为什么不能除以 0

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在数学世界里，当我们改变规则时，许多奇怪的结果都是有可能产生的。但有一条规则我们被劝告过不要去打破它，即，不要把 0 当除数去除。日常数字和基本运算结合起来怎么就产生了这些问题呢？

动画制作：Nick Hilditch。

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在数学世界里，

当我们改变规则时，
有可能产生许多奇怪的结果。

但其中有一条规则，我们很多人
都被告诫说不要去打破它：

不要把零当除数去除。

为什么将这一日常数字

与基本运算结合起来会导致问题呢？

通常，随着除数的变小，

得到的结果就会变大。

10 除以 2 等于 5，

10 除以 1 等于 10，

10 除以百万分之一等于一千万，

以此类推。

所以看起来似乎是如果你除以

一个小至趋于 0 的数字，

得到的结果可能就会无限大。

那么 10 除以 0 结果是不是无限大呢？

这听起来似乎很合理。

但我们所知道的是，如果我们用 10

除以一个趋于 0 的数字，

结果会趋于无穷大。

这与 10 除以 0

等于无穷大是不同的。

为什么不同呢？

我们仔细来看看除法的真正含义吧。

10 除以 2 可以理解成，

“有多少个 2 相加等于 10，”

或者说，“2 乘以什么等于 10？”

除以某个数其实就是乘以这个数的倒数，

如下面这些例子：

如果我们用任何一个数乘以已知数 X，

我们可能会问，是否可以乘以一个新的数

让我们得到开始时的数字。

如果有的话，这个新的数字就叫 X 的倒数。

例如，如果你用 3 乘以 2，得到 6，

然后你可以用 6 乘以 1/2 得回原来的数 3。

所以，2 的倒数是 1/2，

10 的倒数是 1/10。

你可能会注意到，任何一个数与其倒数相乘

结果总是 1。

如果我们想除以 0 的话，

我们需要找到它的倒数，

那应该是 1/0。

这个数乘以 0 的话会等于1。

但是因为所有数字乘以 0 结果仍然是 0，

那 1/0 这样的数字是不可能的，

所以 0 没有倒数。

然而这样就解决问题了吗？

毕竟，数学家们以前还是破例了。

例如，长期以来，

负数是不能取平方根的。

但后来数学家们取 -1 的平方根

为一个叫 i 的新数字，

在数学领域里，这为复杂数字打开了全新的世界。

所以，如果他们可以那样做的话，

我们不能创建一个新的规则吗，

即，无穷大等于 1/0，

看看会怎样？

我们试试，

假设我们对无穷大一无所知。

基于倒数的定义，

0 乘以无穷大一定等于 1。

那意味着 0 乘以无穷大再加上
0 乘以无穷大应该等于2。

现在，根据乘法分配律，

可以将等式左边的式子整理成

(0 + 0) 乘以 1/0。

既然 0 + 0 一定是等于 0，

那可以缩简成 0 乘以 1/0。

很遗憾，我们一开始已经得到答案这等于 1 了，

然而等式另一边答案仍然是 2。

所以，1 等于 2。

太奇怪了，这也不一定错；

只是在我们正常的数字世界里，这不对。

在数学上，还是有方法可以证明其是合理的，

如果 1, 2 或其它任何一个数字都等于 0 的话。

但是无穷大等于 0

对于数学家或其他任何人来说
最终并不那么有用。

事实上，有个叫黎曼球面的东西

它涉及到通过不同的方法来除以 0，

但今天我们且不谈这个。

同时，很显然，直接除以 0

并没有什么意义。

但那不应该阻止我们在生活中去冒险

及打破数学规则去进行实验，

以看看我们是否能创造
新的有趣的世界去探索。