Inverse Matrix (part 1)

Edit subtitles

0:01 - 0:05

我們已經學習了矩陣加法、矩陣減法和矩陣乘法
0:05 - 0:09

你們可能會想，有沒有對應的矩陣除法呢？
0:09 - 0:12

在講這一點之前，我先介紹一些別的概念
0:12 - 0:14

然後我們會看到
0:14 - 0:16

真正的矩陣除法可能不存在
0:16 - 0:17

但存在與除法類似的運算
0:17 - 0:22

在此之前，我先講什麽叫“單位方陣”
0:22 - 0:25

“單位方陣”是這樣一個矩陣：
0:25 - 0:29

大寫的 I 表示一個“單位方陣”
0:29 - 0:35

當我用它乘上另一個矩陣A
0:35 - 0:37

其實我不知道這個點該不該寫，先不管它
0:37 - 0:39

當 I 乘以另一個矩陣A
0:39 - 0:41

得到的結果仍然是A
0:41 - 0:47

或者說當A乘以單位方陣 I 時，結果仍是A
0:47 - 0:49

這樣的矩陣 I 就叫“單位方陣”
0:49 - 0:53

我們都知道矩陣乘法裏，順序很重要
0:53 - 0:55

並不是任何兩個矩陣A和B
0:55 - 0:57

都有A乘以B等於B乘以A
0:57 - 1:01

這裡是特殊的情況，因爲 I 是特殊的矩陣
1:01 - 1:03

據上節課的知識可以看出
1:03 - 1:07

I 能量和A相乘，說明 I 的行數等於A的列數
1:07 - 1:11

相乘的結果爲A，說明 I 的行數也等於A的行數
1:11 - 1:14

說明A是一個“方塊矩陣”，也就是行數等於列數
1:14 - 1:17

同理可以推出 I 也是維度相同的方塊矩陣
1:17 - 1:19

如果不是方塊矩陣
1:19 - 1:22

那麽它們最多只能以一種順序相乘
1:22 - 1:26

即是說“單位方陣”首先必定是“方塊矩陣”
1:26 - 1:29

你們可以好好想想這個道理
1:29 - 1:31

不管怎樣，我們已經定義了“單位方陣”
1:31 - 1:33

那麽它具體是什麽樣子的呢？
1:33 - 1:35

實際上很簡單
1:35 - 1:41

如果其維度是2×2，那麽單位方陣就是1, 0, 0, 1
1:43 - 1:50

如果是3×3，那麽單位方陣就是1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
1:50 - 1:52

我想你們已經能看出規律了
1:52 - 1:58

如果是4×4，那麽單位方陣就是1, 0, 0, 0
1:58 - 2:01

0, 1, 0, 0
2:01 - 2:03

0, 0, 1, 0
2:03 - 2:05

0, 0, 0, 1
2:06 - 2:10

我們可以推廣到n維的情況
2:10 - 2:14

只需把從左上到右下的對角線都填上1
2:14 - 2:17

其余的位置填0就行了
2:17 - 2:19

這就是“單位方陣”的定義和性質
2:19 - 2:21

現在我們來驗證一下
2:21 - 2:25

我們用這個2×2的單位方陣來乘以另一個矩陣
2:25 - 2:27

看看結果是不是不變
2:27 - 2:31

我們拿“單位方陣”1, 0, 0, 1
2:31 - 2:34

乘以一個通型的矩陣
2:35 - 2:37

以便證明其對所有的數字都成立
2:37 - 2:39

設其元素爲a, b, c, d
2:41 - 2:44

那麽乘積是多少？
2:45 - 2:48

我們用這一行乘以這一列
2:48 - 2:51

1乘以a，加上0乘以c，得a
2:51 - 2:53

然後是這一行乘以這一列
2:53 - 2:56

1乘以b，加上0乘以d，得b
2:56 - 2:59

然後是這一行乘以這一列
2:59 - 3:02

0乘以a，加上1乘以c，得c
3:02 - 3:04

最後，這一行乘以這一列
3:04 - 3:07

0乘以b，加上1乘以d
3:07 - 3:09

也就是d
3:09 - 3:11

這就是最後的結果
3:11 - 3:13

你們也可以換個順序試試
3:13 - 3:15

應該是個有趣的練習
3:15 - 3:19

實際上，做個3×3的練習可能更好
3:19 - 3:21

你將看到它也是成立的
3:21 - 3:23

你可以好好想想其中的原因
3:23 - 3:27

原因在於，我們是從第一個矩陣截取行向量
3:27 - 3:30

從第二個矩陣截取行向量
3:30 - 3:36

比如說，當你用這個行向量乘以這個行向量時
3:37 - 3:40

實際上是將對應的元素相乘，對不對？
3:40 - 3:42

所以除了行向量的第一個元素
3:42 - 3:45

其他元素都會被0消去
3:45 - 3:47

因此結果就只剩下a
3:47 - 3:48

第二列類似
3:48 - 3:50

除了第一個元素以外，都被0消掉
3:50 - 3:52

所以只剩下b
3:52 - 3:54

同理，這個行向量將把第二個元素留下
3:54 - 3:56

所以這裡只會剩下c
3:56 - 3:58

它乘以它，只會剩下c
3:58 - 4:01

而它乘以它，則只剩下d
4:01 - 4:05

推廣到3維甚至n維，道理都是一樣
4:06 - 4:09

所以，單位方陣是個有趣的東西
4:09 - 4:12

接下來我們來看看所謂的“矩陣除法”
4:12 - 4:18

在實數運算裏，如果用1乘以a，結果還是a
4:18 - 4:24

我們也知道，拿a分之1乘以a，結果是1
4:24 - 4:27

這裡說的是實數運算，與矩陣無關
4:28 - 4:31

你們都知道，這個叫做a的倒數
4:31 - 4:33

就相當於除以a，對不對？
4:34 - 4:37

矩陣運算裏有與之對應的東西嗎？
4:37 - 4:40

我先換種顏色，這種綠色用得太多了
4:40 - 4:43

對於一個矩陣A
4:44 - 4:48

存不存在一個矩陣，稱之爲A的逆矩陣
4:48 - 4:51

使得它乘上A，結果爲——
4:51 - 4:57

不是數字1，而是矩陣世界裏與1對應的單位方陣 I 呢？
4:59 - 5:03

如果調換兩者的順序仍然成立，那就更好了
5:03 - 5:07

即是說，A乘以A的逆矩陣
5:07 - 5:10

結果也應該是同一個單位方陣I
5:10 - 5:13

想想看，如果這兩個式子同時成立
5:13 - 5:17

那麽實際上A也是“A的逆矩陣”的逆矩陣
5:17 - 5:19

即兩者互爲逆矩陣
5:19 - 5:21

這就是我想要說的
5:21 - 5:23

實際上，這樣的矩陣是存在的
5:23 - 5:25

正如我上面已經再三提到的
5:25 - 5:27

它叫做A的逆矩陣
5:27 - 5:30

接下來我要演示如何算得逆矩陣
5:31 - 5:32

現在開始
5:32 - 5:34

我們將看到，計算一個2×2逆方陣矩陣
5:34 - 5:36

實際上有個很直接的公式
5:36 - 5:38

不過你可能會疑惑
5:38 - 5:44

人們是怎麽想出這麽個公式或者說算法的
5:44 - 5:46

3×3的逆矩陣，則有點棘手
5:46 - 5:49

4×4的逆矩陣，就要花上你一整天了
5:49 - 5:51

5×5，如果你計算一個5×5的逆矩陣
5:51 - 5:54

那是肯定會因粗心而出錯的
5:54 - 5:57

所以最好還是留給計算機來做
5:57 - 6:00

先不管這麽多，具體方法是怎樣呢？
6:00 - 6:03

我們來實際操作一遍，然後再做個驗證
6:03 - 6:14

如果有個矩陣A: a, b, c, d
6:14 - 6:16

要求它的逆矩陣
6:16 - 6:18

它的逆矩陣就是——
6:18 - 6:20

這看上去就像是個魔法
6:20 - 6:23

以後的影片裏，我會稍加解釋
6:23 - 6:25

或者直接告訴你整個來龍去脈
6:25 - 6:28

但是現在請先記牢以下步驟
6:28 - 6:32

以便建立起計算逆矩陣的信心
6:32 - 6:40

它就等於1比上“a乘以d減去b乘以c”
6:41 - 6:44

即是“ad減去bc”
6:45 - 6:53

這個分母，ad減去bc，稱爲矩陣A的行列式
6:54 - 6:57

這一部分是一個數字，一個純量
6:57 - 7:00

我們拿這個純量乘上這樣一個矩陣
7:00 - 7:02

交換原矩陣中a和d的位置
7:02 - 7:04

即交換左上和右下的元素
7:04 - 7:06

即是d和a
7:07 - 7:11

然後取右上和左下元素的負值
7:11 - 7:15

即是負c和負b
7:18 - 7:21

再說一遍，你們現在只需死記下來
7:21 - 7:24

我保證在以後的影片裏做更多的講解
7:24 - 7:27

實際上，這裡的行列式是個複雜的東西
7:27 - 7:29

高中的課堂上不會細講
7:29 - 7:31

只要求你會算就行
7:31 - 7:33

但是我打算多講點
7:33 - 7:35

那麽它到底是什麽呢？
7:35 - 7:36

它也稱爲A的行列式
7:36 - 7:39

考試的時候，也許會讓你求某個矩陣A的行列式
7:39 - 7:41

說的就是這個
7:41 - 7:44

它寫成“矩陣A加上絕對值符號”
7:44 - 7:47

它的值等於ad減去bc
7:47 - 7:51

所以這個純量可叫做“1比上其行列式”
7:51 - 7:53

所以可以這樣寫：A的逆矩陣等於
7:53 - 8:01

1比上其行列式，再乘以矩陣d, 負b, 負c, a
8:01 - 8:04

就是你所看到的這個式子
8:04 - 8:06

我們來用它算一道題
8:06 - 8:08

你會看到，實際上它並不那麽恐怖
8:10 - 8:13

我們換個字母，並不一定要一直用A來表示
8:13 - 8:16

比如說一個矩陣B
8:19 - 8:21

我來隨便挑幾個數字
8:21 - 8:28

3, 負4, 2, 負5
8:30 - 8:34

要求B的逆矩陣
8:34 - 8:36

首先求“1比上B的行列式”
8:36 - 8:38

B的行列式是多少？
8:38 - 8:42

它是3乘以負5，減去2乘以負4
8:42 - 8:47

3乘以負5得負15，再減去
8:47 - 8:50

2乘以負4得負8
8:51 - 8:55

負負得正，所以是加上8
8:56 - 8:59

用這個數乘上什麽？
9:06 - 9:08

把這兩個元素交換下位置
9:08 - 9:11

所以是負5和3
9:11 - 9:17

這兩個元素取負，即是負2和4
9:19 - 9:22

我們來看看能不能化簡一下
9:22 - 9:24

B的逆矩陣等於——
9:24 - 9:28

負15加8，就是負7
9:28 - 9:31

所以這裡是負的7分之1
9:31 - 9:35

就是說B的行列式等於負7
9:36 - 9:45

最終結果是負7分之1乘以矩陣：負5, 4, 負2, 3
9:46 - 9:48

前面這一部分是個純量，是個數字
9:48 - 9:51

所以用它乘以每一個元素
9:52 - 9:56

這裡負負得正，等於5/7
9:57 - 10:00

這裡是負4/7
10:01 - 10:04

來看看這裡，是正2/7
10:06 - 10:10

最後是負3/7
10:11 - 10:14

看起來有點麻煩，盡是些分數
10:14 - 10:18

接下來我們來驗證這確實是B的逆矩陣
10:18 - 10:20

我們把它們相乘
10:20 - 10:25

這之前我先騰點地方
10:31 - 10:33

這些都不需要了
10:34 - 10:36

全部擦掉，好的
10:36 - 10:41

我們來驗證，B乘以它，或者用它乘以B
10:41 - 10:43

結果真的等於單位方陣
10:43 - 10:46

現在開始，先換個顏色
10:47 - 10:50

如果前面都沒算錯的話
10:50 - 11:03

B的逆矩陣就是5/7, 負4/7, 2/7, 負3/7
11:04 - 11:05

這是B的逆矩陣
11:05 - 11:12

拿它乘以B：3, 負4, 2, 負5
11:14 - 11:19

這裡是乘積矩陣的位置，留點計算的空間
11:21 - 11:23

再換種顏色
11:23 - 11:27

先用這一行乘以這一列
11:28 - 11:37

5/7乘以3等於多少？15/7
11:41 - 11:45

加上負4/7乘以2
11:45 - 11:50

負4/7乘以2等於負——
11:53 - 11:57

這前面沒算錯吧，5乘以3得15
11:58 - 12:05

負4乘以2得負8，對沒錯，得負8/7
12:06 - 12:08

下面用這一行乘以這一列
12:08 - 12:16

5乘以負4得負20，所以是負20/7
12:17 - 12:31

加上負4/7乘以負5，得到正20/7
12:33 - 12:35

我的大腦已經轉不過來了
12:35 - 12:39

又是矩陣，又是分數，又是負數的
12:39 - 12:42

但這是練習乘法的好機會
12:42 - 12:44

繼續往下算
12:44 - 12:47

我們來算左下角的元素
12:47 - 12:49

我們要用這一行乘以這一列
12:49 - 12:53

所以是2/7乘以3，得6/7
12:54 - 13:00

加上負3/7乘以2，就是負6/7
13:00 - 13:03

只剩一個元素了，最後的沖刺
13:03 - 13:13

2/7乘以負4，得負8/7
13:15 - 13:18

加上負3/7乘以負5
13:18 - 13:24

負負得正，結果是正15/7
13:26 - 13:28

化簡一下，得到什麽？
13:28 - 13:33

15/7減去8/7是7/7，也就是1
13:33 - 13:35

這裡等於0，很顯然
13:35 - 13:39

這裡也是0，6/7減去6/7等於0
13:39 - 13:44

最後是負8/7加上15/7，得7/7，也等於1
13:44 - 13:46

這就是最後的結果
13:46 - 13:48

也就是說我們前面得出的確實是B的逆矩陣
13:48 - 13:51

實際上驗證比計算更難
13:51 - 13:54

因爲這些個分數和負數的乘法
13:54 - 13:57

希望你們對這個結果滿意
13:57 - 14:00

你們可以試試用另一種順序相乘
14:00 - 14:02

你們會發現最後得到同樣的單位方陣
14:02 - 14:06

不管怎樣，這就是計算2×2逆方陣矩陣的方法
14:06 - 14:08

在下一段影片裏，我們會看到
14:08 - 14:12

計算3×3的逆矩陣會更加有趣
14:12 - 14:14

再會

Title:: Inverse Matrix (part 1)
Description:: 2x2矩阵的求逆

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Video Language:: English
Duration:: 14:14

David Chiu added a translation

Chinese, Traditional subtitles

Revisions

Revision 1

David Chiu

Inverse Matrix (part 1)

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