Macierz odwrotna (część 1)

Odwracanie macierzy 2 na 2

Uczyliśmy się o dodawaniu macierzy, odejmowaniu macierzy,

mnożeniu macierzy.

Możecie się zastanawiać, czy istnieje

odpowiednik dzielenia dla macierzy.

Ale zanim się tym zajmiemy, przedstawie wam

kilka koncepcji.

A potem zobaczymy, że istnieje coś, co nie jest może

dokładnie dzieleniem, ale jest do niego podobne.

A więz zanim to wprowadzimy, przestawię wam

pojęcie macierzy jednostkowej.

Macierz jednostkowa to jest macierz.

Będę ją znaczał literą duże "I".

Kiedy mnożę ją przez inną macierz -- właściwie

nie wietm czy powinienem pisać tu kropkę -- tak czy inaczej

kiedy mnożę przez inną macierż,

dostaję tę inną macierz.

Albo, kiedy mnożę tę macierz przez macierz jednostkową,

otrzymuję znowu tę samą macierz.

I ważne jest, żeby pamiętać, że jak mnożymy macierze,

to kolejność ma znaczenie.

Właściwie już was o tym infomowałem tutaj, że

nie możemy po prostu założyć, kiedy mnożymy, że

a razy b jest zawse równe b razy a.

Ważne jest, kiedy mnożymy macierze,

żeby upewnić się, że kolejność mnożenia

ma znaczenie.

Tak czy inaczej, to działa w obie strony tylko wtedy,

kiedy mamy do czynienia z macierzami kwadratowymi.

To może działać w jedną stronę albo w drugą, kiedy ta macierz

nie jest kwadratowa, ale nie w obie.

I możecie myśleć o tym tylko w kontekście mnożenia macierzy

którego się nauczyliśmy, dlaczego tak się dzieje.

Tak czy inaczej, zdefiniowałem tę macierz.

Jak ta macierz właściwie wygląda?

Jest w zasadzie bardzo prosta.

Jeżeli mamy macierz 2 na 2, macierz jednostkowa ma postać 1, 0, 0, 1.

Jeżeli chcecie 3 na 3, to jest 1, 0, 0, 0 1, 0, 0, 0, 1.

Myślę, że widzicie jaki jest schemat.

Jak chcecie 4 na 4, to macierz jednostkowa ma postać 1, 0, 0, 0

0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.

Widzicie więc, że dla każdego wymiaru, mamy daną taką macierz.

Chodzi mi o to, że możemy rozszerzyć to na macierz "n" na "n",

będziemy mieli po prostu jedynki na przekątnej od lewego górnego rogu

do prawego dolnego.

A po za tym same zera.

A więc powiedziałem to wam.

Udowodnijmy, że to na prawdę działa.

Weźmy tę macierz i pomnóżmy ją

przez inną macierz.

I sprawdźmy, że ta macierz się nie zmieni.

Jeżeli więc weźmiemy 1, 0, 0, 1.

Pomnóżmy ją przez -- weźmy ogólną macierz.

Tak żebyście zobaczyli, że to działa dla dowolnych liczb.

a, b, c, d.

Czemu to się równa?

Mnożymy ten wiersz przez tę kolumnę.

1 razy a dodać 0 razy c daje a.

I ten wiersz przez tę kolumnę.

1 razy b dodać 0 razy d.

Czyli b.

Następnie ten wiersz przez tę kolumnę.

0 razy a dodać 1 razy c, daje c.

No i na koniec ten wiersz razy ta kolumna.

0 razy b dodać 1 razy d.

To jest po prostu d.

No i zrobione.

To może być zabawne ćwiczenie, spróbować

obliczyć to również w odwrotnej kolejności.

I właściwie jeszcze lepszym ćwiczeniem jest obliczenie tego

z macierzą 3x3.

I zobaczycie, że to wszystko działa.

I dobrym ćwiczeniem dla was jest zastanowienie się dlaczego to działa.

A jeżeli myślicie o tym, to dlatego że czerpiecie

waszą informację wierszową stąd a kolumnową

informację stąd.

I zasadniczo, za każdym razem, kiedy mnożycie, powiedzmy

ten wektor razy ten wektor, mnożycie odpowiadające sobie

wyrazy i dodajecie je, zgadza się?

A więc jeżeli macie 1 i 0, to 0 skasuje

wszystko oprócz pierwszego składnika tego wektora kolumnowego.

To dlatego zostaje nam tylko a.

I to dlatego zniknie wszystko oprócz

pierwszej składowej tego wektora kolumnowego.

I to dlatego zostaje nam tylko b.

I podobnie, to skasuje wszystko oprócz

drugiego składnika.

Dlatego zostaje nam tylko c tutaj.

To razy to.

Zostaje nam tylko c.

To razy to.

Zostaje nam tylko d.

I to samo ma zastosowanie, kiedy

przechodzimy do macierzy 3x3.

To jest ciekawe.

Mamy macierz jednostkową.

Teraz, jeżeli chcemy uzupełnić naszą analogię --

zastanówmy się nad tym.

Wiemy, że w zwykłej matematyce, jeżeli mamy

1 razy a, dostajemy a.

Wiemy też, że 1 przez a razy a -- to jest zwykła arytmetyka

to nie ma nic wspólnego z macierzami -- jest równe 1.

No i wiecie, że to nazywamy odwrotnością a.

I to jest to samo, co dzielenie przez liczbę a.

A więc, czy jest do tego jakaś analogia macierzowa?

Zmienię kolory, bo używałem tego zielonego

trochę za dużo.

Czy istnieje macierz taka, że jeżeli mam macierz A

i pomnożę ją przez tę macierz -- i nazwę ją macierzą

odwrotną do A -- czy istnieje macierz, która da mi w wyniku

nie liczbę 1, ale coś co jest odpowiednikiem jedynki

w świecie macierzy?

Czyli da wyniku macierz jednostkową?

I to by było bardzo fajnie, gdybym mógł w zasadzie

odwrócić to mnożenie.

A więc A razy odwrotność A powinno być

równe macierzy jednostkowej.

I jeżeli zastanowić się nad tym, jeżeli obie te rzeczy są prawdziwe,

to wtedy nie tylko odwrotność A jest macierzą odwrotną do A, ale

A jest również macierzą odwrotną do A do minus pierwszej.

Czyli one są swoimi odwrotnościami.

To wszystko co chciałem powiedzieć.

Okazuje się, że istnieje taka macierz.

Nazywa się odwotnością A,

jak już trzy razy zdążyłem powiedzieć.

A teraz pokażę wam jak można ją obliczyć.

A więc zróbmy to.

Przekonamy się, że obliczenie jej dla macierzy 2x2

jest dosyć proste.

Chociaż mogłoby się wydawać, trochę tajemnicze, jak

ludzie doszli do sposobu jej obliczania,

do algorytmu na to.

3x3 robi się trochę pracochłonne.

4x4 zajmie cały dzień.

5x5, prawie na pewno popełnicie jakiś błąd

jeżeli obliczyliście odwrotność macierzy 5 na 5.

Lepiej zostawić to komputerowi.

Tak czy inaczej, jak obliczyć macierz odwrotną?

Zróbmy to, a potem zobaczymy, że to na prawdę

jest odwrotność.

A więc jeżeli mamy macierz A, czyli a, b, c, d.

I chcę obliczyć jej odwrotność.

Jej odwrotność jest zasadniczo --

i to zabrzmi jak voodoo.

W następnych filmach, dam wam trochę więcej

intuicji na temat tego dlaczego to działa, albo pokażę

jak to zostało wyprowadzone.

Ale na razie lepiej jest po prostu zapamiętać kroki,

żebyście mieli poczucie, że wiecie

jak obliczyć odwrotność macierzy.

Równa się 1 przez ta liczba razy ta liczba, a razy d,

odjąć b razy c.

ad odjąć bc.

A ta wielkość tu na dole ad minus bc, nazywa się

wyznacznikiem macierzy A.

Musimy pomnożyć to.

To jest po prostu liczba.

To jest po prostu skalar.

I musimy pomnożyć to przez --

zamieniamy a i d.

Zamieniamy lewy górny z prawym dolnym.

Czyli zostaje nam d i a.

I zmieniamy znaki tych dwóch, lewego dolnego

i prawego górnego. Dopisujemy im minus.

Czyli minuc c, minus b.

I jeszcze wyznacznik -- jeszcze raz, to jest coś,

co musicie przyjąć na razie na wiarę.

W następnych filmach, obiecuę dać wam więcej intuicji.

Ale wyznacznik jest czymś dosyć wyrafinowanym,

trzeba się trochę napracować, żeby się go nauczyć.

A jeżeli robicie to na lekcjach w szkole średniej,

to musicie po prostu umieć to obliczyć.

Chociaż nie podoba mi się, mówienie do was w ten sposób.

A więc co to jest?

To nazywa się wyznacznikiem macierzy A.

Możecie na klasówce dostać zadanie

obliczenia wyznacznika A.

Więc, pokaże wam to.

Oznaczamy to moduł z A.

I to jest równe ad minus bc.

Innym sposobem wyrażenia tego, to jest

1 przez wyznacznik.

Czyli możemy napisać odwrotność A równa się

1 przez wyznacznik A razy d minus b minus c, a.

Tak czy inaczej, popatrzcie na to.

Zastosujmy to jednak do prawdziwego zadania, i przekonacie się,

że nie jest to takie złe.

A więc zmieńmy litery, żebyście wiedzieli, że to

nie zawsze musi być A.

Powiedzmy, że mam macierz B.

A macierz B jest 3 -- muszę teraz wymyślić losowe

liczby -- minus 4, 2, minus 5.

Obliczmy odwrotność B.

A więc odwrotność B będze równa 1 przez

wyznacznik B.

Ile wynosi wyznacznik?

3 razy minus 5, minus 2 razy minus 4.

Czyli 3 razy minus 5 daje minus 15, minus 2 razy minus 4.

2 razy minus 4 daje minus 8.

Musimy to odjąć.

A więc mamy plus 8.

I musimy pomnożyć to przez co?

Zamieniliśmy te dwa wyrazy. A więc mamy minus 5 i 3.

I znieniamy znaki tych dwóch elementów.

Minus 2 i 4.

4 było minus 4, a więc teraz staje się 4.

Zobaczmy, czy możemy to trochę uprościć.

A więc odwrotność B jest równa minus 15 plus 8.

To daje minus 7.

Czyli to jest minus 1/7.

A więc wyznacznik B -- mogliśmy napisać wyznacznik B --

jest równy minus 7.

A więc to jest 1/7 razy minus 5, 4, minus 2, 3.

Co jest równe -- to jest po prostu skalar, to jest po prostu liczba

a więc mnożymy ją przez każdy z elementów.

A więc to jest równe minus, minu, plus.

To jest 5/7.

5/7 minus 4/7.

Zobaczmy.

Plus 2/7.

A potem minus 3/7.

Trochę zagmatwane.

Dostaliśmy tutaj jakieś ułamki.

Ale sprawdźmy, że to na prawdę jest odwrotność

macierzy B.

Pomnóżmy je.

Zanim to zrobię, muszę sobie zrobić trochę miejsca.

Nie potrzebuję tego więcej.

Proszę bardzo.

OK.

Sprawdźmy więc, że to razy to, albo to razy to

jest rzeczywiście równe macierzy jednostkowej.

Zróbmy to.

Zmienię kolor.

A więc odwrotność B jest równa 5/7, jeżeli nie zrobiłem

żadnego błędu.

Minus 4/7.

2/7.

I minus 3/7.

To jest odwrotność B.

Potem mnożymy to przez B.

3, minus 4.

2, minus 5.

A to mędzie iloczyn.

Potrzebuję trochę miejsca żeby zrobić moje obliczenia.

Zmienię kolor.

Muszę pomnożyć ten wiersz przez tę kolumnę.

Czyli 5/7 razy 3 jest równe ile?

15/7.

Dodać minus 4/7 razy 2.

Czyli minus 4/7 razy 2 daje minus -- muszę się upewnić,

że to jest dobrze -- 5 razy 3 daje 15/7

Minus 4 -- dobrze, dobrze -- 4 razy 2, czyli minu 8/7.

Teraz musimy pomnożyć ten wiersz przez tę kolumnę.

A więc 5 razy minus 4 daje minus 20/7.

Dodać minus 4/7 razy minus 5.

To jest plus 20/7.

Mój mózg zaczyna spowalniać, musząc mnożyć

macierze z ułamkami i liczbami ujemnymi.

Ale to jest dobre ćwiczenie

na różne partie mózgu.

Tak czy siak.

Zejdźmy niżej i obliczmy ten element.

Musimy pomnożyć ten wiersz przez tę kolumnę.

Czyli 2/7 razy 3 daje 6/7.

Dodać minus 3/7 razy 2.

To daje minus 6/7.

Został jeden element.

Ostatnia prosta.

2/7 razy minus 4 daje minus 8/7.

Dodać 3/7 razy minus 5.

Czyli te minusy się kasują i dostajemy plus 15/7.

A jeżeli to uprościmy, to co dostaniemy?

15/7 odjąć 8/7 daje 7/7.

To jest po prostu 1.

To jest oczywiście 0.

To jest 0.

6/7 odjąć 6/7 jest 0.

A potem minus 8/7 dodać 15/7, daje 7/7.

To jest znowu 1.

No i mamy wynik.

Udało nam się rzeczywiście odwrócić macierz.

I właściwie trudniej było udowodnić, że to jest rzeczywiście odwrotność

poprzez mnożenie dlatego, że musieliśmy

dodawać i odejmować ułamki.

Ale mam nadzieję, że to was zadowala.

I możecie spróbować zrobić to w drugą stronę, to znaczy

sprawdzić, czy jeśli pomnożycie to w odwrotnej kolejności,

to też dostaniecie macierz jednostkową.

Tak czy inaczej, tak się liczy macierz odwrotną

do macierzy 2x2.

W następnym filmie zobaczymy, że

odwracanie macierzy 3x3 to jeszcze lepsza zabawa.

Do zobaczenia.