Inverse Matrix (part 1)

Taking the inverse of a 2x2 matrix

(시작)

우리는 행렬의 더하기와 빼기,

곱하기를 배웠습니다.

그럼 이제 여러분은 궁금해 하시겠지요.

행렬에서 나눗셈을 할 수 있는 것도 있지 않을까?

그것을 배우기 이전에,

몇 가지 개념들을 설명해 드리도록 하겠습니다.

그러면 우리는 정확하게 나눗셈이라는 것이 아니라,

그와 유사한 것일 뿐이라는 걸 알게 될 겁니다.

소개하기 전에,

항등행렬의 개념에 대해서 먼저 설명해 드리겠습니다

항등 행렬은 행렬입니다.

그리고 저는 이것을 대문자 I라고 표현할게요.

제가 여기에 다른 행렬을 곱하게 되면, --사실 제가

이걸 점으로 표현해도 되는 건지 잘 모르겠네요-- 아무튼,

제가 다른 행렬을 곱하면,

다른 행렬을 얻게 되겠죠.

또는 여기에 항등 행렬을 곱한다면,

그 행렬을 다시 얻게 될 거고요.

그리고 이건 중요한 건데요,

행렬의 곱셈을 할 때에는 방향이 중요합니다.

제가 사실 이미 여러분께 알려드렸지만

우리가 보통 곱셈을 할 때,

a 곱하기 b는 언제나 b 곱하기 a와 같다는 것을 알 수 있습니다.

하지만 행렬에서 곱셈을 할 때가 중요한데요,

어느 방향으로 곱해주느냐가 영향을 미치기 때문에

그것을 확실히 해야 합니다.

아무튼 여기에서는 정사각행렬일 때

두 가지를 다 해볼 겁니다.

정사각이 아닐 때에도 한쪽이나 다른 방향에서 구할 수 있지만,

두 쪽 다에서는 구할 수 없습니다.

우리가 행렬의 곱셈에 대해서 배운 것을 생각해본다면,

왜 그렇게 되는지 알 수 있을 겁니다.

어쨌든, 저는 이 행렬을 정의해 보겠습니다.

이 행렬이 무슨 모양 일 것 같나요?

사실 꽤 간단한 겁니다.

우리가 2x2 행렬을 가지고 있다면,
이것의 항등행렬은 1, 0, 0, 1 입니다.

3x3 행렬이라면 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1이 되겠죠.

이 패턴이 보일 것이라 생각합니다.

4x4 행렬에서의 항등행렬은 1, 0, 0, 0,

0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1 입니다.

모든 행렬에서 차수가 주어졌을 때

--n x n행렬까지 확장할 때--

맨 위의 왼쪽에서부터 맨 아래의 오른쪽까지

대각선으로 1을 쓰면 됩니다.

나머지는 모두 0이고요.

자 그럼 말했듯이

이제 이것이 정말 작동하는지를 보죠.

이 행렬에다

다른 행렬을 곱했을 때

정말로 변하지 않는 지를 확인해 볼게요.

1, 0, 0, 1 행렬이 있을 때,

일반적인 행렬을 곱해보죠.

모든 숫자를 넣어도 되는지를 볼 수 있도록 이요.

a, b, c, d.

자 이것이 무엇과 같죠?

이제 이 행에 이 열을 곱해볼게요.

1 곱하기 a과 0 곱하기 c를 더한 것은 a입니다.

또 이 행에 이 열을 곱하면,

1 곱하기 b에 0 곱하기 d를 더하면

b입니다.

그리고 이 행에 이 열입니다.

0 곱하기 a에 1 곱하기 c를 더한 것은 c이죠.

마지막으로 이 행과 이 열입니다.

0 곱하기 b에 1 곱하기 d를 더한 것은

d입니다.

자 이제 결과를 얻었네요.

아마 다른 행렬에서도 확인해보면

재미있을 겁니다.

이것을 3x3 행렬에서 해본 다면

더욱 좋겠죠.

그러면 모두 작동한다는 것을 알게 될 겁니다.

이것이 어떻게 작동하는가를 생각해 보는 것도 좋을 것입니다.

이것을 생각해 본다면,

행에 대한 정보를 여기로부터 얻고, 열에 대한 정보를

여기로부터 얻습니다.

그리고 본질적으로 곱셈을 할 때는,

예를 들어 이 벡터에 이 벡터를 곱한다고 해보죠.

이렇게 관련된 것들을 더하는 겁니다, 그렇죠?

그래서 1과 0이 있으면 0과 만나는

열 벡터의 수는 없어질 겁니다.

그게 a가 되는 이유이죠.

그리고 이것이 이 열의 최초 항 이외의 것들이

사라진 이유입니다.

그래서 b가 남죠.

비슷하게

이것은 2번째의 항 이외의 모든 것을 지우고,

이것이 c만 남게 된 이유입니다.

여기에 이걸 곱하고.

그럼 c만 남게되죠.

또 여기에 이걸 곱하고,

그럼 d가 남죠.

이것은 3x3 행렬이나 n x n 행렬로 했을 때에도

똑같이 들어맞을 겁니다.

재미있죠.

항등 벡터가 있을 때,

이제 우리가 유사성을 완성시키고 싶다면

생각해봅시다.

일반적인 수학에서는 1에 a를 곱하면,

a라는 답을 얻게 됩니다.

또 마찬가지로 1을 a로 나눈 것에 a를 곱하면,

--이것은 일반적인 수학을 말하는 것이지, 행렬과는 아무 관계가 없습니다-- 이것은 1이 됩니다.

당신이 알다시피, 우리는 이것을 a의 역이라고 부릅니다.

이것은 a로 나누는 것과 똑같은 것이죠.

그럼 행렬에도 이렇게 비슷한 것이 있을까요?

색을 바꿔보겠습니다, 초록색을

너무 많이 사용한 것 같네요.

a행렬이 있다고 해봅시다.

그리고 이 행렬을 곱해보겠습니다. --그리고 이것을

a의 역이라고 부를게요― - 이 왼쪽에 쓴 것이 1은 아니지만,

행렬 세계에서는

1과 같다고 봅니다.

이것이 항등행렬 입니다.

그리고 이 곱셈을

반대로도 할 수 있다면 매우 좋겠지요.

그래서 A에 A의 역을 곱한 것은

반드시 항등행렬과 같아야 합니다.

이것에 대해 생각해본다면, 이 양족 모두가 참이라고 생각해본다면,

A의 역이 A 역행렬 일 뿐만이 아니라

A도 마찬가지로 A 역행렬의 역이 됩니다.

즉, 그들이 서로 역수인 것이죠.

이것이 제가 말하고자 했던 것입니다.

그리고 여기에는 이러한 행렬,

A의 역행렬로 부르기로 했죠,

벌써 세 번째 말하고 있네요.

이것을 어떻게 계산하는 지 보여드리겠습니다.

그럼 한번 해보죠.

2x2 행렬은 꽤나 간단하게 계산할 수 있다는 것을

볼 수 있습니다.

그렇다고는 해도 당신은 조금 이상하게 생각할지도 모르겠네요.

사람들이 어떻게 이런 메카니즘이나 알고리즘을

떠올릴 수 있었는지에 대해서요.

3x3 행렬은 조금 힘듭니다.

4x4 행렬은 아마 하루 종일 걸리겠지요.

5x5 행렬에서는

아마 분명히 계산 실수를 하게 될 겁니다.

5x5 행렬의 역행렬을 계산할 때는 컴퓨터에 맡기는 것이 나을 겁니다.

어쨌든, 이 행렬을 어떻게 계산해야 하나요?

한번 해보도록 하죠, 그리고 그것이 정말

역이 되는가를 확인해 봅시다.

그럼, a, b, c, d로 이루어진 행렬 A가 있다고 합시다.

그리고 저는 이것의 역을 계산해 내고 싶어요.

이것의 역은 아마

부두주술처럼 보이겠지요.

나중에 이어질 동영상으로 왜 이 작업을 했는가에 대한

직관을 드릴게요. 혹은, 어떻게 이것을 생각해낼까에 대한

직관이요.

하지만 지금은 이 단계를 기억하는 것이 더 중요합니다.

당신이 역행렬을 계산하는 것에 대해

확신을 가질 수 있도록 말이지요.

이것은 1 나누기, 이것과 이것을 곱합니다. (a x d)

- (b x c).

ad-bc.

그리고
여기 이 밑에 쓰여 있는 ad-bc를

행렬 A의 행렬식이라고 부릅니다.

그리고 이것을 곱하겠습니다.

이것은 그냥 숫자에요.

이것은 그냥 스칼라치입니다.

그리고 이것에 곱합니다.

여기의 a와 d를 교환하고,

왼쪽 위에 있는 것과 오른쪽 아래에 있는 것을 바꿉니다.

그럼 d와 a가 되겠죠.

그리고 여기 이 두 가지,
왼쪽 아래에 있는 것과

오른쪽 위에 있는 것은 음수로 바꾸어 줍니다.

그러면 -c와 -b가 되겠죠.

그리고 이 행렬식은, 다시 한 번 말하지만,

지금은 그냥 이 부분을 믿고 따라와 주세요.

후에 이어질 동영상에서 더 자세하게 설명할 것을 약속드리겠습니다.

하지만 실제로 이 행렬식을 배우는 것은

꽤나 복잡해요.

그리고 고등학교 수업에서 했을 테지만,

어떻게 계산하는 지를 이미 알고 있겠죠.

제가 그것을 설명하고 싶지는 않네요.

그럼 이것은 무엇인가요?

이것도 마찬가지로 A의 행렬식이라고 불리고 있습니다.

이것을 시험해서 봤을지도 모르겠네요.

A의 행렬식을 계산하여라.

그럼 이렇게 말해두도록 하겠습니다.

이 A의 주위에 나타낸 것은 절댓값을 나타낸 것입니다.

이것은 ad - bc와 같습니다.

이것을 다르게 말하면, 1 나누기

행렬식이죠.

그리고 A의 역행렬은 1 나누기 행렬식에

d, -b, -c, a를 곱한 것입니다.

어쨌든 이것을 보면,

하지만 실제 문제에 적용시킨다면

별로 나쁘지 않다는 것을 알 수 있을 겁니다.

그럼 문자를 바꿔봅시다, 항상 A가 될 필요가 없다는 것을

알 수 있도록이요.

이번에는 행렬 B가 있다고 해봅시다.

그리고 행렬 B는 3, --저는 지금 숫자를 랜덤으로 고르고 있어요--

-4, 2, -5.

이제 B의 역행렬을 계산해 봅시다.

B의 역행렬은 1 나누기

B의 행렬식입니다.

행렬식이 무엇이죠?

3에 -5를 곱한 뒤 2에 -4를 곱한 것을 뺀 것이죠.

3 곱하기 -5는 -15이고, -2 곱하기 -4.

-2 곱하기 -4는 -8입니다.

이 두 개를 빼봅시다.

그럼 +8이 되죠.

그리고 우리는 여기에 무엇을 곱해야 하는 건가요?

음, 이 두 개의 항을 바꾸고, 그럼 -5와 3이 되죠.

또 이 두 개의 항을 음수로 바꿔줍니다.

-2와 4요.

4는 -4였으므로 지금은 4가 됩니다.

그리고 이것을 조금 간단하게 하면,

B의 역행렬은 -15 + 8,

이것은 -7입니다.

그래서 1/7이 되는 것이지요.

그리고 B의 역행렬 --B의 행렬식은

-7이라고 할 수 있겠네요--

그래서 -1/7 곱하기 -5, 4, -2, 3입니다.

이것은 --단지 스칼라치입니다--

이것은 그냥 하나의 숫자로 각각의 요소에 곱해주면 됩니다.

그래서 이것은 -, -, +

해서 5/7가 됩니다.

5/7 - 4/7.

자 여기서,

7/2

그리고 -3/7입니다.

좀 지치는 군요.

여기 있는 분수만으로 끝내도록 하겠습니다.

그럼 이제 이것이 정말로

B의 역행렬인지를 확인해 보도록 합시다.

이것들을 곱해보죠.

하기 전에 공간을 좀 만들어야겠네요.

이건 더 이상 필요 없을 것 같아요.

이제 시작합시다.

좋아요.

저것에 이것을 곱하거나, 이것에 저것을 곱해서 확인해 봅시다.

이게 정말로 항등행렬이 될까요?

그럼 해 봅시다.

색을 바꾸도록 하죠.

B의 역행렬은 5/7,

만약 제가 실수를 하지 않았다면 말이죠.

-4/7,

2/7,

그리고 -3/7입니다.

이것이 B의 역행렬이죠.

그리고 거기에 행렬 B를 곱해봅시다.

3, -4.

2, -5.

이것이 행렬의 곱셈이 됩니다.

계산을 위해서 공간이 좀 필요하겠군요.

색깔을 바꾸도록 하겠습니다.

이 행에 이쪽의 열을 계산합니다.

그래서 5/7에 3을 곱한 것은 무엇이죠?

15/7입니다.

여기서 -4/7에 2를 곱한 것을 더해줍니다.

-4/7에 2를 곱한 것은 --맞는지 확실히 하도록 해주세요-

5 곱하기 3을 하면 15/7입니다.

-4, 아 맞네요. 4에 2를 곱하니까. -8/7이 됩니다.

그럼 이제 이 행과 이 열을 곱해보죠.

5에 -4를 곱하니까 -20/7이 됩니다.

여기에 -4/7에 -5를 곱한 것을 더해줍니다.

이것은 20/7이죠.

분수와 마이너스와 함께 행렬의 곱셈을 하려니

제 뇌의 기능이 점점 저하되고 있는 것 같네요..

하지만 이것은 뇌를 강화하는 데에는

좋은 훈련인 것 같습니다.

자 어찌하였든 간에,

아래로 가서 이 항을 해봅시다.

이제 이 행과 이 열을 곱해야겠죠.

2/7에 3을 곱하면 6/7이 됩니다.

여기에 3/7에 2를 곱한 것을 더해주면

-6/7이지요.

하나 남았습니다.

끝이 보여요.

2/7에 -4를 곱하면 8/7입니다.

여기에 3/7에 -5를 곱한 것을 더해주면

마이너스끼리는 상쇄되어 +7/15가 됩니다.

이것을 간략하게 나타내려면 어떻게 해야 하죠?

15/7 - 8/8은 7/7입니다.

이것은 1이네요.

이건 확실히 0입니다.

이것은 0.

6/7 - 6/7은 0입니다.

그리고 -8/7에 15/7을 더해주면, 7/7이네요.

또 1이 됩니다.

자 이제 답이 나왔네요.

우리는 실제로 역행렬을 구해보았습니다.

그리고 곱셈으로 이것을 증명하는 것은

실제로 꽤나 힘든 일이었지요.

이것들 모두 분수와 음수를 계산하지 않으면 안되었기 때문이에요.

이것이 당신을 만족시켰길 바랍니다.

그리고 반대로 곱셈을 해보아도

역시 항등행렬을

얻을 수 있다는 것을 확인 할 수 있을 것입니다.

어쨌든, 이것이 2x2 행렬의

역행렬을 계산하는 방법입니다.

그리고 다음 동영상에서 보게 될 테지만,

3x3 행렬을 계산하는 것은 더욱 재미있습니다.

그럼 곧 다시 만나도록 합시다.