Inverzna Matrica (1. deo)

Računanje inverzne matrice 2x2

Učili smo o sabiranju, oduzimanju

i množenju matrica.

Pa možda se pitate, postoji li

ekvivalent deljenju matrica?

I pre nego što dođemo do toga, da vam pretstavim

neke koncepte.

I onda ćemo videti da ima nečega što možda nije

zapravo deljenje, ali je analogno tome.

I pre nego što pretstavimo to, pretstaviću vam

koncept identiteta matrice.

Dakle matrica identiteta je samo matrica.

Označiću je velikim I.

Kada to pomnožim drugom matricom... zapravo ja

neznam da li da za pišem tu tačku ovde... ali kako god,

kada pomnožim nekom matricom, ja

dobijam tu drugu matricu.

Ili, kada pomnožim tu matricu matricom identiteta,

opet dobijam tu matricu.

I važno je shvatiti kada vršimo množenje

matrice da je smer bitan.

Dao sam vam neke podatke ovde koji...

ne možemo samo pretpostavljati, kao što smo prilikom množenja

da A puta B bude uvek isto što i B puta A.

Važno je kada vršimo množenje matrica,

da potvrdimo da je bitno koji pravac koristimo

u množenju.

Ali kako god i ovo radi u oba pravca samo ako

smo suoćeni sa kvadratnim matricama.

Množenje može uspeti samo u jednom pravcu ili drugom ako je matrica

ne-kvadratna, ali ne može uspeti u oba pravca.

I možete misliti o tome prema načinu kojim smo

učili množenje matrica, zašto se to događa.

Kako god, definisao sam ovu matricu.

Sad, kako ova matrica izgleda?

To je zapravo vrlo jednostavno.

Ako imamo 2x2 matricu, matrica identiteta je 1, 0, 1, 0.

Ako želite 3x3 matricu, onda je matrica identiteta
1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.

Mislim da vidite šemu.

Ako želite 4x4, matrica identiteta je 1, 0, 0, 0,

0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.

Možete videti sve što pretstavlja ovu matricu, za datu

dimenziju... Mislim, možemo ovo produžiti na n sa n

matricu... dok god imate jedinice dijagonalno od gornjeg levog

do donjeg desnog ugla.

Sve ostalo su nule.

Dakle to sam vam rekao.

Da dokažemo da zapravo radi.

Uzmimo ovu matricu i pomnožimo je

sa nekom matricom

i dokažimo da se ta matrica ne menja.

Ako uzmemo 1, 0, 0, 1.

Pomnožimo to sa... nekom generalnom matricom.

Videćemo da ovo radi i sa brojevima.

a, b, c, d.

Čemu je ovo jednako?

Pomnožićemo ovaj red ovom kolonom.

1 puta a plus 0 puta c je a.

A ovaj red puta ova kolona.

1 puta b plus 0 puta d.

To je b.

Onda ovaj red puta ova kolona.

0 puta a plus 1 puta c je c.

I konačno, ovaj red puta ova kolona.

0 puta b plus 1 puta d.

Pa je to samo d.

Eto vam ga.

Može biti zabavna vežba probati ovo

u drugom redosledu.

I naravno još bolja je vežba probati ovo sa

matricom 3x3.

I videćete da će uspeti.

Takođe dobra je vežba misliti o tome kako ovo radi.

I ako razmislite o tome, to uspeva jer dobijate

informaciju o redu odavde, a informaciju o

koloni odavde.

U suštini kad god množite, recimo

ovaj vektor sa ovim vektorom, množite

odgovarajuće članove i sabirate ih, jel tako?

Pa ako imate 1 i 0, 0 će poništiti

sve sem prvog člana u vektoru ove kolone.

Zato vam ostaje samo a.

I zato će otkazati sve osim

prvog člana o vektoru ove kolone.

I zato vam ostaje samo b.

I slično, ovo će poništiti sve osim

drugog člana.

Zato je ostalo samo c ovde.

Ovo puta ovo.

Ostaje samo c.

Ovo puta ovo.

Ostaje samo d.

I isto važi kada pređete na

3x3 ili n sa n vektore.

To je interesantno.

Imate vektor identiteta.

Sada ako bi smo hteli da dovršimo našu analogiju...

pa da razmislimo o tome.

Znamo iz svakidašnje matematike, da ako imamo 1 puta

a, dobijamo a.

I takođe znamo da 1/a puta a... ovo je samo prosta

aritmetika, nema veze sa matricama... dobijamo 1.

I znate da ovo zovemo inverznim a.

I to je isto što i deljenje brojem a.

Da li postoji analogija u matricama?

Promeniću boje, jer sam koristio ovu zelenu

pomalo preterano.

Postoji li matrica, u kojoj ako bih ako bih imao matricu A i

pomnožio je sa tom matricom... i nazvaću to inverznom

a... postoji li matrica u koja bi mi dala, ne broj 1

već ekvivalenciju 1

u svetu matrica?

Pomoću koje bih dobio matricu identiteta?

I bilo bi još bolje ako bih mogao da obrnem

ovo množenje.

Pa A puta A inverzno bi takođe trebalo biti jednako

matrici identiteta.

I ako razmislite o tome, ako su obe ove tvrdnje tačne,

onda ne samo da je A inverzno zapravo inverzija A

već je i A takođe inverzija od A inverzno.

Tako da su one međusobno inverzne.

To sam mislio da kažem.

I ispostavlja se da postoji takva matrica.

Zove se inverzno od A što sam

rekao već tri puta.

I sada ću pokazati kako da je izračunate.

Da uradimo to.

I videćemo da je računanje za 2x2 vrlo

jednostavno.

Iako možete pomisliti da je pomalo nejasno kako

ljudi dolaze do mehanike toga ili

algoritma (čitaj - recepta) za to.

3x3 postaje pomalo čupavo.

Za 4x4 će vam trebati ceo dan.

Sa 5x5 gotovo je sigurno da će te napraviti nepažljivu grešku.

Ako biste uopšte radili inverziju 5x5 matrice.

To je bolje ostaviti računaru.

Kako god, kako bre računamo inverziju matrice?

Uradimo to, i onda ćemo potvrditi da je

zaista inverzna.

Pa, ako imam matricu A, a to je a, b, c, d.

I želim da joj izračunam inverznu.

Njena inverzija će zapravo... ovo će delovati

kao gatanje.

U budućim snimcima, daću vam malo više

intuicije o tome zašto ovo radi, ili ću vam zapravo pokazati kako

je do ovoga došlo.

Ali za sada je bolje da samo zapamtite korake,

samo da dobijete samopouzdanja da možete da

izračunate inverziju.

Imamo 1 iznad ovog broja pomnoženog ovim. a puta d

minus b puta c.

ad minus bc.

A ovaj količnik dole, ad minus bc, to se zove

determinanta matrice A.

I pomnožićemo to.

Ovo je samo broj.

Ovo je samo skalarni količnik.

I pomnožićemo to sa... zamenite

a sa d.

Zamenite gornji levo i donji desno.

I ostaje vam d i a.

I dobijete ova dva, postavite donji levi i

gornji desni... načinite ih negativnim.

Pa je to minus c i minus b.

I determinanta... još jednom ovo je nešto što

ćete morati da primite sa poverenjem za sada.

U budućim snimcima, obećavam vam više podučavanja.

Ali zapravo je sofisticirani naučiti šta

determinanta pretstavlja.

A ako radite ovo u srednjim školama vi

ćete samo morati da znate kako da je izračunate.

Iako ne volim što vam to tako govorim.

I šta je ovo?

Ovo je takođe determinanta od A.

Pa možete videti na ispitu, izračunajte

determinantu od A.

Pa da vam to pokažem.

To je označeno kao A saznakovima apsolutne vrednosti.

I jednako je ad minus bc.

Još jedan način da se ovo kaže je, ovo može biti 1 iznad

determinante.

Pa možete zapisati A inverzno je jednako 1 iznad

determinante A puta d minus b minus c, a.

Kako god da pogledamo ovo.

Ali hajde da ovo primenimo na realan problem pa ćete videti da

nija tako strašno.

Promenićemo slova, da ne mislite da to mora uvek biti

označeno sa A.

Recimo da imam matricu B.

I matrica B je 3... izabraću nasumične

brojeve... minus 4, 2 minus 5.

Izračunaćemo B inverzno.

B inverzno će biti jednako 1 iznad

determinante B.

Šta je determinanta?

To je 3 puta minus 5 minus 2 puta minus 4.

Pa 3 puta minus 5 je minus 15, minus 2 puta minus 4.

2 puta minus 4 je minus 8.

Oduzećemo to.

Pa je to plus 8.

I pomnožićemo to sa čime?

Pa, zamenili smo ova dva člana. To su minus 5 i 3

I označićemo ova dva člana negativnim.

Minus 2 i 4.

4 je bilo minus 4, pa sad postaje 4.

I da vidimo da uprostimo ovo.

Pa je B inverzno jednako minus 15 plus 8.

To je minus 7.

I na kraju to je 1/7.

Pa je determinanta od B... Možemo zapisati determinanta od B

je jednaka minus 7.

Pa je to minus 1/7 puta minus 5,4, minus 2, 3.

Što je jednako... ovo je samo skalar, ovo je samo

broj, pa ga množimo sa svakim elementom...

pa postaje jednako minus, minus, plus.

To je 5/7.

5/7 minus 4/7.

Da vidimo.

Pozitivno 2/7.

A onda minus 3/7.

Malo je čupavo.

Završismo sa razlomcima i tim stvarima.

Ali da potvrdimo da je ovo zaista inverzno

od matrice B.

Da ih pomnožimo.

Pre toga napraviću malo mesta.

ovo mi više ne treba.

Eto vam ga.

OK.

Da potvrdimo da ovo puta ovo, ili ovo puta

ovo, zaista daje matricu identiteta.

Da uradimo to.

Menjam boje.

Pa je B inverzno 5/7, ako nisam napravio

neku grešku iz nepažnje.

Minus 4/7.

2/7.

I minus 3/7.

To je B inverzno.

I pomnožimo to sa B.

3 minus 4.

2 minus 5.

I ovo će biti matrica proizvoda.

Treba mi malo mesta za računanje.

Menjam boje.

Uzimam ovaj red i množim ovom kolonom.

To je 5/7 puta 3, daje šta?

15/7.

Plus minus 4/7 puta 2.

Pa minus 4/7 puta 2 je minus... da se uverim

da je to u redu... 5 puta 3 je 15/7.

Minus 4... uhh da, da... 4 puta 2, pa minus 8/7.

Sada ćemo pomnožiti ovaj red sa ovom kolonom.

Pa 5 puta minus 4 je minus 20/7.

Plus minus 4/7 puta minus 5.

To je plus 20/7.

Moj mozak počinje da usporava, jer mora da radi množenje

matrica sa razlomcima i negativnim brojevima.

Ali ovo je odlična vežba za različite

delove mozga.

Kako god.

Idemo dole i radimo ovaj član.

Pa sada množimo ovaj red sa ovom kolonom.

Pa je 2/7 puta 3 6/7.

plus minus 3/7 puta 2.

Pa je to minus 6/7.

Još jedan član.

Malo gimnastike.

2/7 puta minus 4 je minus 8/7.

plus minus 3/7 puta minus 5.

Pa se negativni brojevi isključuju i ostaje nam plus 15/7.

I kada uprostimo, šta dobijamo?

15/7 minus 8/8 je 7/7.

Pa je to samo 1.

Ovo je 0 to je jasno.

Ovo je 0.

6/7 minus 6/7 je 0.

A onda minus 8/7 plus !5/7, to je 7/7.

To je 1 opet.

I eto vam ga.

Uspeli smo da invertujemo matricu.

I bilo je zapravo teže dokazati da je inverzna

množenjem, samo zato što smo morali da radimo sve razlomke

i negativne brojeve.

Ali nadam se da vas to zadovoljava.

I možete probati u drugom pravcu da potvrdite da

ako množite u drugom pravcu, dobili biste opet

matricu identiteta.

Kako god, tako se računa

inverzija 2x2.

I kao što ćemo videti u sledećem videu, računanje

inverzije matrice 3x3 je još zabavnije.

Vidimo se uskoro.