-
We hebben al geleerd over de het optellen van matrices, matrices aftrekken,
-
matrix vermenigvuldiging.
-
Dus kan je je afvragen, is er een
-
equivalent voor het delen van matrices?
-
En voor we daar toe komen, wil ik
-
een aantal concepten aanbrengen.
-
En dan zullen we zien dat er iets is dat misschien niet
-
helemaal hetzelfde is als deling maar dat er toch verwant aan is.
-
Voor we daar aan beginnen, ga ik eerst iets zeggen over
-
het concept van de eenheidsmatrix.
-
Dus de eenheidsmatrix is een matrix.
-
En ik geef die weer met een hoofdletter I.
-
Wanneer ik dit vermenigvuldig met een andere matrix
-
-- eigenlijk weet ik niet of ik dat puntje hier moet schrijven -- maar goed,
-
wanneer ik die vermenigvuldig met een andere matrix,
-
krijg ik opnieuw diezelfde matrix.
-
Of als ik die matrix vermenigvuldig met de eenheidsmatrix,
-
krijg ik die matrix opnieuw.
-
En het is belangrijk te beseffen dat bij matrix
-
vermenigvuldiging de richting belangrijk is.
-
Ik heb je hier al wat informatie gegeven dat --
-
we kunnen er niet zomaar van uitgaan dat als we gewone vermenigvuldiging doen,
-
dat a maal b altijd gelijk is aan b maal a.
-
Het is belangrijk als we matrix vermenigvuldiging doen,
-
aan te tonen dat het uitmaakt
-
in welke volgorde je de vermenigvuldiging doet.
-
Maar goed, en dit kan maar in beide richtingen
-
als we werken met vierkante matrices.
-
Het kan werken in een richting of de andere
-
als deze matrix niet-vierkant is, maar het zal niet in beide richtingen gaan.
-
En je kan dat zien op de manier hoe we
-
matrix vermenigvuldiging geleerd hebben, waarom dat zo is.
-
Maar goed, ik heb deze matrix gedefinieerd.
-
En hoe gaat deze matrix er dan uitzien?
-
Eigenlijk is het best eenvoudig.
-
Als we een 2x2 matrix hebben, dan is de eenheidsmatrix 1, 0, 0, 1.
-
Als je een 3x3 wil, is het 1,0,0, 0,1,0, 0,0,1.
-
Ik denk dat je het patroon wel ziet.
-
Als je een 4x4 matrix wil, is de eenheidsmatrix 1,0,0,0,
-
0,1,0,0, 0,0,1,0 0,0,0,1.
-
Je ziet dus dat gelijk welke matrix, voor een bepaalde
-
dimensie - ik bedoel dat we dit kunnen uitbreiden tot een n maal n
-
matrix - je dan enkel 1 hebt langs deze diagonaal die van links boven
-
naar rechts beneden loopt.
-
En al de rest is een 0.
-
Dus dat heb ik je verteld.
-
Laten we nu bewijzen dat het ook echt klopt.
-
Laten we deze matrix nemen en vermenigvuldigen
-
met een andere matrix.
-
En bewijzen dat die matrix niet verandert.
-
Dus als we 1,0 0,1 nemen.
-
En we vermenigvuldigen het met -- laten we een algemene matrix nemen.
-
Zodat je ziet dat dit geldt voor alle getallen.
-
a, b, c, d.
-
Waaraan is dat dan gelijk?
-
We gaan deze rij vermenigvuldigen met deze kolom.
-
1 maal a plus 0 maal c is a.
-
En deze rij maal deze kolom.
-
1 maal b plus 0 maal d.
-
Dat geeft b.
-
Dan deze rij maal deze kolom.
-
0 maal a plus 1 maal c is c.
-
Dan tenslotte deze rij maal deze kolom.
-
0 maal b plus 1 maal d.
-
Dat geeft d.
-
Ziezo.
-
En het kan een leuke oefening zijn om het te proberen
-
in de omgekeerde richting.
-
En eigenlijk is het zelfs een betere oefening om dit te proberen
-
met een 3x3 matrix.
-
En je zal zien dat het allemaal uitkomt.
-
Het is een goede oefening voor je om na te denken waarom het uitkomt.
-
En als je er over nadenkt, is het omdat je
-
je rij-informatie krijgt van hier en je kolom-
-
informatie van hier.
-
En in wezen, telkens als je deze vector vermenigvuldigt met
-
deze vector, dan vermenigvuldig je de
-
overeenkomstige termen en dan tel je ze op, juist?
-
Dus als je een 1 en een 0 hebt, dan gaat de 0 alles weglaten
-
behalve de eerste term in deze kolomvector.
-
Dus dat is alles wat er overblijft.
-
En dat is waarom het al de rest gaat weglaten
-
behalve de eerste term in deze kolomvector.
-
En daarom blijft enkel b over.
-
Op dezelfde manier gaat dit alles weglaten behalve
-
de tweede term.
-
Daarom hou je hier enkel c over.
-
Dit maal dit.
-
Je houdt enkel c over.
-
Dit maal dit.
-
Je houdt enkel d over.
-
En hetzelfde is geldig wanneer je werkt met
-
3x3 of nxn vectoren.
-
Dat is interessant.
-
Je hebt de eenheidsvector.
-
Als we onze analogie compleet zouden willen maken --
-
laat eens kijken.
-
We weten dat ik de gewone wiskunde, als ik 1 maal a doe,
-
krijg ik a.
-
En we weten ook dat 1 over a maal a - dit is nu gewoon de normale wiskunde-
-
dit heeft niets met matrices te maken -- is gelijk aan 1.
-
En zoals je weet noemen we dit de inverse van a.
-
En dat is ook hetzelfde als delen door het getal a.
-
Is er dan ook een analoog voor matrices?
-
Ik ga de kleuren veranderen want ik heb dit groen al een beetje
-
teveel gebruikt.
-
Bestaat er een matrix, waarbij als ik een matrix a heb en
-
ik vermenigvuldig die met deze matrix -- en ik noem die de inverse
-
van a -- is er een matrix die als uitkomst niet het getal 1 oplevert
-
maar die het equivalent van 1 oplevert
-
in de matrix wereld?
-
Dus waarbij ik de eenheidsmatrix bekom?
-
En het zou extra mooi zijn als ik deze vermenigvuldiging
-
kon omdraaien.
-
Dus A maal de inverse van A zou ook gelijk moeten zijn aan
-
de eenheidsmatrix.
-
En als je er over nadenkt, als beiden waar zijn,
-
dan is inverse A niet alleen de inverse van A maar
-
is A ook de inverse van inverse A.
-
Dus ze zijn elkaars inverse.
-
Dat is wat ik wou zeggen.
-
En er blijkt zo'n matrix te bestaan.
-
Het heet de inverse van A,
-
zoals ik al drie keer gezegd heb.
-
En nu zal ik tonen hoe we die moeten berekenen.
-
Laten we dat dus doen.
-
En we zullen zien dat de berekening voor een 2x2 vrij
-
eenvoudig is.
-
En hoewel je kan denken dat het een beetje mysterieus is
-
hoe mensen deze manier van werken hebben uitgevonden,
-
ofwel het algoritme hiervoor.
-
3x3 wordt al een beetje lastiger.
-
4x4 gaat een hele dag kosten.
-
5x5, je gaat bijna zeker een slordigheidsfout maken
-
als je de omgekeerde van een 5x5 matrix zou maken.
-
Het is beter dat over te laten aan een computer.
-
Maar goed, hoe bereken we de matrix?
-
Laten we het doen en dan zullen we vaststellen
-
dat het werkelijk de inverse is.
-
Dus, als ik een matrix A heb, en dat is a, b, c, d.
-
En ik wil zijn inverse matrix berekenen.
-
De inverse matrix is in feite - en dit gaat
-
voodoo lijken.
-
In latere videos zal ik een beetje meer
-
achtergrond geven waarom dit klopt, of beter gezegd ik zal jullie in het echt tonen hoe
-
we hier op uit komen.
-
Maar om dit moment is het beter om gewoon de stappen te onthouden
-
zodat je er gerust in kan zijn dat je weet
-
dat je een inverse matrix kan berekenen.
-
Het is gelijk aan 1 gedeeld door dit getal maar dit, a maal d
-
min b maal c.
-
ad min bc
-
En deze grootheid hier beneden, ad min bc, dat heet
-
de determinant van matrix A.
-
En we gaan dat vermenigvuldigen.
-
Dit is gewoon een getal.
-
Dit is gewoon een scalaire grootheid.
-
En we gaan die vermenigvuldigen door --
-
je wisselt de a en de d om.
-
Je wisselt links boven en rechts onder om.
-
Dus je krijgt d en a.
-
En je maakt deze twee, je maakt links onder
-
en rechts boven negatief.
-
Dus min c, min b.
-
En de determinant - nog eens, dit is iets dat
-
je voor de moment even moet aannemen.
-
In latere videos beloof ik meer uitleg te geven.
-
Maar het is eigenlijk nogal ingewikkeld om uit te leggen
-
wat de determinant is.
-
En als je dit doet in het secundair,
-
dan moet je enkel weten hoe hem uit te rekenen.
-
Hoewel ik dit niet graag zeg.
-
Dus wat is dit?
-
Dit wordt ook de determinant van A genoemd.
-
Het kan zijn dat je op een examen krijgt :
-
bereken de determinant van A.
-
Ik ga je uitleggen hoe je dat moet doen.
-
Het wordt genoteerd als A tussen absolute waarde streepjes.
-
En het is gelijk aan ad min bc.
-
Dus een andere manier om dit uit te drukken,
-
dit kan 1 over de determinant zijn.
-
Dus kan je schrijven de omgekeerde van A is gelijk aan
-
1 over de determinant van A maal d, min b, min c, a.
-
Bekijk dat eens goed.
-
Maar laten we het toepassen op een echt geval en dan kan je zien
-
dat het nog zo moeilijk niet is.
-
We veranderen de letters zodat je weet dat het niet altijd
-
een A moet zijn
-
Laten we zeggen dat ik een matrix B heb.
-
En de matrix B is 3 -- ik ga gewoon willekeurige getallen nemen
-
min 4, 2, min 5.
-
Nu gaan we de inverse matrix van B uitrekenen.
-
Dus de inverse van B gaat gelijk zijn aan
-
1 gedeeld door de determinant van B
-
Wat is de determinant?
-
Het is 3 maal -5 min 2 maal -4.
-
Dus 3 maal -5 is -15, min 2maal -4.
-
2 maal -4 is -8.
-
We gaan dat aftrekken.
-
Dus wordt het +8.
-
En we gaan dit vermenigvuldigen met wat?
-
Wel, we hebben deze termen omgewisseld. Het is dus -5 en 3.
-
En we maken deze termen negatief.
-
-2 en 4.
-
4 was -4, dus nu wordt het 4.
-
En laten we eens kijken of we dit een beetje kunnen vereenvoudigen.
-
Dus de inverse van B is gelijk aan -15 plus 8.
-
Dat is -7.
-
Dus dit wordt 1/7.
-
Dus de determinant van B -- we zouden kunnen schrijven B's determinant --
-
is gelijk aan -7.
-
Dus dat is -1/7 maal -5, 4, -2, 3.
-
Wat gelijk is aan -- dit is een scalar, dit is een getal
-
dus we vermenigvuldigen het met elk van de elementen
-
dus dat is gelijk aan, min maal min wordt plus.
-
Dat wordt 5/7.
-
5/7 min 4/7
-
Eens kijken.
-
Plus 2/7.
-
En dan -3/7.
-
Het wordt wat ingewikkeld.
-
We komen hier uit op breuken en zo.
-
Maar laten we controleren of dit echt de inverse is
-
van matrix B.
-
Laten we ze vermenigvuldigen.
-
Voor ik dat kan doen moet ik wat plaats maken.
-
Dit heb ik niet meer nodig.
-
Ziezo.
-
Ok.
-
Dus laten we aantonen dat dit maal dit, of dit maal
-
dat gelijk is aan de eenheidsmatrix.
-
Dat gaan we doen.
-
Ik ga de kleuren wijzigen.
-
Dus de inverse van B is 5/7, als ik nergens
-
onderweg een fout gemaakt heb.
-
-4/7.
-
2/7.
-
En -3/7.
-
Dat is de inverse matrix van B.
-
En dat ga ik vermenigvuldigen met B.
-
3,-4
-
2 -5.
-
En dit gaat het resultaat van de vermenigvuldiging matrix worden.
-
Ik heb wat plaats nodig voor mijn berekeningen.
-
Ik ga van kleuren wisselen.
-
Ik ga deze rij nemen maal deze kolom.
-
Dus 5/7 maal 3 is gelijk aan?
-
15/7.
-
Plus -4/7 maal 2
-
Dus -4/7 maal 2 is gelijk aan -- even controleren
-
juist, 5 maal 3 is 15/7.
-
-4 maal 2, dus -8/7.
-
Nu gaan we deze rij vermenigvuldigen met deze kolom.
-
Dus 5 maal -4 is -20/7.
-
plus -4/7 maal -5.
-
Dat is +20/7.
-
Mijn hersenen zijn aan het vertragen, met die
-
matrix vermenigvuldigingen met breuken en negatieve getallen.
-
Maar dit is wel een goede oefening voor
-
verschillende delen van de hersenen.
-
Goed.
-
Laten we nu naar beneden gaan en deze term hier doen.
-
Dus nu gaan we deze rij vermenigvuldigen met deze kolom.
-
Dus 2/7 maal 3 is 6/7.
-
Plus -3/7 maal 2.
-
Dus dat is -6/7.
-
Nog een term te gaan.
-
De laatste rechte lijn.
-
2/7 maal -4 is -8/7.
-
Plus -3/7 maal -5.
-
Deze mintekens heffen elkaar op en we krijgen +15/7.
-
En als we vereenvoudigen, wat krijgen we dan?
-
15/7 min 8/7 is 7/7.
-
En dat is gelijk aan 1.
-
Dit is duidelijk gelijk aan 0.
-
Dit is 0.
-
6/7 min 6/7 is 0.
-
En dan -8/7 plus 15/7, dat is gelijk aan 7/7/
-
En dat is ook 1.
-
En daarmee zijn we rond.
-
We zijn er in geslaagd deze matrix te inverteren.
-
En het moeilijkste was aan te tonen dat het de inverse was
-
door te vermenigvuldigen, omdat we al deze berekeningen moesten doen met breuken
-
en negatieve getallen.
-
Maar hopelijk ben je het er mee eens.
-
En je zou het andersom kunnen proberen om aan te tonen dat
-
als je het andersom vermenigvuldigt,
-
je ook de eenheidsmatrix bekomt
-
Kortom, dat is hoe je de inverse berekent
-
van een 2x2 matrix.
-
En zoals we in de volgende video gaan zien,
-
is de berekening van de inverse van een 3x3 matrix nog veel leuker.
-
Tot binnenkort.
