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Nós aprendemos sobre adição de matriz, subtração de matriz,
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multiplicação de matriz.
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Você deve estar se perguntando, há o
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equivalente da divisão de matriz?
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E antes de começar, deixe-me apresentar
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alguns conceitos.
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E então veremos que há algo que talvez
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não é exatamente uma divisão, mas é análogo a ela.
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Então, antes de mostrá-la, vou apresentar
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o conceito de uma matriz identidade.
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Então, uma matriz identidade é uma matriz.
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E vou atribuir a ela a letra I maiúscula.
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Quando eu a multiplico por outra matriz -- na verdade eu
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não sei se eu deveria escrever esse ponto aqui -- mas, de qualquer forma,
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quando eu a multiplico por outra matriz,
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eu obtenho outra matriz.
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Ou, quando eu multiplico aquela matriz pela matriz identidade,
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eu obtenho outra matriz novamente.
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E é importante perceber, que quando estamos realizando
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multiplicação de matriz, que a ordem é importante.
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Eu, na verdade, disse aqui que -- nós não podemos
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apenas assumir que quando estamos realizando uma multiplicação normal que
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a x b é sempre igual a b x a.
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É importante que quando estivermos multiplicando matriz,
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para confirmar que é importante em qual direção
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você está multiplicando.
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Mas, de qualquer forma, e isso funciona das duas formas somente se
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estivermos trabalhando com matrizes quadradas.
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Ela pode funcionar em uma direção ou outra se a matriz é
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não-quadrada, mas não funcionará das duas formas.
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E você pode pensar em como aprendemos
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multiplicação de matriz, por que isso acontece.
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Mas, de qualquer forma, eu defini esta matriz.
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Agora com o que essa matriz parece?
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Na verdade é bem simples.
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Se tivermos uma matriz 2 por 2, a matriz identidade é 1, 0, 0, 1.
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Se você quiser 3x3, é 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.
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Acho que você viu o padrão.
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Se você quiser uma 4x4, a matriz identidade é 1, 0, 0, 0
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0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.
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Então você pode ver que qualquer matriz é, para uma
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dimensão dada -- digo, podemos estender isso para uma
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matriz n x n -- é que você tem números 1 ao longo da diagonal
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do topo esquerdo para a base direita.
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E tudo o mais é zero.
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Então, eu já disse isso.
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Vamos provar que na verdade funciona.
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Vamos pegar essa matriz e multiplicá-la
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por outra matriz.
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E confirmar que aquela matriz não muda.
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Então, se pegarmos 1, 0, 0, 1.
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Vamos multiplicá-la por -- vamos fazer uma matriz geral.
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Só para você ver que isso funciona para todos os números.
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a, b, c, d.
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Então
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Vamos multiplicar esta linha por esta coluna
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1 vezes a mais 0 vezes c é igual a a
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E esta linha vezes esta coluna.
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1 vezes b mais 0 vezes d.
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É b.
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Agora, esta linha por esta coluna
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0 vezes a mais 1 vezes c.
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Então, finalmente, esta linha multiplicada por esta coluna.
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0 vezes b mais 1 vezes d.
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Bem, isto é exatamente d.
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Aqui está.
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E deve ser um exercício divertido tentar da outra
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forma também.
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E com certeza é um exercício ainda melhor tentar isto
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com uma 3x3.
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Você vai ver que tudo funciona.
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Um bom exercício é descobrir porque isto dá certo.
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E se você raciocinar, é porque você pega
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a informação da sua linha daqui e a da sua coluna, daqui.
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a informação da sua linha daqui e a da sua coluna, daqui.
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E essencialmente, sempre que estiver multiplicando, vamos dizer
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este vetor por este vetor, você está multiplicando
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e somando termos correspondentes, certo?
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Então, se tem um 1 e um 0, o 0 cancela
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tudo exceto o primeiro termo nesta coluna.
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É por isto que você fica apenas com a.
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E é por isso que o 0 vai cancelar tudo, menos
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o primeiro termo neste vetor.
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E é por isso que fica apenas o b.
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Da mesma forma, isto vai cancelar tudo aqui, menos
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o segundo termo.
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Por isso tem apenas o c lá.
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Isto vezes isto
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é exatamente o c.
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Isto vezes isto
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você tem o d.
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É é a mesma coisa com
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vetores 3x3 ou n por n.
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Então, isto é interessante.
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O vetor identidade.
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Agora, se quisermos completar nossa analogia - então
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vamos ver...
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Sabemos que, pela matemática básica, se temos 1 vezes
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a, temos a.
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E nós sabemos também que 1 sobre a vezes a - isto é matemática
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básica, não tem nada a ver com matrizes - é igual a 1.
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E, como você sabe, chamamos isto de o inverso de a.
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E é também o mesmo que dividir pelo número a.
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Será que há uma analogia em matrizes?
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Deixe eu trocar de cor, porque usei este verde
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um pouco demais.
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Existe um matriz em que, se eu tiver a matriz A e
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multiplicá-la por esta matriz -- que vou chamar de inversa
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de A -- existe uma matriz que seja, não o número
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1, mas que seja o equivalente de 1
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no mundo das matrizes?
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Que seja como a matriz identidade?
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E seria ainda melhor se eu pudesse mudar
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a ordem desta multiplicação.
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A x inversa de A poderia também ser igual à
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matriz identidade.
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Bem, se você pensar, se estas duas coisas são iguais,
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então não somente A invertida é o inverso de A, mas
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A é também o inverso de A invertida.
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Então, uma é a inversa da outra.
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Isto é o que eu queria dizer.
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O que quer dizer que existe tal matriz.
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É chamada a inversa de A, como
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já falei por três vezes.
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E agora mostrarei como calculá-la.
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Vamos em frente.
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E nós veremos que calcular para uma 2 x 2 é bem simples.
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E nós veremos que calcular para uma 2 x 2 é bem simples.
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Mesmo que você possa achar um pouco misterioso como
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alguém apareceu com este mecanismo, ou
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este algorítmo.
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3x3 é um pouco mais "peluda".
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4x4, toma o dia inteiro.
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5x5, você definitivamente está sendo descuidado
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se fizer o inverso de uma matriz 5x5.
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É melhor deixar para o computador.
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Mas, enfim, como calculamos a matriz?
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Vamos calcular, e então confirmaremos se realmente
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é a matriz invertida.
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Então, se tenho a matriz A, e ela é a, b, c, d
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e quero calcular sua inversa.
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Sua inversa é, na verdade -- isto vai
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paracer voodoo.
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Nos próximos videos, eu mostrarei com um pouco mais
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de intuição, porque isto funciona, ou, na verdade, como
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isto surgiu.
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Mas por enquanto é melhor somente memorizar as etapas,
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para ter a confiança de que
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você pode calcular uma inversa.
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É igual a este número vezes este. a x d
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-b x c.
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ad - bc.
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E esta grandeza aqui embaixo, ad - bc é que é chamada de
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determinante da matriz A.
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E vamos multiplicar isto.
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Isto é somente um número.
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Isto é somente uma grandeza escalar.
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Vamos multiplica isto por -- você troca
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o a e o d.
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Troca o número esquerdo superior com o da direita inferior.
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Então você fica com d e a.
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E estes dois, transforme o número da esquerda inferior
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e o da direita superior, transforme-os em negativo.
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Menos c, menos b.
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E o determinante - mais uma vez, é algo que
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agora você vai ter somente de acreditar.
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Em outros vídeos, no futuro, eu prometo dar mais aulas.
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Mas é realmente uma uma coisa sofisticada, aprender o que
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é uma determinante.
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E se você for fazer isto na sua aula, no colégio,
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você só precisa saber como fazer os cálculos.
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Embora eu não goste de te dizer isto.
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Então, o que é isto?
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Isto também é chamado de determinante de A.
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Quando aparecer isto em uma prova, calcule
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o determinante de A.
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Só posso lalar isto.
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E que é denotado por A com os sinais de valor absoluto.
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E que é igual a ad menos bc.
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Uma outra forma de dizer isto poderia ser 1 sobre
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determinante.
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Então, você pode escrever que a inversa de A é igual a 1
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sobre o determinante de A, vezes d, menos b, menos c, a.
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De qaulquer forma, olhe para isto.
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Mas vamos aplicar a um problema real e você verá que
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não é tão ruim .
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Vou trocar a letra, só para mostrar que não
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tem de ser sempre um A.
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Vamos dizer que tenho uma matriz B.
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E que a matriz B é 3 -- vou pegar números
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aelatórios -- -4, 2, -5.
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Vamos calcular B inversa.
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Então, B inversa vai ser igual a 1 sobre o
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determinante de B.
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Qual é o determinante?
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3 x -5, -2 x 4.
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3 x -5 é -15. 2 x - 4...
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2 x - 4 é -8.
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Vamos subtrair isto.
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Dá 8 positivo.
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Dá 8 positivo.
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E vamos multplicar isto aqui vezes... vezes... o quê?
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Bem. Trocamos estes dois termos. Assim, -5 e 3.
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Agora é só mudar estes dois termos para negativo. -2 e 4.
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Agora é só mudar estes dois termos para negativo. -2 e 4.
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4 era -4, então fica 4.
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Vamos ver se podemos simplificar um pouco mais.
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Então a inversa de B é igual a 15 + 8.
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O que dá -7.
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Aqui, então, é -1/7
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O determinante de B -- podemos escrever assim --
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é igual a -7.
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Aqui é -1/7 vezes -5, 4, -2, 3.
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O que é igual a -- isto é somente um multiplicador, um número,
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Nós o multiplicamos por cada um dos elementos --
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é igual a menos, menos, mais.
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É 5/7.
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5/7 menos 4/7.
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Vamos ver...
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2/7 positivo.
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2/7 positivo.
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E então, -3/7.
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E então, -3/7.
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É meio complicado.
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Terminamos com frações aqui.
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Mas vamos confirmar se esta é realmente a inversa
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da matriz B.
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Vamos multiplicá-las.
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Mas antes preciso criar mais espaço aqui.
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Mas antes preciso criar mais espaço aqui.
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Não preciso disso mais.
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Não preciso disso mais.
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Vamos lá.
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OK.
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Vamos confirmar se isto vezes isto, ou isto vezes
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aquilo é mesmo igual à matriz identidade.
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Vamos ver.
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Deixe trocar de cor.
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Então, B inversa é 5/7, se eu não
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me descuidei e errei.
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Menos 4/7.
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2/7.
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E menos 3/7.
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Aqui está a inversa de B.
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E deixe-me multiplicar isto por B.
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3 menos 4.
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2 menos 5.
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E isto vai ser a matriz produto.
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Preciso de algum espaço para fazer meus cálculos.
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Preciso de algum espaço para fazer meus cálculos.
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Vou trocar de cor.
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Vou pegar esta linha multiplicá-la por esta coluna.
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5/7 x 3 é igual a?
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15/7.
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Mais 4/7 vezes 2.
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-4/7 x 2 é menos... -- Deixe-me ver
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se está certo -- 5 x 15/7 é 15/7.
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-4 -- certo, certo -- -4 vezes 2, menos 8/7.
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-4 -- certo, certo -- -4 vezes 2, menos 8/7.
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Agora, multiplicar esta linha por esta coluna.
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Então, 5 x -4 é -20/7.
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Mais -4/7 x -5.
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Isto é +20/7.
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Meu cérebro está ficando devagar, tendo de fazer multiplicações
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de matriz com frações e números negativos.
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Mas é um bom exercício para várias
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partes do cérebro.
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Mas, de qualquer jeito,
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vamos fazer este termo.
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Agora multiplicamos esta linha por esta coluna.
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2/7 x 3 é 6/7.
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Mais -3/7 x 2.
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Isto é 6/7.
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Só sobrou um termo.
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Apertado.
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2/7 x -4 é -8/7.
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2/7 x -4 é -8/7.
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Mais 3/7 x -5.
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Estes cancelamos estes negativos e ficamos com +15/7.
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Se simplificarmos, o que teremos?
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15/7 - 8/7 é 7/7.
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Bem, é exatamente 1.
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Aqui é 0, óbvio.
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Isto é 0.
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6/7 - 6/7 é 0.
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E -8/7 + 15/7. é 7/7.
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1, de novo.
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E aqui está.
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Nós realmente conseguimos inverter esta matriz.
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E é realmente mais difícil provar que era a inversa
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pela multiplicação, afinal, temos de fazer toda esta matemática
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com frações e números negativos.
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Mas espero que tenham ficado satisfeitos.
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E você pode tentar fazer ao contrário e confirmar se
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você multiplicar de outra forma, também terá
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a matriz identidade.
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Mas então, é assim que se calcula
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a inversa de uma 2x2.
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E, como veremos no próximo vídeo, calcular
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o inverso de uma matriz 3x3 é ainda mais legal.
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Até lá.
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Até lá.
