矩阵求逆之一

2x2矩阵的求逆

我们已经学习了矩阵加法、矩阵减法和矩阵乘法

你们可能会想，有没有对应的矩阵除法呢？

在讲这一点之前，我先介绍一些别的概念

然后我们会看到

真正的矩阵除法可能不存在

但存在与除法类似的运算

在此之前，我先讲什么叫“单位矩阵”

“单位矩阵”是这样一个矩阵：

大写的 I 表示一个“单位矩阵”

当我用它乘上另一个矩阵A

其实我不知道这个点该不该写，先不管它

当 I 乘以另一个矩阵A

得到的结果仍然是A

或者说当A乘以单位矩阵 I 时，结果仍是A

这样的矩阵 I 就叫“单位矩阵”

我们都知道矩阵乘法里，顺序很重要

并不是任何两个矩阵A和B

都有A乘以B等于B乘以A

这里是特殊的情况，因为 I 是特殊的矩阵

据上节课的知识可以看出

I 能和A相乘，说明 I 的行数等于A的列数

相乘的结果为A，说明 I 的行数也等于A的行数

说明A是一个“方块矩阵”，也就是行数等于列数

同理可以推出 I 也是维度相同的方块矩阵

如果不是方块矩阵

那么它们最多只能以一种顺序相乘

即是说“单位矩阵”首先必定是“方块矩阵”

你们可以好好想想这个道理

不管怎样，我们已经定义了“单位矩阵”

那么它具体是什么样子的呢？

实际上很简单

如果其维度是2×2，那么单位矩阵就是1, 0, 0, 1

如果是3×3，那么单位矩阵就是1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1

我想你们已经能看出规律了

如果是4×4，那么单位矩阵就是1, 0, 0, 0

0, 1, 0, 0

0, 0, 1, 0

0, 0, 0, 1

我们可以推广到n维的情况

只需把从左上到右下的对角线都填上1

其余的位置填0就行了

这就是“单位矩阵”的定义和性质

现在我们来验证一下

我们用这个2×2的单位矩阵来乘以另一个矩阵

看看结果是不是不变

我们拿“单位矩阵”1, 0, 0, 1

乘以一个通型的矩阵

以便证明其对所有的数字都成立

设其元素为a, b, c, d

那么乘积是多少？

我们用这一行乘以这一列

1乘以a，加上0乘以c，得a

然后是这一行乘以这一列

1乘以b，加上0乘以d，得b

然后是这一行乘以这一列

0乘以a，加上1乘以c，得c

最后，这一行乘以这一列

0乘以b，加上1乘以d

也就是d

这就是最后的结果

你们也可以换个顺序试试

应该是个有趣的练习

实际上，做个3×3的练习可能更好

你将看到它也是成立的

你可以好好想想其中的原因

原因在于，我们是从第一个矩阵截取行向量

从第二个矩阵截取列向量

比如说，当你用这个行向量乘以这个列向量时

实际上是将对应的元素相乘，对不对？

所以除了列向量的第一个元素

其他元素都会被0消去

因此结果就只剩下a

第二列类似

除了第一个元素以外，都被0消掉

所以只剩下b

同理，这个行向量将把第二个元素留下

所以这里只会剩下c

它乘以它，只会剩下c

而它乘以它，则只剩下d

推广到3维甚至n维，道理都是一样

所以，单位矩阵是个有趣的东西

接下来我们来看看所谓的“矩阵除法”

在实数运算里，如果用1乘以a，结果还是a

我们也知道，拿a分之1乘以a，结果是1

这里说的是实数运算，与矩阵无关

你们都知道，这个叫做a的倒数

就相当于除以a，对不对？

矩阵运算里有与之对应的东西吗？

我先换种颜色，这种绿色用得太多了

对于一个矩阵A

存不存在一个矩阵，称之为A的逆矩阵

使得它乘上A，结果为——

不是数字1，而是矩阵世界里与1对应的单位矩阵 I 呢？

如果调换两者的顺序仍然成立 ，那就更好了

即是说，A乘以A的逆矩阵

结果也应该是同一个单位矩阵I

想想看，如果这两个式子同时成立

那么实际上A也是“A的逆矩阵”的逆矩阵

即两者互为逆矩阵

这就是我想要说的

实际上，这样的矩阵是存在的

正如我上面已经再三提到的

它叫做A的逆矩阵

接下来我要演示如何算得逆矩阵

现在开始

我们将看到，计算一个2×2矩阵的逆矩阵

实际上有个很直接的公式

不过你可能会疑惑

人们是怎么想出这么个公式或者说算法的

3×3的逆矩阵，则有点棘手

4×4的逆矩阵，就要花上你一整天了

5×5，如果你计算一个5×5的逆矩阵

那是肯定会因粗心而出错的

所以最好还是留给计算机来做

先不管这么多，具体方法是怎样呢？

我们来实际操作一遍，然后再做个验证

如果有个矩阵A: a, b, c, d

要求它的逆矩阵

它的逆矩阵就是——

这看上去就像是个魔法

以后的视频里，我会稍加解释

或者直接告诉你整个来龙去脉

但是现在请先记牢以下步骤

以便建立起计算逆矩阵的信心

它就等于1比上“a乘以d减去b乘以c”

即是“ad减去bc”

这个分母，ad减去bc，称为矩阵A的行列式

这一部分是一个数字，一个标量

我们拿这个标量乘上这样一个矩阵

交换原矩阵中a和d的位置

即交换左上和右下的元素

即是d和a

然后取右上和左下元素的负值

即是负c和负b

再说一遍，你们现在只需死记下来

我保证在以后的视频里做更多的讲解

实际上，这里的行列式是个复杂的东西

高中的课堂上不会细讲

只要求你会算就行

但是我打算多讲点

那么它到底是什么呢？

它也称为A的行列式

考试的时候，也许会让你求某个矩阵A的行列式

说的就是这个

它写成“矩阵A加上绝对值符号”

它的值等于ad减去bc

所以这个标量可叫做“1比上其行列式”

所以可以这样写：A的逆矩阵等于

1比上其行列式，再乘以矩阵d, 负b, 负c, a

就是你所看到的这个式子

我们来用它算一道题

你会看到，实际上它并不那么恐怖

我们换个字母，并不一定要一直用A来表示

比如说一个矩阵B

我来随便挑几个数字

3, 负4, 2, 负5

要求B的逆矩阵

首先求“1比上B的行列式”

B的行列式是多少？

它是3乘以负5，减去2乘以负4

3乘以负5得负15，再减去

2乘以负4得负8

负负得正，所以是加上8

用这个数乘上什么？

把这两个元素交换下位置

所以是负5和3

这两个元素取负，即是负2和4

我们来看看能不能化简一下

B的逆矩阵等于——

负15加8，就是负7

所以这里是负的7分之1

就是说B的行列式等于负7

最终结果是负7分之1乘以矩阵：负5, 4, 负2, 3

前面这一部分是个标量，是个数字

所以用它乘以每一个元素

这里负负得正，等于5/7

这里是负4/7

来看看这里，是正2/7

最后是负3/7

看起来有点麻烦，尽是些分数

接下来我们来验证这确实是B的逆矩阵

我们把它们相乘

这之前我先腾点地方

这些都不需要了

全部擦掉，好的

我们来验证，B乘以它，或者用它乘以B

结果真的等于单位矩阵

现在开始，先换个颜色

如果前面都没算错的话

B的逆矩阵就是5/7, 负4/7, 2/7, 负3/7

这是B的逆矩阵

拿它乘以B：3, 负4, 2, 负5

这里是乘积矩阵的位置，留点计算的空间

再换种颜色

先用这一行乘以这一列

5/7乘以3等于多少？15/7

加上负4/7乘以2

负4/7乘以2等于负——

这前面没算错吧，5乘以3得15

负4乘以2得负8，对没错，得负8/7

下面用这一行乘以这一列

5乘以负4得负20，所以是负20/7

加上负4/7乘以负5，得到正20/7

我的大脑已经转不过来了

又是矩阵，又是分数，又是负数的

但这是练习乘法的好机会

继续往下算

我们来算左下角的元素

我们要用这一行乘以这一列

所以是2/7乘以3，得6/7

加上负3/7乘以2，就是负6/7

只剩一个元素了，最后的冲刺

2/7乘以负4，得负8/7

加上负3/7乘以负5

负负得正，结果是正15/7

化简一下，得到什么？

15/7减去8/7是7/7，也就是1

这里等于0，很显然

这里也是0，6/7减去6/7等于0

最后是负8/7加上15/7，得7/7，也等于1

这就是最后的结果

也就是说我们前面得出的确实是B的逆矩阵

实际上验证比计算更难

因为这些个分数和负数的乘法

希望你们对这个结果满意

你们可以试试用另一种顺序相乘

你们会发现最后得到同样的单位矩阵

不管怎样，这就是计算2×2矩阵的逆矩阵的方法

在下一段视频里，我们会看到

计算3×3的逆矩阵会更加有趣

再会