Pourquoi ne peut-on pas diviser par zéro ?

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Dans le monde des mathématiques, de nombreux résultats étranges sont possibles lorsqu'on change les règles. Mais la plupart d'entre nous ont été avertis de ne pas enfreindre une règle : ne pas diviser par zéro. Comment la simple combinaison d'un chiffre quotidien et d'une opération de base peut-elle causer de tels problèmes ?

Animation de Nick Hilditch.

Dans le monde des mathématiques,

beaucoup de résultats étranges sont
possibles quand on change les règles.

Mais la plupart d'entre nous ont été
avertis de ne pas en enfreindre une :

ne pas diviser par zéro.

Comment la combinaison
simple d'un nombre quotidien

et d'une opération de base
peut causer de tels problèmes ?

Normalement, en divisant
par des nombres de plus en plus petits,

on obtient des réponses
de plus en plus grandes.

Dix divisé par deux égalent cinq,

par un égalent dix,

par un millionième
égalent 10 millions,

etc.

Donc, il semble que si on divise
par des nombres

qui continuent à diminuer
jusqu'à zéro,

la réponse va augmenter
jusqu'à la plus grande possible.

Alors, la réponse à 10 divisé par zéro
n'est-elle pas en fait l'infini ?

Cela peut sembler plausible.

Mais tout ce qu'on sait vraiment,
c'est que si on divise 10

par un nombre qui tend vers zéro,

la réponse tend vers l'infini.

Et ce n'est pas la même chose
que de dire que 10 divisé par zéro

est égal à l'infini.

Pourquoi non ?

Eh bien, examinons de plus près
ce que signifie réellement la division.

Dix divisé par deux pourrait signifier :

« Combien de fois doit-on additionner
deux ensemble pour en faire 10 »

ou, « deux fois quoi égalent 10 ? »

Diviser par un nombre est essentiellement
l'inverse de multiplier par lui,

de la manière suivante :

si l'on multiplie n'importe quel
nombre par un nombre donné x,

on peut se demander
s'il y a un nouveau nombre

par lequel on peut multiplier ensuite

pour revenir à l'endroit
d'où on est parti.

S'il y en a un, on dit que le nouveau
nombre est l'inverse multiplicatif de x.

Par exemple, si vous multipliez
trois par deux pour obtenir six,

vous pouvez ensuite multiplier
par un demi pour revenir à trois.

Ainsi, l'inverse multiplicatif
de deux est un demi,

et l'inverse multiplicatif
de 10 est un dixième.

Comme vous pouvez le remarquer,
le produit de n'importe quel nombre

et son inverse multiplicatif
est toujours un.

Si on veut diviser par zéro,

on doit trouver son inverse multiplicatif,

ce qui devrait être un sur zéro.

Ce devrait être un nombre tel que
le multiplier par zéro donnerait un.

Mais parce que tout ce qui est
multiplié par zéro est toujours zéro,

un tel nombre est impossible,

donc zéro n'a pas d'inverse multiplicatif.

Cela règle-t-il vraiment la question ?

Après tout, les mathématiciens
ont déjà enfreint les règles.

Par exemple, pendant longtemps,

il n'y avait pas de racine
carrée des nombres négatifs.

Mais alors les mathématiciens ont
défini la racine carrée d'un négatif

comme un nouveau nombre appelé i,

ce qui a ouvert un tout nouveau monde
mathématique de nombres complexes.

Donc, s'ils peuvent le faire,

ne pourrait-on pas créer
une nouvelle règle,

et dire que le symbole de l'infini
signifie un sur zéro,

et voir ce qu'il se passe ?

Essayons,

en imaginant que nous ne savons
rien de l'infini.

D'après la définition
d'un inverse multiplicatif,

zéro fois l'infini doit être égal à un.

Ce qui signifie que zéro fois l'infini

plus zéro fois l'infini
devrait être égal à deux.

Maintenant, par la propriété distributive,

on peut réarranger
le côté gauche de l'équation

en zéro plus zéro fois l'infini.

Et puisque zéro plus zéro
est une fois pour toutes zéro,

cela se réduit à zéro fois l'infini.

Malheureusement, nous avons déjà
défini cela comme égal à un,

alors que l'autre côté de l'équation
nous dit toujours qu'il est égal à deux.

Donc, un est égal à deux.

Curieusement, ce n'est
pas nécessairement faux ;

ce n'est tout simplement pas vrai
dans notre monde normal de nombres.

On peut toujours faire
que ce soit mathématiquement valide,

si un, deux et tous les autres
nombres étaient égaux à zéro.

Mais avoir l'infini égal à zéro

n'est finalement pas très utile
aux mathématiciens ou à quiconque.

Il y a en fait quelque chose,
la sphère de Riemann,

qui implique de diviser
par zéro suivant une méthode différente,

mais c'est une histoire
pour un autre jour.

En attendant, diviser par zéro
de la manière la plus évidente

ne marche pas très bien.

Mais ça ne devrait pas nous
empêcher de vivre dangereusement

et d'expérimenter d'enfreindre
les règles mathématiques

pour voir si on peut inventer
de nouveaux mondes à explorer.