Integraller: Yerine Koymada Trigonometri 2

Yerine kullanmada trigonometriden yararlanarak ters türevi bulmaya yönelik başka bir örnek

elimizde 1 bölü 36 artı x^2 dx

belirsiz integrali

var

sizin de gördüğünüz gibi trigonometri olmadan

bu integrali çözmemiz kolay değil

u ile yerine koyma tekniğini de yapamam çünkü

alttaki bölümün türevini bilmiyorum

bu 2x olsaydı kolay olabilirdi

bunun türevi 2x deyip u ile yerine koyma tekniğini

uygulayabilirdim

ama bu değer 2x değil o zaman nasıl çözerim?

trigonometrik birimleri kullanacağım

bakalım burada hangisini kullanabiliriz

ilk önce her zaman-bu benim aklıma yatan şey-

bunun sabit artı bir değerin karesi olduğunu görürüm ki

bu da bana trigonometrik birim kullanmam gerektiğini

belirtir

ama her zaman 1 artı bir değerin karesi olarak severim

integrali yeniden yazacağım, dx i

pay kısmına yazacağım

bu değer çarpı dx

bunu daha iyi bir şekilde yazayım

integral dx bölü

36 çarpı parantez içinde 1

artı x^2 bölü 36

değerine eşit

hangi trigonometrik birimi integrale koyarsak

soru daha kolaylaşır diye

düşünelim

benim aklıma gelen,

bilmiyorsanız yazacağım,

1 artı

tan^2 teta

bunu kanıtlayalım

tan^2 1 artı sin^2 bölü

cos^2 değerine

eşit

1 şimdi cos^2 bölü cos^2'a eşit

bunu yeniden cos^2 teta, bu 1'di, artı

sin^2 teta bölü cos^2 teta olarak yazabiliriz

şimdi ortak bir paydamız

var

cos^2 artı sin^2 kaç eder?

bu birim çemberin tanmıydı

1 bölü cos^2 teta diyeceğiz

veya 1 bölü cos^2 diyeceğiz

1 bölü cos sec'e eşittir

o zaman bu sec^2 teta'ya eşit

yerine koyma işlemini yapacak olursak,

bunu tan teta veya tan^2 teta'ya

eşitleyelim

bu ifade o zaman 1 artı tan^2 teta olacaktır

ki bu da sec^2'e eşittir

belki bu denklemin sadeleşmesine biraz yardımcı olacaktır

x^2 bölü 36 tan^2 teta'ya

eşit diyeceğiz

iki tarafın da karekökünü alalım,

bunu yapacak olursak x bölü 6 tan teta'ya eşit

veya x 6 tan teta'ya eşit deriz

iki tarafın da türevini teta'ya göre alırsak

dx bölü d teta'yı bulurız- tan teta'nın

türevi nedir?

sadece temel kuralları kullanarak bunu size

gösterebilirim

sizin için bunu yapayım

tan teta'nın türevini burada

yapayım

bu tan teta'ya göre

türevin 6 katına eşit olacaktır

türevi bulmalıyız, o zaman bulalım

tan teta'nın türevi

d bölü d teta sin teta bölü cos teta ile aynı şeydir

bu sadece tan'ın türeviydi

veya bu teta'ya göre olan türev ile aynı şeydir

birazcık sağa kayayım

ben bölme kuralını kusurlu bulduğum için hiçbir zaman

hatırlamam-d bölü d teta çarpı parantez içinde

sin teta çarpı cos teta üzeri eksi 1 diyeceğiz

bu kaça eşittir?

bu ilk ifadenin veya en baştaki fonksiyonun

türevine eşit o da cos teta'ya

eşittir

bu cos teta'ya eşit, bu da sin teta çarpı ikinci ifadenin

türevine eşittir

çarpı cos teta üzeri -1

parantez kullandım ve -1'i dışarı koydum

çünkü size ters cos veya ark kosinüs'ü

göstermek istedim

bu sin çarpı cos'un türeviydi şimdi ise

cos'un da türevini

bulmak istiyorum

sadece cos'un değil cos üzeri -1'in türevi

bu o zaman 1 çarpı cos üzeri -2 olacak

bu dışarıdakinin türevi çarpı

içeridekinin türevi

biraz daha yana kayayım

bu dışarıdaki değerin türeviydi

cos teta x olsaydı, x üzeri eksi 1'in türevi

-1 çarpı x üzeri -2'ye eşit derdik

çarpı içerinin türevi

cos teta'nın teta'ya göre türevi

çarpı eksi sin teta

buranın hepsini sin teta ile çarpacağım

bunun türevi-yeşil olan kısım

çarpı ilk ifade

bu neye eşittir?

cos teta bölü cos teta

1'e eşittir

burda -1 ve -sin teta var

bu pozitif sonuç eder

ne var elimde?

elimde sin^2 var, sin teta çarpı sin teta bölü

cos^2 var

o zaman artı sin^2 teta bölü cos^2 teta

bu da 1 artı tan^2 teta'a eşittir

1 artı tan^2 teta neye eşittir

bunu biraz önce göstermiştim

bu sec^2 teta'ya eşittir

yani tan teta'nın türevi

sec^2 teta'ya eşittir

uğraşımız bize bir çözüm verdi ve

bunun sade olması gayet iyi

dx d teta sec^2

değerine eşit

dx'in neye eşit olduğunu bulmak istiyorsak dx

iki tarafın d teta ile çarpımına eşit

o zaman dx 6 çarpı sec^2 teta'ya eşit

bu dx değeridir

birazdan yerine koyma tekniğinde kullanacağımız sayıyı

desteklememiz lazım bu yüzden teta'yı çözmemiz lazım

bu gayet direkt

denklemdeki iki tarafın ark tanjantını almamız yeterli

teta arc tan x bölü 6'ya eşittir

bunu sonrası için kullanacağız

integralimiz şu an ne durumda?

integral dx'in integrali mi şu an?

dx nedir?

6 sec^2 teta d teta'ydı

paydadaki her şey, 36 çarpı parantez içindeki

1 artı tan^2 teta

buradakilerin hepsinin sec^2 teta'ya eşit

bunu size defalarca gösterdim

paydadki sec^2 teta

payda sec^2 teta ve paydadaki birbirini götürür

birbirlerini götürürler

integral, şanslıyız ki 6/36'ya dönüşür

bu da 1/6 d teta'ya eşittir

1/6 teta artı c'ye eşittir

artık sonucu yerine koyma işleminde kullanabilirz

teta ark sinüs x/6'ya eşit

1/36 x^2 nin ters türevi

1/6 çarpı teta'ya eşit

teta ark tanjant x/6 artı c'ye eşit

ve soruyu çözmeyi tamamladık

bu soru o kadar da

kötü değildi