< Return to Video

Giới thiệu về không gian hạch của ma trận | Vectơ và Không gian | Đại số tuyến tính | Khan Academy

  • 0:01 - 0:04
    Hãy ôn lại các khái niệm về không gian con,
  • 0:04 - 0:06
    và xem liệu ta có thể xác định 1 vài
  • 0:06 - 0:09
    không gian thú vị liên quan đến ma trận và vectơ không.
  • 0:09 - 0:16
    1 không gian con -- hay mình sẽ đặt tên là
  • 0:16 - 0:18
    1 không gian con s nào đó.
  • 0:18 - 0:21
    Nó sẽ là 1 không gian con nếu thỏa các điều kiện sau:
  • 0:21 - 0:26
    khi vectơ 0...
  • 0:26 - 0:28
    mình sẽ viết như thế này... thuộc s.
  • 0:28 - 0:30
    Vậy nó chứa vectơ 0.
  • 0:30 - 0:37
    Nếu ta có v1 và v2 đều thuộc không gian con s, thì
  • 0:37 - 0:43
    v1 cộng v2 cũng thuộc không gian con này.
  • 0:43 - 0:46
    Vậy có thể nói không gian con đóng
  • 0:46 - 0:47
    với phép cộng.
  • 0:47 - 0:49
    Bạn có thể cộng 2 phần tử bất kỳ và được thêm 1 phần tử
  • 0:49 - 0:50
    cũng thuộc không gian con này.
  • 0:50 - 0:53
    Và yêu cầu cuối cùng, nếu bạn còn nhớ, là
  • 0:53 - 0:55
    không gian con đóng với phép nhân.
  • 0:55 - 1:00
    Nếu c là 1 số thực, và nó là 1 đại lượng vô hướng.
  • 1:00 - 1:05
    Mình có v1 thuộc không gian con này.
  • 1:05 - 1:10
    Nếu mình nhân 1 số thực tùy ý với phần tử của
  • 1:10 - 1:13
    không gian con, là v1, mình sẽ được thêm
  • 1:13 - 1:14
    1 phần tử.
  • 1:14 - 1:16
    Vậy ta có không gian con đóng với phép nhân.
  • 1:16 - 1:18
    Đây là tất cả những gì cần biết về không gian con,
  • 1:18 - 1:20
    cũng là định nghĩa của không gian con.
  • 1:20 - 1:21
    Nếu bạn muốn xác định không gian con,
  • 1:21 - 1:23
    nó cần thỏa những điều này.
  • 1:23 - 1:25
    Vậy để xem mình có thể làm gì thú vị với
  • 1:25 - 1:29
    những hiểu biết của ta về tích vectơ-ma trận không.
  • 1:29 - 1:34
    Giả sử mình có 1 ma trận... mình sẽ ghi đậm...
  • 1:34 - 1:38
    ma trận dạng m nhân n.
  • 1:38 - 1:41
    Mình thấy tình huống dưới đây là thú vị:
  • 1:41 - 1:44
    mình sẽ lập 1 phương trình thuần nhất.
  • 1:44 - 1:47
    Và ta sẽ bàn về lý do vì sao nó thuần nhất.
  • 1:47 - 1:48
    Mình sẽ cho bạn biết sau nhé.
  • 1:48 - 1:50
    Mình sẽ lập phương trình đó ở đây.
  • 1:50 - 2:00
    Ma trận A nhân vectơ x bằng vectơ 0.
  • 2:00 - 2:02
    Đây là 1 phương trình thuần nhất,
  • 2:02 - 2:04
    vì ta có 0 ở đây.
  • 2:07 - 2:09
    Và mình muốn hỏi--
  • 2:09 - 2:11
    và mình cũng đã nói về không gian con.
  • 2:11 - 2:16
    Nếu mình lấy tất cả các giá trị x,
  • 2:16 - 2:20
    hay tập hợp tất cả các x thỏa phương trình này,
  • 2:20 - 2:24
    thì mình sẽ có được 1 không gian con hợp lệ hay không?
  • 2:24 - 2:25
    Hãy nghĩ về điều này nhé.
  • 2:25 - 2:31
    Mình muốn lấy tất cả các x thuộc Rn.
  • 2:31 - 2:35
    Nhớ rằng, nếu ma trận có n cột, thì mình mới chỉ
  • 2:35 - 2:39
    xác định tích của vectơ-ma trận thôi.
  • 2:39 - 2:43
    x thuộc R và cần chính xác n phần tử
  • 2:43 - 2:45
    để nó xác định.
  • 2:45 - 2:48
    Vậy để mình xác định tập hợp của các vectơ
  • 2:48 - 2:54
    thuộc Rn, nơi chúng thỏa mãn phương trình A nhân vectơ x
  • 2:54 - 2:58
    sẽ bằng vectơ 0.
  • 2:58 - 3:01
    Vậy đây có phải là 1 không gian con không?
  • 3:01 - 3:05
    Và liệu nó có phải là 1 không gian con hợp lệ không?
  • 3:05 - 3:08
    Câu hỏi đầu tiên là, nó có chứa vectơ 0 ở đây không?
  • 3:08 - 3:10
    Để nó chứa vectơ 0,
  • 3:10 - 3:13
    vectơ 0 phải thỏa mãn phương trình này.
  • 3:13 - 3:20
    Vậy ma trận A dạng m nhân n nhân vectơ 0 bằng gì?
  • 3:23 - 3:28
    Để mình viết ma trận A ra-- ma trận A... a[1,1]
  • 3:28 - 3:29
    a[1, 2]
  • 3:29 - 3:32
    cho đến tận a[1,n]
  • 3:32 - 3:34
    Và ta đi xuống 1 cột,
  • 3:34 - 3:35
    ta sẽ đến a[m,1]
  • 3:35 - 3:37
    và đi về phía dưới bên phải,
  • 3:37 - 3:39
    ta có a[m,n].
  • 3:39 - 3:46
    và mình sẽ nhân nó cho vectơ 0
  • 3:46 - 3:49
    mà có chính xác n phần tử.
  • 3:49 - 3:53
    Vậy vectơ 0 nhân n phần tử lần lượt sẽ được 0, 0,
  • 3:53 - 3:54
    và n số 0.
  • 3:54 - 3:56
    Số phần tử ở đây phải luôn bằng
  • 3:56 - 3:59
    số cột ta sẽ có. Nhưng khi bạn
  • 3:59 - 4:02
    lấy tích này, tích vectơ-ma trận này,
  • 4:02 - 4:04
    bạn sẽ được gì?
  • 4:04 - 4:07
    Ta sẽ được gì nào?
  • 4:07 - 4:10
    Số hạng đầu tiên là a[1,1]
  • 4:10 - 4:11
    nhân 0, cộng a[1,2]
  • 4:11 - 4:14
    nhân 0, cộng từng số hạng nhân 0.
  • 4:14 - 4:16
    Khi ta cộng tất cả lại với nhau, a[1,1]
  • 4:16 - 4:16
    nhân 0,
  • 4:16 - 4:17
    cộng a[1,2]
  • 4:17 - 4:19
    nhân 0, cho đến a[1, n]
  • 4:19 - 4:20
    nhân 0.
  • 4:20 - 4:22
    Vậy bạn được 0.
  • 4:22 - 4:26
    Số hạng này là a[2,1]
  • 4:26 - 4:28
    nhân 0, cộng a[2,2]
  • 4:28 - 4:30
    nhân 0, cộng a[2,3]
  • 4:30 - 4:32
    nhân 0, cho đến a[2,n]
  • 4:32 - 4:33
    nhân 0.
  • 4:33 - 4:34
    Rõ ràng, nó sẽ bằng 0.
  • 4:34 - 4:37
    Và bạn có thể tiếp tục làm thế
  • 4:37 - 4:40
    (vì bạn có thể xem đây chính là tích vô hướng,
  • 4:40 - 4:44
    dù mình chưa xác định tích vô hướng của
  • 4:44 - 4:48
    vectơ hàng và cột, nhưng mình nghĩ bạn hiểu),
  • 4:48 - 4:50
    và ý tưởng là tổng mỗi phần tử, nhân với
  • 4:50 - 4:53
    phần tử tương ứng của vectơ này.
  • 4:53 - 4:55
    Và tất nhiên, ta sẽ luôn nhân cho 0 và
  • 4:55 - 4:55
    cộng chúng lại với nhau.
  • 4:55 - 4:58
    Vậy mình sẽ có 1 loạt số 0.
  • 4:58 - 5:01
    Vậy vectơ 0 sẽ thỏa mãn phương trình này.
  • 5:01 - 5:05
    A nhân vectơ 0 bằng vectơ 0.
  • 5:05 - 5:07
    Đây là 1 trong những ký hiệu khá lạ lẫm đó.
  • 5:07 - 5:08
    Mình sẽ không tô đậm 0 mọi lúc
  • 5:08 - 5:11
    để bạn nghĩ
  • 5:11 - 5:12
    nó là 1 vectơ đâu.
  • 5:12 - 5:15
    Vì vậy mình đã hoàn thành yêu cầu đầu tiên.
  • 5:15 - 5:17
    Vectơ 0 sẽ thuộc tập hợp này.
  • 5:17 - 5:22
    Mình sẽ xác định tập hợp nhé.
  • 5:22 - 5:22
    Để mình xác định nó là N.
  • 5:22 - 5:25
    Và mình sẽ giải thích sau vì sao nó lại có tên là N.
  • 5:25 - 5:30
    Ta biết vectơ 0 là
  • 5:30 - 5:32
    1 phần tử của tập hợp N.
  • 5:32 - 5:37
    Giả sử mình có 2 vectơ, v1 và v2
  • 5:37 - 5:39
    thuộc... để mình viết thế này.
  • 5:39 - 5:46
    Mình có 2 nhân tử, v1 và v2,
  • 5:46 - 5:49
    đều thuộc tập hợp của mình.
  • 5:49 - 5:50
    Điều này nghĩa là gì?
  • 5:50 - 5:52
    Nghĩa là chúng đều thỏa mãn phương trình này,
  • 5:52 - 5:57
    cũng có nghĩa là ma trận A nhân vectơ 1
  • 5:57 - 5:58
    bằng 0.
  • 5:58 - 6:00
    Điều này rút ra từ định nghĩa.
  • 6:00 - 6:01
    Khi mình nói chúng thuộc 1 tập hợp,
  • 6:01 - 6:03
    chúng phải thỏa điều này.
  • 6:03 - 6:07
    Và điều đó cũng nghĩa là A nhân vectơ 2 là
  • 6:07 - 6:10
    bằng vectơ 0.
  • 6:10 - 6:18
    Vậy để cái này đóng với phép cộng,
  • 6:18 - 6:22
    A nhân vectơ 1 cộng vectơ 2, tổng 2 vectơ này
  • 6:22 - 6:24
    cũng phải thuộc N.
  • 6:24 - 6:25
    Nhưng để mình tìm tổng này trước đã.
  • 6:25 - 6:28
    Nó sẽ là vectơ ở ngay đây.
  • 6:28 - 6:29
    Nó sẽ bằng...
  • 6:29 - 6:30
    mình chưa chứng minh cho bạn nữa :D
  • 6:30 - 6:32
    Mình chưa làm video chứng minh điều này cho bạn.
  • 6:32 - 6:34
    Nhưng nó rất dễ để chứng minh,
  • 6:34 - 6:37
    sử dụng định nghĩa về tích ma trận vectơ,
  • 6:37 - 6:40
    là tích ma trận vectơ sẽ có tính chất nhân phân phối.
  • 6:40 - 6:43
    Mình sẽ làm 1 video về điều này sau, nhưng thật sự bạn chỉ cần
  • 6:43 - 6:44
    hiểu về cốt lõi của từng số hạng
  • 6:44 - 6:45
    mà thôi.
  • 6:45 - 6:49
    Đây sẽ bằng A[v,1]
  • 6:49 - 6:51
    cộng A[v,2],
  • 6:51 - 6:53
    Và ta biết cái này bằng 0.
  • 6:53 - 6:55
    Nó sẽ bằng vectơ 0.
  • 6:55 - 6:59
    Và nếu bạn cộng vectơ 0 cho chính nó, thì
  • 6:59 - 7:02
    cả phần này cũng bằng vectơ 0 thôi.
  • 7:02 - 7:06
    Vậy nếu v1 thuộc N, v2 cũng thuộc N,
  • 7:06 - 7:10
    nghĩa là cả 2 đều thỏa phương trình này, thì v1 cộng v2
  • 7:10 - 7:11
    cũng sẽ thuộc N.
  • 7:11 - 7:13
    Vì khi mình nhân cho A,
  • 7:13 - 7:15
    mình luôn có được vectơ 0.
  • 7:15 - 7:18
    Mình ghi lại kết quả nhé.
  • 7:25 - 7:31
    Bây giờ ta đã biết được v1 và v2 cũng thuộc N.
  • 7:31 - 7:34
    Điều cuối cùng ta cần chứng minh
  • 7:34 - 7:35
    là nó đóng với phép nhân.
  • 7:35 - 7:42
    Cho v1 thuộc không gian mình xác định ở đây,
  • 7:42 - 7:44
    nơi ta thỏa mãn phương trình này.
  • 7:44 - 7:51
    Vậy c nhân v1 thì sao?
  • 7:51 - 7:53
    c nhân v1 có thuộc N không?
  • 7:53 - 7:54
    Hãy nghĩ về điều này nhé.
  • 7:54 - 7:59
    Ma trận A nhân vectơ...
  • 7:59 - 8:01
    là cái này nhân 1 đại lượng vô hướng c.
  • 8:01 - 8:03
    Mình sẽ lấy 1 vectơ khác.
  • 8:03 - 8:05
    Mình không muốn V in hoa ở đây.
  • 8:05 - 8:07
    v thường, để nó là 1 vectơ.
  • 8:07 - 8:08
    Cái này bằng gì nhỉ?
  • 8:08 - 8:11
    Mình chưa chứng minh,
  • 8:11 - 8:13
    nhưng nó khã rõ ràng rồi nhỉ
  • 8:13 - 8:17
    để bạn hiểu nếu
  • 8:17 - 8:19
    ta có đại lượng vô hướng ở đây,
  • 8:19 - 8:24
    và nhân nó với vectơ trước khi nhân nó với
  • 8:24 - 8:26
    ma trận, hay nhân ma trận với vectơ, và
  • 8:26 - 8:27
    rồi mới đến đại lượng vô hướng.
  • 8:27 - 8:31
    Vậy khá rõ ràng là cái này bằng
  • 8:31 - 8:36
    c nhân ma trận A... mình sẽ viết đậm...
  • 8:36 - 8:38
    nhân vectơ v.
  • 8:38 - 8:40
    Ở đây 2 cái này bằng nhau.
  • 8:40 - 8:43
    Mình nên làm 1 video mình để chứng minh điều này,
  • 8:43 - 8:44
    nhưng bạn hãy thử làm điều đó nhé.
  • 8:44 - 8:46
    Bạn chỉ cần đi qua các yếu tố cốt lõi,
  • 8:46 - 8:47
    là đi qua từng phần tử một.
  • 8:47 - 8:49
    Và sau đó chứng minh.
  • 8:49 - 8:56
    Nhưng rõ ràng là, nếu v1 thuộc tập hợp của mình,
  • 8:56 - 9:00
    thì A nhân v1 sẽ bằng
  • 9:00 - 9:02
    vectơ 0.
  • 9:02 - 9:06
    Nghĩa là ta còn c nhân vectơ 0,
  • 9:06 - 9:09
    thì vẫn là vectơ 0.
  • 9:09 - 9:11
    Vậy c[v,1]
  • 9:11 - 9:13
    thuộc N.
  • 9:13 - 9:15
    Vậy nên nó đóng với phép nhân.
  • 9:15 - 9:18
    Và mình vừa giả định nó.
  • 9:18 - 9:20
    Nhưng mình sẽ nói về nó trong 1 video khác.
  • 9:20 - 9:23
    Mình chỉ muốn chứng minh, tập hợp N là
  • 9:23 - 9:25
    1 không gian con hợp lệ.
  • 9:25 - 9:27
    Đây là 1 không gian con hợp lệ.
  • 9:27 - 9:28
    Nó chứa 1 vectơ 0.
  • 9:28 - 9:30
    Nó đóng với phép cộng,
  • 9:30 - 9:31
    và cũng đóng với phép nhân.
  • 9:31 - 9:33
    Và mình có 1 tên gọi đặc biệt dành cho nó.
  • 9:33 - 9:46
    Mình gọi N là không gian hạch của A.
  • 9:46 - 9:50
    À đáng lẽ mình không nên viết N
  • 9:50 - 9:50
    như thế.
  • 9:50 - 9:53
    Mình sẽ viết bằng màu cam ở đây.
  • 9:53 - 9:58
    n màu cam sẽ bằng -- ký hiệu này là để chỉ
  • 9:58 - 9:59
    "không gian hạch của A".
  • 9:59 - 10:01
    Mình có thể viết không gian hạch bằng
  • 10:01 - 10:04
    ký hiệu màu cam của N, và hiển nhên,
  • 10:04 - 10:08
    nếu ta có 1 ma trận A tùy ý, và ta cần tìm N
  • 10:08 - 10:10
    của A, nó sẽ là gì?
  • 10:10 - 10:16
    Mình cần tìm tập hợp các x
  • 10:16 - 10:20
    thỏa phương trình A nhân x bằng 0.
  • 10:20 - 10:23
    Và mình sẽ làm điều đó trong video sau nhé.
Title:
Giới thiệu về không gian hạch của ma trận | Vectơ và Không gian | Đại số tuyến tính | Khan Academy
Description:

Chứng minh Không gian hạch của 1 Ma trận là 1 Không gian con hợp lệ.

Xem bài học tiếp theo tại: https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/null_column_space/v/null-space-2-calculating-the-null-space-of-a-matrix?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Bỏ lỡ bài học trước?
https://www.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors_and_spaces/null_column_space/v/matrix-vector-products?utm_source=YT&utm_medium=Desc&utm_campaign=LinearAlgebra

Đại số tuyến tính trên Khan Academy: Bạn có bao giờ tự hỏi rằng điểm khác biệt giữa tốc độ và vận tốc là gì không? Hoặc bạn có bao giờ thử hình dung nó trong không gian bốn chiều, sáu chiều hay bảy chiều chưa? Đại số tuyến tính miêu tả sự vật trong các không gian hai chiều nhưng cũng có rất nhiều khái niệm được mở rộng trong không gian ba chiều, bốn chiều hoặc hơn thế nữa. Đại số tuyến tính bao hàm lý luận hai chiều nhưng các khái niệm được đề cập trong đó cũng cung cấp cơ sở cho những biểu diễn đa chiều của lý luận trong toán học. Ma trận, vector, không gian vector, những biến đổi tuyến tính và vector riêng đều giúp chúng ta hình dung và hiểu rõ những khái niệm đa chiều. Đây là một khóa học nâng cao thường xuất hiện trong các chuyên ngành về khoa học và kỹ sư sau khi đã được học giải tích ít nhất hai học kỳ (mặc dù giải tích không nhất thiết là điều kiện bắt buộc). Vì vậy, đừng nhầm lẫn đại số tuyến tính với đại số thông thường ở các các trường phổ thông.

Về Khan Academy: Khan Academy cung cấp những bài luyện tập, các video hướng dẫn, và một bảng quá trình học tập theo từng cá nhân nhằm cho phép người dùng độc lập về thời gian và không gian trong quá trình học tập bên ngoài lớp học. Chúng tôi tự hào mang đến các chương trình dạy về Toán học, Khoa học, Lập trình máy tính, Lịch sử, Lịch sử nghệ thuật, Kinh tế và hơn thế nữa. Các nhiệm vụ trong phần Toán học hướng dẫn học sinh trình độ Mẫu giáo sử dụng và làm quen với phép toán bằng những công nghệ tiên tiến để tìm ra được những điểm mạnh, và bù vào lỗ hổng kiến thức của các em nhỏ. Chúng tôi cũng đồng hành với các viện nghiên cứu như NASA, Bảo tàng Nghệ thuật Hiện đại (The Museum of Modern Art), Viện Khoa Học California (The California Academy of Sciences), và học viện MIT để mang đến các nội dung mang tính chuyên ngành.

Miễn phí. Cho tất cả mọi người. Mãi mãi. #YouCanLearnAnything

Theo dõi kênh Đại số tuyến tính của Khan Academy: https://www.youtube.com/channel/UCGYSKl6e3HM0PP7QR35Crug?sub_confirmation=1

Theo dõi kênh Khan Academy:
https://www.youtube.com/subscription_center?add_user=khanacademy
more » « less
Video Language:
English
Team:
Khan Academy
Duration:
10:23

Vietnamese subtitles

Incomplete

Revisions Compare revisions

Our website uses cookies for analysis purposes.