為什麼不能除以零？

看看贊助我們的網頁：https://www.patreon.com/teded
觀看完整課程：https://ed.ted.com/lessons/why-can-t-you-divide-by-zero

在數學世界裡，當我們改變規則，許多奇怪的結果可能出現，但有一個規則我們總是被告誡不可以打破：別除以零。這個日常生活中常用到的數字和基本運算符號的組合何以造成問題？

動畫：Nick Hilditch 。

非常謝謝你的支持！沒有你的幫忙，這部影片不可能完成！

在數學世界裡，

改變規則可能會造成
很多奇怪的結果，

但有一個規則，多數人
都曾被告誡不要打破：

別除以 0 。

這個簡單的組合，

一個常用數字配上基本運算符號，

何以造成問題呢？

一般情況下，除以越來越小的數字

會得到越來越大的答案，

10 除以 2 等於 5 ，

除以 1 等於 10 ，

除以百萬分之一等於一千萬，

如此類推。

看起來，如果除以一個數字，

那數字趨近於 0 ，

答案會趨近無限大（ ∞ ）。

因此， 10 除以 0 的答案
不正是 ∞ 嗎？

這聽起來很合理，

但我們知道，如果 10 除以
某個趨近於 0 的數字，

答案會趨近 ∞ ，

但這不等於表示，

10 除以 0 就等於 ∞ 。

為何不等於？

讓我們仔細看看除法的真正含義。

10 除以 2 可以代表

「我們要加幾次 2 才等於 10 ？」

或「 2 乘以多少等於 10 ？」

除以某數本質上是乘以某數的相反，

以下解釋：

如果把任何數字乘以數字 X，

我們能問，是否有一個新數字，

乘以它會回到開始的數字。

如果有，這新數字
就稱為 X 的「倒數」。

例如，將 3 乘以 2 得到 6 ，

接著再乘以 1/2 ，就能回到 3，

因此 2 的倒數是 1/2 ，

10 的倒數是 1/10 ，

你可能發現到，某數和其倒數的乘積

永遠等於 1 。

如果我們除以 0 ，

我們要找到它的倒數，

這應該是 1/0 ，

而 0 乘以它，應該要得到 1 。

但因為任何數字
乘以 0 仍然是 0 ，

這樣的數字是不存在的，

因此， 0 沒有倒數。

然而這能解釋事情嗎？

畢竟，數學家曾經打破規則，

例如很長一段時間，

開根號內的數字不能是負數，

但當數學家定義「-1」的開根號

是新數字「 i 」時，

這開啟一個全新的「複數」世界，

如果能這麼做，

我們能不能訂定新規則說，

∞ 代表 1/0，

然後看看會發生什麼事？

我們試試看，

想像我們不知道 ∞ ，

根據倒數的定義，

0 乘以 ∞ 必等於 1，

這表示，0 乘以 ∞ 再加上
0 乘以 ∞ 等於 2，

現在，根據分配率，

等式左邊的運算可以調整成

0 加 0 ，然後乘以 ∞ 。

既然 0 加 0 一定等於 0，

則等式簡化成 0 乘以 ∞ ，

然而，我們已經定義這等於 1 ，

而等式另一端說這等於 2 ，

因此， 1 等於 2 。

說來奇怪，這不見得是錯的；

只是在我們平常的
數字世界中錯誤而已。

仍有個方法能讓此在數學上成立：

假如 1 、 2 和任何數字都等於 0，

但讓 ∞ 等於 0

對數學家或任何人並不實用，

事實上，有個稱為
「黎曼球面」的概念，

用不同的方法除以 0 ，

但這故事改天再提。

同時，以最直覺的方式除以 0

效果並不好，

但這不應該阻止我們冒點險

或嘗試打破數學規則，

看看我們是否能發明一個
有趣的新世界來探索。