0으로 나누는 것이 왜 불가능할까요?

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수학의 세계에서는 규칙을 바꿈에 따라 여러가지 이상한 결과들이 도출되기도 합니다. 하지만 그 중에서도 우리가 절대로 어기지 말아야 할 규칙이 하나 있죠. 0으로는 나눌 수 없다는 규칙입니다. 우리가 매일 접하는 숫자인 0과 간단한 수학연산이 만나면 어떤 문제가 생기는지 알아보세요.

영상: 닉 하일디치(Nick Hilditch)

"신이 0으로 나누기를 하면
그곳에 블랙홀이 생긴다." - 스티븐 라이트

수학의 세계에서는

규칙을 바꾸었을 때, 예상치 못한
결과들이 일어나곤 합니다.

하지만 누구도 어길 수 없는
하나의 규칙이 있지요.

"0으로 나누지 말라."

우리가 매일 사용하는 0이라는 숫자와
간단한 4칙 연산 중 하나가 만나면

어떤 문제가 발생하는 것일까요?

일반적으로 어떤 수를
더 작은 수로 나눌수록

나오는 값은 더 커집니다.

10을 2로 나누면 5가 되고

1로 나누면 10이 되며

백만분의 1로 나누면
천만이라는 수가 되죠.

이런 식으로 계속됩니다.

따라서 어떤 수로 나누려고 할 때

그 수가 계속 작아져
0에 수렴하게 되면

결과 값은 가장 큰 수에 가깝게
증가한다고 볼 수 있습니다.

그렇다면 10 나누기 0에 대한 답은
무한대가 아닐까요?

꽤나 그럴싸한 말처럼 보입니다.

하지만 우리가 알고 있는 것은

10이라는 수를
0에 가까운 수로 나눌수록

그 답이 무한대로
수렴한다는 것입니다.

10을 0으로 나눈 값이

무한대와 같다는 뜻은 아니죠.

왜 그럴까요?

먼저 나눗셈이 무엇인지
한번 자세히 살펴볼까요?

10 나누기 2는
이렇게 설명할 수 있습니다.

"10을 만들기 위해서는 2를
몇 번 더해야 되는가,"

혹은 "2 곱하기 몇이 10인가?"로
바꿀 수 있지요.

어떤 수로 나눈다는 것은
그 수를 곱하는 것의 반대입니다.

지금부터 설명드리죠.

어떤 수에 임의의 수 x를
곱해서 값이 나왔을 때

이 값에 어떤 수를 곱하면
처음의 수가 나오는지

찾아볼 수 있습니다.

그런 수가 있다면, 우리는 그것을
x의 역수라고 부릅니다.

예를 들면 우리가
3을 2로 곱해서 6을 얻었을 때

여기에 1/2을 다시 곱하면
처음의 수 3으로 돌아갈 수 있지요.

따라서 2의 역수는 1/2입니다.

그리고 10의 역수는 1/10이지요.

여기서 볼 수 있듯이
모든 수와 그 역수의 곱은

항상 1이 됩니다.

만약 우리가 0으로 나누려고 한다면

우리는 0의 역수를 알아내야 합니다.

이는 1/0이 되겠지요.

또한 이 수를 0으로 곱하면
1이 나와야 하겠지요.

하지만 어떤 수에 0을 곱하면
항상 0이 되므로

이런 수는 존재할 수 없습니다.

따라서 0은 역수를 가질 수 없습니다.

이 정도면 더 논란의 여지가 없겠지요?

그런데 지금까지의 수학자들은
규칙들을 깨기도 했습니다.

예를 들면, 한 동안

음수에는 루트를 씌울 수
없다고 생각했지요.

하지만 수학자들은 -1에
루트를 씌운 것을

새로운 숫자인 i로 정의했습니다.

덕분에 완전히 새로운 수학의 세계인
복소수라는 것이 탄생했습니다.

그렇다면 이런 식으로
새로운 규칙을 만들어서

무한대는 1/0과 같다고 정의하면

어떤 일이 생기는지 볼까요?

한번 해봅시다.

우리가 무한대에 대해서
아무것도 모른다고 가정해봅시다.

역수의 정의에 따라서

0을 무한으로 곱하면 1이 됩니다.

그렇다면 0 곱하기 무한대 더하기
0 곱하기 무한대는 2가 되어야 겠지요.

이제 분배법칙에 따라

이 등식의 좌변을 새로 정리해서

0더하기 0 곱하기 무한대로
바꾸어 봅시다.

그리고 0 더하기 0은
당연히 0이므로

이는 다시 0 곱하기 무한대가 됩니다.

그런데 우리는 0 곱하기 무한대는
1이라고 이미 정의했지요.

하지만 지금 나온 식에 따르면
이는 2라고 정의가 됩니다.

그렇다면 1은 2와 같다는
결론이 나오네요.

이상하게 들리겠지만,
이 말이 꼭 틀리다고는 할 수 없습니다.

하지만 우리가 아는 일반적인
수의 체계에서는 틀린 말이지요.

수학적으로 이 말이 참일 수 있는
방법이 존재하기는 합니다.

1과 2를 비롯한 모든 수가
0과 같다면 그럴 수 있지요.

하지만 무한대를 0과 같다고 보는 것은

수학자나 다른 사람들에게
궁극적으로 그다지 도움이 안됩니다.

실제로 리만구라고 불리는 것이 있는데

여기서는 다른 방법을 사용해서
0으로 나누기를 합니다.

그 얘기는 다음 기회에 다루기로 하죠.

어쨋든 누구나 아는 방법으로
0으로 나눈다는 것은

그다지 쉽게 가능하지는 않습니다.

그렇다고 해서 우리가
과감하고 실험적으로

수학적 규칙들을 깨는 것을
그만두어서는 안됩니다.

언젠가는 새롭고 즐거운 세계를
열게 될지 모르니까요.