Porque é que não podemos dividir por zero?

Vejam a lição completa em: https://ed.ted.com/lessons/why-can-t-you-divide-by-zero

No mundo da matemática, são possíveis resultados muito estranhos quando mudamos as regras. Mas somos avisados de que há uma regra que não devemos infringir: nunca dividam por zero. Como é que a simples combinação de um número tão vulgar com uma operação básica pode provocar tantos problemas?

Lição de TED-Ed, animação de Nick Hilditch.

No mundo da matemática,

são possíveis resultados muito estranhos
quando mudamos as regras.

Mas somos avisados de que há uma regra
que não devemos infringir:

nunca dividam por zero.

Como é que a simples combinação
de um número tão vulgar

com uma operação básica
pode provocar tantos problemas?

Normalmente, a divisão por números
cada vez mais pequenos

dá-nos resultados cada vez maiores.

Dez a dividir por dois é igual a cinco,

a dividir por um é igual a dez,

a dividir por um milionésimo
é igual a 10 milhões,

e assim por diante.

Parece, portanto, que, se dividirmos

por números cada vez menores,
até chegarmos ao zero,

o resultado irá aumentando
atá ao maior número possível.

Então, o resultado de 10 a dividir por 0
será o infinito?

Parece ser plausível.

Mas, na verdade, só sabemos que,

se dividirmos 10 por um número
que se vai aproximando de zero,

o resultado
vai-se aproximando do infinito.

Não é a mesma coisa que dizer

que 10 a dividir por zero
é igual a infinito.

Porque é que não é?

Olhemos com mais atenção
para o significado de uma divisão.

Dez a dividir por dois
pode significar:

"Quantas vezes temos que adicionar
mais dois para chegar a 10?"

ou "duas vezes o quê é igual a 10?"

A divisão por um número é essencialmente
o inverso da sua multiplicação,

ou seja:

Se multiplicarmos qualquer número
por um determinado número x,

podemos perguntar se haverá outro número
pelo qual o possamos multiplicar de novo

para obter o valor inicial.

Se houver, chamamos a esse novo número
o multiplicador inverso de x.

Por exemplo, se multiplicarmos
três por dois, obtemos seis.

Depois, podemos multiplicar
por um meio, para voltarmos a três.

Portanto, o multiplicador inverso
de dois é um meio

e o multiplicador inverso de 10
é um décimo.

Como viram, o produto de qualquer número
pelo seu multiplicador inverso

é sempre a unidade.

Se quisermos dividir por zero,

precisamos de encontrar
o seu multiplicador inverso

que deveria ser um sobre zero.

Isso teria que ser um número tal
que, multiplicando-o por zero,

fosse igual a uma unidade.

Mas, como tudo o que for
multiplicado por zero, é igual a zero,

esse número é impossível,

portanto, zero não tem multiplicador inverso.

Mas isto resolve mesmo as coisas?

Afinal, os matemáticos
já têm infringido regras.

Por exemplo, durante muito tempo,

não existia forma de extrair
a raiz quadrada a números negativos.

Mas, depois, os matemáticos definiram
a raiz quadrada de um negativo

como um número chamado i,

abrindo todo um novo mundo
matemático de números complexos.

Então, se podemos fazer isso,

não poderíamos fazer uma nova regra,

por exemplo, que o símbolo infinito
significa um sobre zero

e ver o que acontece?

Vamos experimentar.

Imaginem que ainda não sabemos
nada sobre o infinito.

Com base na definição
de um multiplicador inverso,

zero vezes infinito
tem que ser igual à unidade.

Isso significa que zero vezes infinito
mais zero vezes infinito

devia ser igual a dois.

Ora bem, pela propriedade distributiva,

o lado esquerdo da equação
pode ser reorganizada

para zero mais zero, vezes infinito.

Como zero mais zero
é, sem dúvida, zero,

isso reduz-se a zero vezes infinito.

Infelizmente, já definimos isso
como igual à unidade

embora o outro lado da equação
continua a dizer-nos que é igual a dois.

Portanto, um igual a dois.

Por estranho que pareça,
pode não estar errado.

Só que não é verdade
no nosso mundo habitual de números.

Mas ainda há uma forma
em que poderia ser válido matematicamente,

se um, dois e todos os outros números
fossem iguais a zero.

Mas, afinal, se infinito
fosse igual a zero,

isso não teria qualquer utilidade
nem para os matemáticos nem para ninguém.

Com efeito, há uma coisa chamada
a esfera de Riemann

que envolve a divisão por zero
através de um método diferente,

mas isso é uma história para outro dia.

Entretanto, a divisão por zero
da maneira mais óbvia

não funciona lá muito bem.

Mas isso não nos impede
de viver na corda bamba

e de experimentar infringir
as regras da matemática

para ver se conseguimos inventar

novos mundos divertidos para explorar.