Neden sıfırla bölemezsiniz?

Patreon sayfamızı ziyaret edin: https://www.patreon.com/teded

Dersin tamamını görün: https://ed.ted.com/lessons/why-can-t-you-divide-by-zero

Matematik dünyasında kuralları değiştirdiğimizde pek çok ilginç sonuca ulaşmak mümkün. Ama kırılmaması konusunda hepimizin uyarıldığı tek bir kural var: Sıfırla bölme. Gündelik kullanılan basit bir sayı ile temel bir işlemin birlikteliği nasıl problem olabilir ki?

Animasyonu yapan Nick Hilditch.

Seyircilerimize destekleri için teşekkürler! Desteğiniz olmadan bu video mümkün olmazdı.

Matematik dünyasında

kuralları değiştirdiğimizde pek çok
ilginç sonuca ulaşmak mümkün.

Ama kırılmaması konusunda
hepimizin uyarıldığı tek bir kural var:

Sıfırla bölme.

Gündelik kullanılan basit bir sayı ile

temel bir işlemin birlikteliği
nasıl problem olabilir ki?

Normalde, daha küçük sayılarla böldükçe

sonuç gittikçe büyür.

On bölü iki beş,

on bölü bir ise on,

onun milyonda bir ile bölümü ise on milyon

ve böyle gider.

Yani sayıları, sıfıra doğru

gittikçe küçülen sayılarla böldükçe,

sonuç olası en büyük
değere doğru büyümektedir.

Bu durumda 10 bölü sıfır sonsuz olmaz mı?

Mümkün görünebilir.

Ama gerçekte tüm bildiğimiz, eğer 10'u

sıfıra yaklaşan bir sayıyla bölerseniz

sonucun sonsuza yaklaşacağıdır.

Ancak bu, 10 bölü sıfırın sonsuz olduğu

anlamına gelmez.

Peki neden?

Gerçekte bölmenin ne anlama
geldiğini yakından görmeye çalışalım.

On bölü iki şu şekilde anlaşılabilir:

"Kaç tane iki sayısını
toplamalıyız ki 10 yapsın,"

ya da "iki kere kaç 10 yapar?"

Bir sayıyla bölmek aslında
onunla çarpmanın tersidir,

şu şekilde:

Bir sayıyı belli bir x sayısıyla çarparsak

sonrasında yeni bir sayıyla çarparak
tekrar başa dönebileceğimiz

bir sayı var mı diye sorabiliriz.

Varsa bu yeni sayıya x'in
çarpmaya göre tersi denir.

Örneğin üçü iki ile çarparsak altı olur,

sonra yarımla çarparak
tekrar üçe dönebiliriz.

Yani ikinin çarpmaya göre tersi yarımdır

ve 10'nun çarpmaya göre tersi 1/10'dur.

Bir sayı ile çarpmaya göre tersinin
çarpımının daima bir olduğunu

fark edebilirsiniz.

Eğer sıfırla bölmek istersek

çarpmaya göre tersini bulmak gerekir,

yani bir bölü sıfır sayısını.

Bu öyle bir sayı olacak ki sıfırla
çarparsak bir bulacağız.

Ancak sıfırla çarpımın
sonucu hep sıfırdır,

böyle bir sayı ise olamaz,

yani sıfırın çarpmaya göre tersi yok.

Peki bu, gerçekten meseleyi halleder mi?

Sonuçta matematikçiler
daha önce de kuralları bozdular.

Örneğin uzun zaman önce

negatif sayıların karekökü
diye bir şey yoktu.

Ama sonra matematikçiler
eksi birin karekökünü

i diye bir sayı olarak tanımladılar,

öyle ki tamamen yeni olan karmaşık
sayıların matematik dünyası ortaya çıktı.

Yani bu yapılabiliyorsa

biz de yeni bir kural çıkaramaz mıyız,

diyelim ki bir bölü sıfır
sonsuz sembolü demek olsun

ve sonra ne olacak bakalım?

Deneyelim,

henüz sonsuzla ilgili bir şey
bilmediğimizi varsayalım.

Çarpmaya göre tersin tanımına dayanarak

sıfır çarpı sonsuz bir olmalı.

Yani sıfır çarpı sonsuz artı
sıfır çarpı sonsuz iki olmalı.

Şimdi dağılma özelliğinden

bu eşitliğin sol tarafı
sıfır artı sıfır çarpı sonsuz

olacak şekilde düzenlenebilir.

Ancak sıfır artı sıfır
kesinlikle sıfır olduğundan

eşitlik sıfır çarpı sonsuz olur.

Ne yazık ki bunun
zaten bir olduğunu söyledik,

ancak eşitliğin diğer tarafının
hâlâ iki olduğunu görüyoruz.

Yani bir eşit iki oldu.

İşin garibi, buna
kesinlikle yanlış diyemeyiz;

sadece bizim bildiğimiz sayılar
dünyasında doğru değil.

Bunun matematiksel anlamda
geçerli olmasının bir yolu,

bir, iki ve diğer tüm
sayıların sıfıra eşit olması.

Ancak sonsuzun sıfıra eşit olması

sonuçta ne matematikçilerin,
ne de diğerlerinin işine yaramaz.

Aslında sıfıra bölmenin
farklı bir şekilde yapıldığı

Riemann küresi adlı bir konu var,

ancak bu başka bir günün hikâyesi.

Böylelikle en açık şekliyle sıfırla bölme

pek de işe yaramıyor.

Ancak bu bizi tehlikeye atılıp
matematiğin kurallarını kırarak

denemeler yapıp eğlenceli şeyler
bulup bulamayacağımız görmekten,

yani yeni dünyalar
keşfetmekten alıkoymamalıdır.