Γιατί δεν μπορούμε να διαιρέσουμε με το μηδέν;

Επισκεφτείτε τη σελίδα Patreon, https://www.patreon.com/teded

Δείτε όλο το μάθημα: https://ed.ted.com/lessons/why-can-t-you-divide-by-zero

Στον κόσμο των Μαθηματικών είναι δυνατά πολλά περίεργα αποτελέσματα όταν αλλάζουμε τους κανόνες. Αλλά υπάρχει ένας κανόνας, που οι περισσότεροι από εμάς έχουμε προειδοποιηθεί να μην παραβιάσουμε: δεν διαιρούμε με το μηδέν. Πώς αυτός ο απλός συνδυασμός ενός καθημερινού αριθμού και μίας βασικής πράξης δημιουργεί τόσα προβλήματα;

Κινούμενα σχέδια από τον Νικ Χίλντιτς.

Στον κόσμο των Μαθηματικών

είναι δυνατά πολλά περίεργα αποτελέσματα,
αν αλλάξουμε τους κανόνες.

Αλλά υπάρχει ένας κανόνας τον οποίον
έχουμε προειδοποιηθεί να μην παραβιάσουμε:

δεν διαιρούμε με το μηδέν.

Πώς είναι δυνατό ο συνδυασμός
ενός καθημερινού αριθμού

και μιας βασικής πράξης
να δημιουργεί τόσα προβλήματα;

Κανονικά, η διαίρεση
με όλο και μικρότερους αριθμούς,

σας δίνει όλο και μεγαλύτερο αποτέλεσμα.

Δέκα διά δύο δίνει πέντε,

διά ένα δίνει δέκα,

διά 0,000001 δίνει 10.000.000

και ούτω καθεξής.

Έτσι, φαίνεται ότι
καθώς διαιρείτε με αριθμούς

που μικραίνουν προς το μηδέν,

το αποτέλεσμα θα μεγαλώνει
προς τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό.

Μα τότε το αποτέλεσμα του 10 διά μηδέν
δεν θα έπρεπε να είναι άπειρο;

Ακούγεται λογικό,

αλλά το μόνο που ξέρουμε
είναι ότι αν διαιρέσουμε τον 10

με έναν αριθμό που «τείνει» στο μηδέν,

τότε το αποτέλεσμα «τείνει» στο άπειρο.

Και αυτό δεν είναι το ίδιο
με το να λέμε ότι 10 διά μηδέν

«ισούται» με άπειρο.

Γιατί όχι;

Ας δούμε λίγο πιο αναλυτικά
τι πραγματικά σημαίνει η διαίρεση.

Δέκα διά δύο μπορεί να σημαίνει,

«Πόσες φορές πρέπει να προσθέσω
τον αριθμό δύο για να πάρω 10;»

ή «δύο επί τι ισούται με 10;»

Η διαίρεση με έναν αριθμό είναι στην ουσία
το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού με αυτόν

με την εξής έννοια:

Αν πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό
με έναν δεδομένο αριθμό χ,

μπορούμε να ρωτήσουμε αν υπάρχει
κάποιος άλλος αριθμός με τον οποίο

αν πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα,
θα πάρουμε τον αρχικό αριθμό.

Αν υπάρχει, ο νέος αριθμός ονομάζεται
«πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του χ».

Για παράδειγμα, αν πολλαπλασιάσουμε
τον τρία με τον δύο, οπότε παίρνουμε έξι,

μπορείτε μετά να πολλαπλασιάστε
με τον 1/2 για πάρετε τρία.

Άρα ο πολλαπλασιαστικός
αντίστροφος του δύο είναι ο 1/2

και ο πολλαπλασιαστικός
αντίστροφος του 10 είναι ο 1/10.

Ίσως προσέξατε, το γινόμενο ενός αριθμού
με τον πολλαπλασιαστικό του αντίστροφο

ισούται πάντα με ένα.

Αν θέλουμε να διαιρέσουμε με το μηδέν,

πρέπει να βρούμε τον δικό του
πολλαπλασιαστικό αντίστροφο,

που θα έπρεπε να είναι 1/0.

Αυτός είναι ένας αριθμός που, αν
πολλαπλασιαστεί με μηδέν θα μας δώσει ένα.

Αλλά επειδή ο πολλαπλασιασμός
οποιουδήποτε αριθμού με μηδέν κάνει μηδέν,

ένας τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει,

άρα ο μηδέν δεν έχει
πολλαπλασιαστικό αντίστροφο.

Όμως τακτοποιήθηκε οριστικά το ζήτημα;

Άλλωστε, οι μαθηματικοί έχουν παραβιάσει
τους κανόνες στο παρελθόν.

Για παράδειγμα, για πολύ καιρό,

δεν υπήρχε η τετραγωνική ρίζα
αρνητικών αριθμών.

Αλλά κάποτε οι μαθηματικοί
όρισαν την τετραγωνική ρίζα του -1

ως έναν νέο αριθμό, που ονομάζεται i,

δημιουργώντας τον εντελώς νέο
μαθηματικό κόσμο των μιγαδικών αριθμών.

Άρα, αν μπορούν να κάνουν κάτι τέτοιο,

δεν θα μπορούσαμε απλώς
να φτιάξουμε έναν νέο κανόνα,

ας πούμε, ότι το σύμβολο
του απείρου σημαίνει 1/0,

και να δούμε τι συμβαίνει;

Ας το δοκιμάσουμε,

προσποιούμενοι ότι δεν γνωρίζουμε
τίποτα για το άπειρο.

Με βάση τον ορισμό
του πολλαπλασιαστικού αντιστρόφου,

Μηδέν επί άπειρο πρέπει να ισούται με ένα.

Αυτό σημαίνει ότι μηδέν επί άπειρο
συν μηδέν πρέπει να ισούται με δύο.

Από την επιμεριστική ιδιότητα,

το αριστερό μέλος της εξίσωσης
μπορεί να τροποποιηθεί

σε μηδέν συν μηδέν επί άπειρο.

Και αφού μηδέν συν μηδέν
είναι σίγουρα μηδέν,

αυτό ανάγεται σε μηδέν επί άπειρο.

Δυστυχώς, έχουμε ήδη ορίσει
ότι αυτό ισούται με ένα,

ενώ το άλλο μέλος της εξίσωσης
μάς λέει ότι ισούται με δύο.

Άρα ένα ίσον δύο.

Όλως περιέργως,
αυτό δεν είναι απαραίτητα λάθος.

Απλά δεν είναι σωστό
στον συνηθισμένο κόσμο των αριθμών.

Υπάρχει όμως ένας τρόπος αυτό
να είναι μαθηματικώς έγκυρο,

αν οι ένα, δύο και κάθε άλλος αριθμός
ισούνταν με μηδέν.

Αλλά το να είναι το άπειρο ίσο με μηδέν,

τελικά δεν είναι και πολύ χρήσιμο
στους μαθηματικούς ή σε οποιονδήποτε.

Στην πραγματικότητα υπάρχει κάτι
που ονομάζεται σφαίρα του Ρίμαν,

που περιλαμβάνει διαίρεση με τον μηδέν
με μια διαφορετική μέθοδο,

αλλά αυτό είναι ιστορία
για κάποια άλλη ημέρα.

Στο μεταξύ, η διαίρεση
με το μηδέν με τον πιο προφανή τρόπο,

δεν δουλεύει και τόσο καλά.

Αλλά αυτό δεν θα πρέπει να μας αποτρέπει
από το να ζούμε επικίνδυνα

και να πειραματιζόμαστε
παραβιάζοντας τους μαθηματικούς κανόνες

για να βλέπουμε αν μπορούμε να εφεύρουμε
ευχάριστους, νέους ανεξερεύνητους κόσμους.