nhân 0, cộng a[1, 2]
  • 4:16 - 4:17
    cộng a[1,2]
  • 4:17 - 4:19
    nhân 0, cho đến a[1, n]
  • 4:19 - 4:20
    và nhân 0.
  • 4:20 - 4:22
    Vậy mình được 0.
  • 4:22 - 4:26
    Số hạng này là a[2,1]
  • 4:26 - 4:28
    nhân 0, cộng a[2,2]
  • 4:28 - 4:30
    nhân 0, cộng a[2,3]
  • 4:30 - 4:32
    nhân 0, cho tới a[2, n]
  • 4:32 - 4:33
    nhân 0.
  • 4:33 - 4:34
    Sẽ bằng 0.
  • 4:34 - 4:37
    Và bạn cứ tiếp tục làm thế
  • 4:37 - 4:40
    đây chính là tích vô hướng của
  • 4:40 - 4:44
  • 4:44 - 4:48
    tổng của
  • 4:48 - 4:50
    mỗi một thành phần, nhân với
  • 4:50 - 4:53
    thành phần tương ứng của vectơ này.
  • 4:53 - 4:55
    Và tất nhiên, ta luôn nhân cho 0 và
  • 4:55 - 4:55
    cộng chúng lại với nhau.
  • 4:55 - 4:58
    Vậy mình sẽ có một loạt 0.
  • 4:58 - 5:01
    Vậy vectơ 0 thỏa mãn phương trình này.
  • 5:01 - 5:05
    A nhân vectơ 0 bằng vectơ 0.
  • 5:05 - 5:07
    Và đây là một trong những ký hiệu khá lạ lẫm đó.
  • 5:07 - 5:08
    Mình sẽ không tô đậm 0
  • 5:08 - 5:11
    mọi lúc để bạn nghĩ
  • 5:11 - 5:12
    nó là một vectơ đâu.
  • 5:12 - 5:15
    Vì vậy mình đã hoàn thành xong yêu cầu đầu tiên.
  • 5:15 - 5:17
    Vectơ 0 là thuộc tập hợp này.
  • 5:17 - 5:22
    Mình sẽ xác định tập hợp nha.
  • 5:22 - 5:22
    Để mình xác định nó.
  • 5:22 - 5:25
    Và mình sẽ giải thích vì sao nó lại có tên là n luôn.
  • 5:25 - 5:30
    Mình biết vectơ 0 là
  • 5:30 - 5:32
    một thành phần của tập hợp n.
  • 5:32 - 5:37
    Giả sử mình có hai vectơ, v1 và v2 thuộc
  • 5:37 - 5:39
  • 5:39 - 5:46
  • 5:46 - 5:49
    đều thuộc tập hợp của mình.
  • 5:49 - 5:50
    Điều này có nghĩa là gì?
  • 5:50 - 5:52
    Nghĩa là chúng đều thỏa mãn phương trình này.
  • 5:52 - 5:57
    Điều này có nghĩa m trận a nhân vectơ 1
  • 5:57 - 5:58
    bằng 0.
  • 5:58 - 6:00
    Theo định nghĩa nha.
  • 6:00 - 6:01
    Khi mình nói chúng thuộc một tập hợp
  • 6:01 - 6:03
    chúng sẽ thỏa mãn điều này.
  • 6:03 - 6:07
    Và điều đó có nghĩa là a nhân vectơ 2 là
  • 6:07 - 6:10
    bằng vectơ 0.
  • 6:10 - 6:18
    Vậy để cái này đóng với phép cộng,
  • 6:18 - 6:22
    a nhân vectơ 1 cộng vectơ 2, tổng hai vectơ này
  • 6:22 - 6:24
    cũng phải thuộc n.
  • 6:24 - 6:25
    Nhưng để mình tìm tổng trước đã.
  • 6:25 - 6:28
    Nó sẽ là vectơ ở ngay đây.
  • 6:28 - 6:29
    Mình chưa chứng minh cho bạn nữa.
  • 6:29 - 6:30
  • 6:30 - 6:32
    Mình chưa làm video chứng minh điều này cho bạn.
  • 6:32 - 6:34
    Nhưng nó rất dễ để chứng minh
  • 6:34 - 6:37
    sử dụng định nghĩa tích ma trận vectơ
  • 6:37 - 6:40
  • 6:40 - 6:43
    Mình sẽ làm một video về cái đấy nhưng thật sự bạn chỉ cần
  • 6:43 - 6:44
    hiểu về cốt lõi của từng số hạng mà thôi.
  • 6:44 - 6:45
  • 6:45 - 6:49
    Đây sẽ bằng a[v, 1]
  • 6:49 - 6:51
    cộng a[v, 2]
  • 6:51 - 6:53
    Và ta biết cái này bằng 0.
  • 6:53 - 6:55
    Và nếu bạn cộng cho vectơ 0,
  • 6:55 - 6:59
    tất cả cũng sẽ bằng 0 thôi.
  • 6:59 - 7:02
  • 7:02 - 7:06
    Vậy nếu v1 thuộc n, v2 cũng thuộc n,
  • 7:06 - 7:10
    nghĩa là cả hai đều thỏa mãn phương trình này, thì v1 cộng v2
  • 7:10 - 7:11
    cũng sẽ thuộc n.
  • 7:11 - 7:13
    Vì khi mình nhân cho a, mình luôn có vectơ 0 lần nữa.
  • 7:13 - 7:15
  • 7:15 - 7:18
    Mình ghi lại kết quả nha.
  • 7:25 - 7:31
    Vì ta viết được v1 và v2 cũng thuộc n
  • 7:31 - 7:34
    và nó đóng với tích.
  • 7:34 - 7:35
  • 7:35 - 7:42
    v1 thuộc không gian mình xác định ở đây,
  • 7:42 - 7:44
    nơi ta thỏa mãn phương trình
  • 7:44 - 7:51
    Vậy c nhân v1 thì sao?
  • 7:51 - 7:53
    c nhân n1 có thuộc n không?
  • 7:53 - 7:54
    Hãy nghĩ về nó một chút.
  • 7:54 - 7:59
    Matrix a nhân vectơ là gì?
  • 7:59 - 8:01
  • 8:01 - 8:03
    Mình sẽ lấy một vectơ khác.
  • 8:03 - 8:05
    Mình không muốn v hoa ở đây.
  • 8:05 - 8:07
    v thường là một vectơ.
  • 8:07 - 8:08
    Cái này bằng gì nhỉ?
  • 8:08 - 8:11
    Mình chưa chứng minh,
  • 8:11 - 8:13
    nhưng nó khã rõ ràng rồi nhỉ
  • 8:13 - 8:17
    để bạn hiểu nếu
  • 8:17 - 8:19
    ta có hệ số ở đây, không quạn trọng ta nhân hệ số với vectơ
  • 8:19 - 8:24
    trươc khi nhân hệ số với
  • 8:24 - 8:26
    ma trận hay nhân ma trận với vectơ, và
  • 8:26 - 8:27
    rồi mới tới hệ số.
  • 8:27 - 8:31
    Vậy khá rõ ràng là cái này bằng
  • 8:31 - 8:36
    c nhân ma trận a -- nhân
  • 8:36 - 8:38
    vectơ v.
  • 8:38 - 8:40
  • 8:40 - 8:43
    Mình có thể quay lại video mình đã làm điều này
  • 8:43 - 8:44
    nhưng bạn hãy thử làm điều đó nha.
  • 8:44 - 8:46
  • 8:46 - 8:47
  • 8:47 - 8:49
  • 8:49 - 8:56
    Vì v1 thuộc tập hợp của mình, nên a nhân v1
  • 8:56 - 9:00
    sẽ bằng
  • 9:00 - 9:02
    vectơ 0.
  • 9:02 - 9:06
    Nghĩa là ta còn c nhân vectơ 0,
  • 9:06 - 9:09
    thì vẫn là vectơ 0.
  • 9:09 - 9:11
    Vậy c[v, 1]
  • 9:11 - 9:13
    thuộc n.
  • 9:13 - 9:15
    Vậy nên nó đóng với phép nhân.
  • 9:15 - 9:18
  • 9:18 - 9:20
    Nhưng mình sẽ nói về nó trong một video khác
  • 9:20 - 9:23
    Nhưng mình chỉ muốn nói tập hợp n là
  • 9:23 - 9:25
    một không gian hợp lệ.
  • 9:25 - 9:27
  • 9:27 - 9:28
    Nó có một vectơ 0.
  • 9:28 - 9:30
    Và nó đóng với phép cộng
  • 9:30 - 9:31
    Đóng với phép nhân luôn.
  • 9:31 - 9:33
    Và mình có một tên đặc biệt dành cho nó.
  • 9:33 - 9:46
    Mình gọi n là hạt nhân của a.
  • 9:46 - 9:50
    n sẽ bằng
  • 9:50 - 9:50
  • 9:50 - 9:53
  • 9:53 - 9:58
    n màu cam sẽ bằng -- ký hiệu này chỉ là hạt nhân của a.
  • 9:58 - 9:59
  • 9:59 - 10:01
    Mình có thể viết hạt nhan bằng
  • 10:01 - 10:04
    ký hiệu màu cam của n, và hiển nhên,
  • 10:04 - 10:08
    nếu ta có một ma trận a tùy ý, và ta cần tìm n
  • 10:08 - 10:10
    của a, ta sẽ có gì?
  • 10:10 - 10:16
    Mình cần tìm tập hợp các x thỏa mãn rằng a nhân x bằng 0.
  • 10:16 - 10:20
  • 10:20 - 10:23
    Mình sẽ làm điều đó trong video sau nha!
Title:
Giới thiệu về không gian hạch của ma trận | Vectơ và Không gian | Đại số tuyến tính | Khan Academy
Description:

Ánh xạ tuyến tính của một ma trận là một không gian con.

Xem bài học tiếp theo tại: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/null_column_space/v/null-space-2-calculating-the-null-space-of-a-matrix?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước?
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/null_column_space/v/matrix-vector-products?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra
Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy cung cấp những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập theo từng cá nhân nhằm cho phép người dùng độc lập về thời gian và không gian trong quá trình học tập bên ngoài lớp học. Chúng tôi tự hào mang đến các chương trình dạy về Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Các nhiệm vụ trong phần Toán học hướng dẫn học sinh trình độ Mẫu giáo sử dụng và làm quen với phép toán bằng những công nghệ tiên tiến để tìm ra được những điểm mạnh, và bù vào lỗ hổng kiến thức của các em nhỏ. Chúng tôi cũng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và học viện MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Đại số tuyến tính của Khan Academy: https://www.youtube.com/channel/UCGYSKl6e3HM0PP7QR35Crug?sub_confirmation=1

Theo dõi kênh Khan Academy:
https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:23

Vietnamese subtitles

Incomplete

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.