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Digamos que nós temos a integral
indefinida de
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1 dividido por 36 mais x elevado
ao quadrado dx.
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Esta não é uma integral fácil de
resolver
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sem o uso de trigonometria.
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Eu não posso fazer substituição u nem
tenho a derivada disto
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em algum lugar.
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Isto seria fácil se eu tivesse 2x
ali.
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Então poderíamos dizer: a derivada
disto é 2x,
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faríamos a substituição u e estaria
resolvido.
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Mas não tem 2x ali, então o
que faremos?
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Vamos recorrer às nossas identidades
trigonométricas.
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Vamos ver qual poderá ser usada aqui.
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A primeira coisa que eu faço,
(este é o modo como eu penso),
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é ver que isto é uma
constante mais
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algo elevado ao quadrado, o que indica
que eu devo usar
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identidades trigonométricas.
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Mas eu prefiro em termos na forma 1 mais
algo elevado ao quadrado.
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Eu vou reescrever minha integral ao lado
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passando o dx para
o numerador.
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Isto é 1 vezes dx.
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Isto é igual à integral de dx dividido
por 36 vezes um mais
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x ao quadrado dividido
por 36.
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Esta é uma outra forma
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de escrever minha integral.
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Vejamos se podemos substituir
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alguma identidade
trigonométrica aqui
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que simplifique o problema
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A primeira que vem à cabeça é
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um mais tangente de teta elevado
ao quadrado
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Vamos provar esta:
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tangente ao quadrado de theta é igual a 1
mais
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(pela definição da tangente)
seno ao quadrado de teta
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dividido pelo cosseno ao quadrado
de teta.
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Um é cosseno ao quadrado
sobre seno ao quadrado.
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Então eu posso reescrever o um como
cosseno ao quadrado de teta
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dividido por cosseno ao quadrado de teta,
mais seno ao quadrado de teta
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dividido por cosseno ao quadrado
de teta.
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Agora nós temos um
denominador comum.
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Mas o que é cosseno ao quadrado mais
seno ao quadrado?
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A definição do círculo unitário.
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Que é igual a um dividido por cosseno
ao quadrado de teta.
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Ou, já que um dividido por cosseno
de teta é a secante de teta,
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podemos dizer que esta equação
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é igual a secante ao quadrado de teta.
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Se nós substituirmos x ao quadrado
dividido por trinta e seis
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por tangente ao quadrado de teta,
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esta expressão será um mais tangente ao
quadrado de teta.
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Que é igual à secante ao quadrado
de teta.
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Talvez isto simplifique um pouco
a equação.
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Então vamos dizer que x ao quadrado
dividido por 36
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é igual a tangente ao
quadrado de teta
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Vamos tirar a raiz quadrada de ambos
os lados desta equação e
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daí temos x dividido por seis igual
a tangente de teta, ou x
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é igual a seis vezes tangente de teta.
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Se derivarmos ambos os lados
em relação à teta
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temos dx sobre d_teta é igual a:
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(qual é a derivada da tangente de teta?)
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Podemos descobrir isto baseados
nestes princípios
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básicos aqui.
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A derivada da tangente de teta
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é 6 vezes a derivada em relação à teta
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da tangente de teta.
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Agora vamos descobrir qual é a
derivada da tangente de teta.
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A derivada da tangente de
teta é o mesmo que
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derivada em relação à teta do seno
de teta dividido pelo cosseno de teta.
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Isto é simplesmente a derivada
da tangente.
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Ou isto é a mesma coisa que a
derivada em relação à teta,
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(vamos mover um pouco à direita)
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Já que eu nunca lembro a
regra do quociente
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do seno de teta multiplicado pelo
o cosseno de teta
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elevado à potencia -1.
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Qual é o resultado disto?
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Isto é igual a derivada da primeira
expressão
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ou a primeira função, que é
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simplesmente cosseno de teta.
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Isto é igual ao cosseno de teta (derivada
do seno de teta)
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multiplicado pela segunda expressão
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que é cosseno de teta elevado à menos um.
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Eu envolvi a equação em parenteses
e elevei à menos um
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para deixar claro que não estou
falando do inverso do cosseno
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(que seria arco cosseno) e sim do
inverso de toda expressão.
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Então, esta é a derivada do seno
multiplicado pelo cosseno mais
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a derivada do cosseno.
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Não simplesmente o cosseno, a derivada
do cosseno elevado à -1.
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Isto resulta em menos um multiplicado pelo
cosseno elevado à -2 de teta.
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Esta é a derivada da componente exterior
multiplicada pela derivada da
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componente interior.
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(vamos mover um pouco mais à direita)
-
Esta é a derivada da
parte exterior.
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Se cosseno de teta fosse x, você
diria que a derivada
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de x elevado à -1 é menos
um x elevado à menos dois.
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Agora multiplicando pela derivada
da parte interior
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do cosseno de teta em relação à teta.
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Isto é, multiplicado por menos
seno de teta.
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E vamos multiplicar tudo isto por
seno de teta.
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A derivada disto (o que esta escrito
em verde)
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multiplicado pela primeira expressão.
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Então no que isto tudo resulta?
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Este cosseno de teta, dividido
por cosseno de teta
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é igual a um.
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E ainda temos -1 aqui e menos
seno de teta
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isto resulta em um sinal positivo.
O resultado fica:
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Seno ao quadrado de teta
(seno de teta vezes seno de teta)
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sobre cosseno ao quadrado.
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Então: um mais seno ao quadrado de teta
sobre cosseno ao quadrado de teta.
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Que é igual a um mais tangente ao quadrado
de teta.
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Mas o que é um mais tangente
ao quadrado de teta?
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Isto é igual a secante ao
quadrado de teta.
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Então: a derivada da tangente de teta
é igual a
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secante ao quadrado de teta.
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Todo este trabalho para descobrirmos que
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dx d_teta é igual a secante
ao quadrado de teta.
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Se quisermos saber o que é dx,
multiplicamos ambos os lado
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por d_teta.
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Isto é igual a seis vezes secante ao
quadrado de teta d_teta.
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Este é o nosso dx.
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Claro, depois vamos querer
substituir aqui
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e resolver para teta.
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Isto é bastante simples.
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Basta pegar o arco seno de ambos os
lados da equação.
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Você tem que o arco tangente de x
sobre seis é igual a teta.
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Vamos separar esta expressão
para mais tarde.
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De volta a nossa integral: a que
ela ficou reduzida?
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A nossa integral se tornou a
integral de dx.
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Mas o que é dx?
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dx é seis secante ao quadrado
de teta d_teta.
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Tudo isto sobre 36
multiplicado por
-
um mais tangente ao
quadrado de teta.
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Mas nós sabemos que isto é igual a
secante ao quadrado de teta.
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Eu demonstrei isto várias vezes.
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Então a secante ao quadrado
de teta no
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numerador e denominador
se cancelam
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Então estas se cancelam...
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E a integral se resume a seis
dividido por trinta e seis
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que é apenas um sobre seis d_teta.
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Que é igual a um sobre
seis teta mais c.
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Agora podemos substituir
usando este resultado.
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Teta é igual ao arco tangente de
x sobre seis.
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A anti-derivada de um sobre trinta
e seis mais x ao quadrado é
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igual a um sobre seis
vezes teta.
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Teta é igual ao arco tangente de x
sobre seis mais c.
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E terminamos
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Esta não foi lá tão difícil.
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Legendado por [ José Irigon]
