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Consideremos a integral indefinida de 1
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sobre 36 mais x ao quadrado d x
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Como podem imaginar, esta integral não é fácil de
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resolver sem trigonometria.
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Não se pode usar o método da substituição, não temos a derivada
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disto disponível em lugar nenhum.
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Seria fácil se tivessemos um 2x ali.
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Se assim fosse, diria "ah, a derivada disto é 2x",
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Poderia aplicar o método da substituição e pronto.
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Mas não há nenhum 2x, portanto como resolver?
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Bem, recorreremos às nossas identidades trigonométricas.
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Vamos ver que identidade trigonométrica podemos obter.
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A primeira coisa que eu faço é o seguinte
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Repare-se que isto é uma constante mais
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algo elevado ao quadrado, o que me indica que deverei usar uma
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indentidade trigonométrica.
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No entanto, é desejável que fosse 1 mais algo elevado ao quadrado.
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Vou só reescrever o integral como se fosse igual
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vou escrever o dx no numerador.
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Isto não é mais do que "vezes dx".
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Vou escrever uma integral melhor do que esta.
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Isto é igual ao integral d x sobre 36 vezez 1
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mais x ao quadrado sobre 36.
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1 mais x ao quadrado sobre 36, é outra forma de
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escrever a integral.
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Vamos ver se alguma das nossas identidades trigonométricas podem de alguma maneira ser
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substituídas aqui para
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simplificar o problema.
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Aquela que surge de imediato, e se ainda não a conhecem
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eu escrevo-a aqui mesmo, é um mais
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tangente ao quadrado de teta.
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Vamos provar.
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Tangente ao quadrado de teta é igual a 1 mais apenas a
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definição de tangente, seno ao quadrado de teta sobre
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co-seno ao quadrado de teta.
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Ora, 1 é igual a co-seno ao quadrado sobre co-seno ao quadrado.
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Logo, posso reescrever isto como sendo igual a co-seno ao quadrado de theta sobre
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co-seno ao quadrado de theta, que é 1, mais seno ao quadrado de theta sobre
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co-seno ao quadrado de theta, uma vez que agora temos um
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denominador comum.
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Agora, o que é co-seno ao quadrado mais seno ao quadrado?
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Fórmula Fundamental da Trigonometria.
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Isso é igual a 1 sobre co-seno ao quadrado de teta.
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Ou podemos dizer que é igual a 1 sobre co-seno ao quadrado.
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1 sobre co-seno é secante.
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Portanto, isto é igual à secante ao quadrado de teta.
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Se fizermos a substituição, se dissermos que vamos tornar isto aqui
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igual à tangente de teta, ou tangente
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ao quadrado de teta.
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Então esta expressão será 1 mais tangente ao quadrado de teta.
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Que é igual à secante ao quadrado.
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Talvez isto nos ajude a simplificar esta equação um bocado.
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Vamos dizer que x ao quadrado sobre 36 é igual a
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tangente ao quadrado de theta.
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Vamos retirar a raíz quadrada de ambos os membros desta equação e
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teremos x sobre 6 é igual à tangente de teta, ou x
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é igual a 6 tangente de teta.
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Se tirarmos a derivada de ambos os membros, respeitando teta,
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teremos d x teta igual a...
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Qual a derivada da tangente de teta?
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Poderia-vos mostrar simplesmente a partir destes
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princípios básicos.
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Pensando melhor, vou-vos mostrar.
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Portanto, a derivada da tangente de theta - praticar nunca magoou ninguém
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deixem-me fazer aqui.
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Irá ser 6 vezes a derivada, respeitando
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o teta da tangente de teta.
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Que teremos de resolver, portando vamos resolver.
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A derivada da tangente de teta, que é o mesmo
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que d d teta do seno de teta sobre co-seno de teta.
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É apenas a derivada da tangente.
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Ou isto é o mesmo que a derivada respeitando teta,
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deixem-me rolar um bocadinho para a direita.
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Como eu nunca me lembro da regra do quociente, (já vos expliquei
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no passado que não vale a pena decorá-la) de seno de teta vezes
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co-seno de teta elevado a -1.
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Isto é igual a...?
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Podemos dizer que é igual
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primeira expressão ou a primeira função, podemos dizer que
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é apenas o cosseno de teta.
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Isso é igual ao cosseno de teta, que é apenas o
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derivada do seno de teta vezes nossa segunda expressão.
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Vezes o cosseno de teta ao menos 1.
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Eu coloquei esses parênteses e colocar lá fora, a menos 1
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porque não queria colocar o sinal de menos 1 aqui e torná-lo
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acho que eu estou falando sobre um cosseno inverso ou um arco cosseno.
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Assim que é a derivada do seno cosseno de vezes e agora
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quero levar mais a derivada do cosseno.
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Não apenas o cosseno, os derivativos se cosseno ao menos 1.
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Portanto, é menos 1 vezes cosseno ao menos 2 poder de teta.
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Que é a derivada do tempo fora do
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derivado do interior.
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Deixe-me rolar ao longo de mais.
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É isso que a derivada do lado de fora.
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Se a teta de cosseno era apenas um x, você diria x para o sinal de menos
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1 derivada é menos 1 x ao menos 2.
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Agora vezes a derivada do interior.
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Do cosseno de teta com relação a teta.
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É isso que vezes menos seno de teta.
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Vou multiplicar tudo isso vezes seno de teta.
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A derivada desta coisa, qual é o material verde,
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vezes a primeira expressão.
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Então, o que isso é igual?
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Estes cosseno de teta dividido pelo cosseno do
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Teta, que é igual a 1.
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Eu tenho um sinal de menos 1 e tenho um sinal de subtração seno de teta.
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Que é plus plus.
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O que eu tenho?
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Eu tenho o seno ao quadrado, seno de seno de tempo teta de teta
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sobre cosseno ao quadrado.
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Assim, além de praças de seno de teta sobre cosseno ao quadrado de teta.
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Que é igual a 1 mais tangente ao quadrado de teta.
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O que é 1 mais tangente ao quadrado de teta?
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Apenas mostrei que.
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Que é igual ao quadrado de teta de secante.
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Então, a derivada da tangente de teta é igual a
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secante ao quadrado de teta.
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Todos os que trabalham para obter-nos bastante algo--é bom
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Quando se trata de simples.
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Então d x d teta, isso é apenas igual a secante
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quadrado de teta.
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Se queremos descobrir o que p x é igual a, d, x é igual a
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apenas dois lados times d teta.
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Por isso é teta de secante ao quadrado 6 vezes d teta.
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Que é o nosso x d.
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Claro, no futuro vamos ter que voltar
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Substitua, por isso queremos resolver para teta.
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Isso é bastante simples.
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Basta ter o arco tangente de ambos os lados desta equação.
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Você obter que o arco tangente de x mais 6 é igual a teta.
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Vamos guardar isso para mais tarde.
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Assim, o que é nosso integral reduzida a?
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Nosso integral torna-se agora a integral de x d?
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O que é d x?
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É 6 de secante ao quadrado de teta teta d.
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Tudo isso sobre esse denominador, que é de 36
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Times 1 plus tangente ao quadrado de teta.
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Sabemos que esta ali é secante ao quadrado de teta.
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Mostrei isso várias vezes.
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Então isso é secante ao quadrado de teta no denominador.
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Temos uma secante ao quadrado no numerador, cancelam para fora.
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Para que aqueles se cancelam.
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Assim são integral reduz a, sorte para nós, 6/36 que
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é apenas 1/6 d teta.
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Que é igual a 1/6 teta mais c.
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Agora substituímos de volta usando este resultado.
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Teta é igual ao arco-tangente de x sobre 6.
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O anti-derivada 1 sobre 36 mais x ao quadrado é
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igual a 1/6 vezes teta.
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Teta é simplesmente igual ao arco-tangente x sobre 6 mais c.
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E nós terminamos.
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Então essa não foi tão ruim assim.
