Vì sao không thể chia cho 0?

Ghé thăm trang Patreon của chúng tôi: https://www.patreon.com/teded
Xem toàn bộ bài học tại: https://ed.ted.com/lessons/why-can-t-you-divide-by-zero

Trong thế giới toán học, rất nhiều những kết quả lạ thường có thể xảy ra khi ta thay đổi một vài quy tắc. Song có một quy tắc mà hầu hết chúng ta đều được cảnh báo không được vi phạm: Đừng chia cho 0. Làm thế nào sự kết hợp giữa một con số thông thường và một phép toán cơ bản lại gây ra nhiều rắc rối đến vậy?

Hoạt hình bởi Nick Hilditch.

Cảm ơn những người bảo trợ vì sự ủng hộ của các bạn! Không có các bạn, video này đã không được thực hiện!

Trong thế giới toán học,

vô vàn kết quả lạ thường có thể
xảy ra khi ta thay đổi vài quy tắc.

Nhưng có một quy tắc mà hầu hết
chúng ta luôn được cảnh báo

không được vi phạm:
đừng chia cho 0.

Làm thế nào sự kết hợp
của một số thông thường

và một phép toán cơ bản
lại gây ra nhiều rắc rối đến vậy?

Thông thường,
khi chia cho số càng nhỏ,

bạn sẽ nhận được kết quả càng lớn.

10 chia 2 bằng 5,
chia cho 1 bằng 10,

chia cho một phần một triệu
bằng 10i triệu, và cứ thế.

Nên có vẻ như
nếu chia cho số càng tiến dần về 0,

kết quả sẽ tăng dần
đến số lớn nhất có thể.

Khi đó, liệu kết quả của phép chia
10 cho 0 là vô cực?

Nghe thật hợp lí.

Song, chúng ta đều biết
nếu chia 10 cho một số tiến dần đến 0,

kết quả sẽ tiến dần đến vô cực.

Và nó hoàn toàn khác với việc
10 chia cho 0 bằng vô cực.

Tại sao vậy?

Hãy xem xét kĩ hơn vào vấn đề
phép chia thực sự là gì.

10 chia cho 2 có nghĩa là

"Chúng ta phải cộng bao nhiêu lần
số 2 liên tiếp để được 10"

hay "bao nhiêu lần 2 thì được 10?''

Phép chia một số về cơ bản là
đảo ngược của phép nhân

theo cách sau: nếu nhân một số bất kì
cho một số đã cho x,

ta có thể đặt câu hỏi liệu có
số mới nào ta có thể nhân sau đó

để quay trở lại số ban đầu.

Nếu có, số mới đó sẽ được gọi là
số nghịch đảo của x.

Ví dụ, nếu bạn nhân
3 với 2 để được 6,

thế thì bạn có thể nhân 6 với
1/2 để được 3.

Vậy nên, số nghịch đảo của 2 là 1/2,

và số nghịch đảo của 10 là 1/10.

Có lẽ bạn sẽ để ý, kết quả của phép nhân
một số nào đó với số nghịch đảo của nó

sẽ luôn bằng 1.

Nếu muốn chia cho 0,

ta phải tìm số nghịch đảo của nó,
sẽ là 1/0.

Đây sẽ phải là một số mà nhân nó với
0 sẽ được kết quả là 1.

Nhưng vì tất cả các số nhân với 0
sẽ vẫn bằng 0,

nên con số này không tồn tại.

vì vậy số 0 không có số
nghịch đảo của nó.

Tuy vậy, đây là một điều áp đặt
đúng không?

Sau tất cả, trước đây, các nhà toán học
đã từng vi phạm quy tắc.

Ví dụ, trong một thời gian dài,

không hề tồn tại căn bậc hai
của số âm.

Nhưng sau đó, các nhà toán học đã
định nghĩa căn bậc hai của một số âm

như một loại số mới gọi là số phức i,

mở ra một thế giới toán học hoàn toàn mới
về những con số phức tạp.

Vậy nếu họ có thể làm vậy,

tại sao chúng ta
không tạo ra một quy tắc

mà biểu tượng vô cùng
được định nghĩa là 1 chia cho 0,

và xem điều gì sẽ xảy ra?

Hãy thử nhé, tưởng tượng ta chưa hề có
định nghĩa gì về vô cực.

Dựa vào sự định nghĩa của
một số nghịch đảo,

0 nhân vô cực phải bằng 1.

Nghĩa là 0 nhân vô cực cộng
với 0 nhân vô cực sẽ bằng 2.

Bằng tính chất phân phối,

vế trái của phương trình
có thể được sắp xếp lại

thành 0 cộng 0,
tất cả nhân vô cực.

Và vì 0 cộng 0 hiển nhiên bằng 0,
nên rút gọn thành 0 nhân vô cùng.

Không may là, chúng ta
vừa định nghĩa nó bằng 1,

trong khi vế còn lại
của phương trình vẫn là 2.

Vì thế, 1 bằng 2.

Lạ lùng thay,
điều đó không hẳn là sai.

Nó chỉ không đúng
trong thế giới số thường.

Và vẫn còn một cách
để nó có cơ sở toán học đúng đắn

nếu 1, 2, và mọi số khác đều bằng 0.

Nhưng để vô cực bằng 0,

cuối cùng, cũng không hợp lí
với những nhà toán học hay bất kì ai khác.

Có một thứ gọi là
luận văn mặt cầu Riemann

bao gồm phép chia cho 0 bởi
những phương pháp khác nhau.

Nhưng đó là câu chuyện
của một video khác.

Trong lúc ấy, phép chia cho 0,
nhìn một cách rành mạch nhất

không ổn cho lắm.

Nhưng nó không thể ngăn
chúng ta sống liều lĩnh

và thử nghiệm bằng việc
phá vỡ những quy tắc

để xem liệu ta có thể khám phá
những thế giới mới thú vị.