Inverse Matrix (part 1)

Taking the inverse of a 2x2 matrix

私たちは行列の足し算、引き算、

掛け算を学びました。

おそらく、きみは行列の割り算に値するものはあるか

考えているんじゃないかな？

その話に入る前に、

あるコンセプトを紹介したいと思います。

それから、これは割り算とは正確には同じじゃないけど、

それに相似のものを示しましょう。

まず、それを紹介する前に、単位行列のコンセプトを

紹介したいと思います。

単位行列は、行列の一つです。

これは、大文字のIで表されます。

これに、別の行列を掛けたら、

実際、ドットで現すのかは知りませんが、

ともかく、別の行列を掛けたとしたら、

この行列を答えで得ます。

あるいは、この行列に、単位行列を掛けたら、

この行列を再び答えで得ます。

行列の掛け算をする時に、気をつけなくてはならないのは、

順番が問題になることです。

ここで今、きみに与えた情報は、

通常の行列同士の掛け算では仮定できません。

つまり、a掛けるbは、常に イコール、b掛けるaと。

行列の掛け算をするときには、

どちらから掛け算をするかを確認するのは

とても重要です。

ですが、これは正方行列同士でやる限り、

どちら側からも働きます。

もし行列が正方でないなら、一方かもう一方で働くかもしれませんが

両方では成功しません。

そして、この事はすでに行列の掛け算で習ったことで

なぜそうなのかを理解できます。

ともあれ、この行列を定義しました。

では、この行列は実際にはどんな形なのでしょうか？

これは、実に単純です。

22行列の場合、単位行列は 1, 0, 　0, 1です。

33行列だったら、 1, 0, 0, 　0, 1, 0,　 0, 0, 1です。

このパターンが見えてきたんじゃないかな。

44行列の場合、単位行列は

1, 0, 0, 0,　0, 1, 0, 0,　0, 0, 1, 0,　 0, 0, 0, 1 です。

見てのとおり、次元を与えられた、すべての行列は

n × n でどこまでも拡張していけますが、

単に、左上から右下の斜めに1が続いています。

単に、左上から右下の斜めに1が続いています。

そして、他はすべて0です。

これが単位行列です。

では、これが実際に働くのを証明しましょう。

この行列を使って、

別の行列で掛けてみます。

そして行列は変化しないのを確認しましょう。

この、1, 0, 0, 1を使います。

これを、一般行列で掛けてみましょう。

これが全ての数字で働くのを見れるようにです。

a, b, c, d

では、これに等しいのは何でしょうか？

まず、この行に、こちらの列を掛けていきます。

1 ＊ a + 0 ＊ c = a

そして、この行とこの列を掛けます。

1 ＊b + 0 ＊d

答えはbです。

この行に、こちらの列を掛けます。

0 ＊ a + 1 ＊c = c

そして最後に、この行に、この列を掛けます。

0 ＊ b + 1 ＊ d

答えは単にdです。

これが答えです。

たぶん、他の行列でも実践してみると面白いでしょう。

たぶん、他の行列でも実践してみると面白いでしょう。

実際、3x3行列でやると、

いい実践になるでしょう。

きっと、すべて働くのが見れますよ。

そして、いい実践なのが、
なぜこれが働くのか考えることです。

この事を考えるならば、

行の情報をここから得て、

列の情報をここから得ます。

そして本質的に、
掛け算をするときはいつでも、

たとえばこのベクトルに
このベクトルを掛けるなら、

関連する項を掛けて、
それからすべて足すよね？

もし、a 掛ける 1 と a 掛ける 0があれば、
0の方は消されて、

ここの列ベクトルの一つ目以外は消えます。

これがなぜaが残ったかの理由です。

そして、これはこの列ベクトルの最初の項以外の

すべてが消えた理由です。

そして、これはbが残っている理由でもあります。

同様に、これは2番目の項以外のすべてを消すのです。

同様に、これは2番目の項以外のすべてを消すのです。

これは、cが残っている理由です。

この時は、ここが。

cが残るようになっています。

このときは、ここで、

dのみが残るようになっています。

これは、3x3行列やnxn行列でやった時にも、

同じように当てはまります。

これは面白いですね。

この単位ベクトルは。

では、この類似性を完成させたいなら、

そのことを考えてみましょう。

通常の数学では、1＊ aだと、

aの答えを得ます。

また、1 / a ＊ a だと、通常の数学ならば、

これは行列とは一切関係ありません。
これはイコール1になります。

そして、これをaの逆数と呼びます。

これは、aで割るのと、同じことです。

行列で対応するのは何でしょうか？

色を変えさせてください。
緑を少し多く使いすぎました。

色を変えさせてください。
緑を少し多く使いすぎました。

この行列では、A行列があるとして、

これに、この行列を掛けたとします。
これを、Aの逆数と呼びます。

この答えでは、1にはなりません。ですが、

1の行列世界での対応物となります。

1の行列世界での対応物となります。

それは、単位行列です。

そして、これらの掛け算の辺りを裏返しにできたら

とてもいいでしょうね。

なので、A 掛ける A逆行列は、

単位行列になります。

この事を考えるならば、これらの両方とも正しいならば、

Aの逆がA逆行列だけでなく、

Aもまた、A逆行列の逆なのです。

つまり、お互いに逆数になっています。

これが私が言いたいこと全てです。

そして、ここにはこのような行列、

Aの逆行列と呼ばれるものがあるのを

3回すでに言いました。

そして今、どう計算するかを示します。

では、やってみましょう。

そして、2x2行列の計算は、

きわめて直接的に見るでしょう。

とはいえ、きみは少し不思議に思うかもしれませんね。

どうやって人々は、この仕組み、あるいはアルゴリズムを

思いついたんだろう、と。

3x3行列は、少し大変です。

4x4行列だと、一日中かかるでしょう。

5x5行列なら、ほとんど確実に、
不注意なミスをするでしょうね。

5x5行列の逆行列を計算するなら

それはコンピューターに任せるのが賢明です。

ともかく、この行列をどう計算するのでしょうか？

では、やってみましょう。それから、実際に逆かを

確認します。

では、a, b, c, d からなるA行列があるとします。

そして、この逆行列を計算したいと考えました。

この逆数は実際には、

ヴードゥー魔術に見えるでしょう。

後の動画で、なぜこれが働くかの直感を与えるでしょう。

あるいは、どうしてこれが来るかを示すことにします。

あるいは、どうしてこれが来るかを示すことにします。

ですが今は、このステップを暗記するだけに止めるのが賢明です。

きみが逆行列を計算できると確信できるように。

きみが逆行列を計算できると確信できるように。

これは、1 / この数字 掛ける ここ。a 掛ける d

- b 掛ける c

ad - bc

そして下のここ、ad - bcが、

A行列の行列式と呼ばれています。

そして、これを掛けていきます。

これは単に数字です。

これは単に、スカラー値です。

そして、これに掛けて、

ここの aとdを交換します。

左上と、右下を交換します。

つまり、dとaを置きます。

そして、この2つを置きます。左下と右上です。

これらをネガティブにします。

なので、 -c と、-b です。

そして、この行列式は、再び言いますが、

今はただ少しだけ信じてください。

後の動画で、もっと詳しく説明しますよ。

ですが、実際、この行列式を学ぶのは、

なかなか高尚ですよ。

もし高校のクラスできみがやっていたら、

どうやって計算するかのみ知っているでしょう。

もっとも私はそう語りたくはないですが。

では、これは何でしょうか？

これもまた、Aの行列式と呼ばれています。

これを試験で見るかもしれませんね。

Aの行列式を計算せよ。

なので、これを語らせてください。

このAの周りに示したのは、絶対値の印です。

これは、イコール、ad - bc です。

他の言い方をするなら、これは1 / 行列式です。

他の言い方をするなら、これは1 / 行列式です。

なので、Aの逆行列は、イコール、 1 / Aの行列式

掛ける d, - b, - c, a

ともかく、これを見て

ですが、現実問題に当てはめるなら、

これは実際にはそう悪くないと知るでしょう。

では文字を変えましょう。
常にAである必要がないと知るように。

では文字を変えましょう。
常にAである必要がないと知るように。

では、B行列があるとします。

そして、B行列は、3 --
私は単にランダムに数を選んでますよ。

-4, 2, -5.

では、Bの逆行列を計算しましょう。

逆行列Bは、イコール　1 / Bの行列式です。

逆行列Bは、イコール　1 / Bの行列式です。

行列式は何でしょうか？

これは3 ＊ -5 - 2 ＊ -4です。

3 ＊ -5 = -15で、-　2 ＊ -4

2 ＊ -4 = -8

これを引いていきます。

なので、 +8

これに、何を掛けていくのでしょうか？

この二つの項を交換して、 -5 と 3です。

そして、この2つの項をネガティブにして。

-2 と　4

4は、-4だったので、今は4になります。

そして、これを少し簡単にやるには、

B逆行列は、イコール -15 + 8

これは -7 です。

なので、これは -1/7です。

Bの行列式は、イコール -7 と書けます。

Bの行列式は、イコール -7 と書けます。

つまり、この - 1/7 掛ける -5, 4, -2, 3 です。

イコール、これは単にスカラー値です。これは単に一つの数字で

それぞれの行列の要素に掛けていきます。

なので、イコール -, -, +

7分の5になります。

7分の5 , -7分の4

ここの

7分の2

そして、-7分の3

これは少し疲れますね。

分数ばかりで終わりました。

では、これが本当にB行列の逆行列なのか

確認してみましょう。

では、これを掛けてみましょう。

やる前に、少しスペースを作りましょうか。

これ以上は要りませんね。

では、始めましょう。

OK

では、これとこれを掛けて確認してみましょう。

これは本当に単位行列になるでしょうか。

では、やってみましょう。

色を変えましょう。

もし私が不注意なミスをしないならば、

B逆行列は、7分の5です。

-7分の4

7分の2

そして-7分の3

これがBの逆行列です。

これに、B行列を掛けてみましょう。

3, - 4

2, - 5

そして、これは行列の掛け算になります。

計算のために、少し空間が必要です。

色を変えます。

この行に、こちらの列を計算します。

なので、 7分の5 掛ける 3 は何でしょう？

7分の15です。

+ -7分の4 掛ける 2

-7分の4　掛ける　2 は、マイナス、

確実にするようにさせてください。 5 掛ける 3 = 7分の15

- 4 ...うん、いいね。 4 掛ける 2、なので -7分の8

これで、この行とこの列を掛けました。

次は、5 掛ける 4 = - 7分の20

+ -7分の4 掛ける -5

これは、+7分の20

分数とマイナスの数の行列の掛け算で、

私の脳は機能低下してきました...

ですが、これは脳の強化には

いい実践です。

それはともかく。

では、下へと行って、この項をやりましょう。

今度は、この行　掛ける　この列をやります。

なので、7分の2 掛ける 3 = 7分の6

+ -7分の3 掛ける 2

これは、 - 7分の6です。

あとは一つですね。

ラストスパート。

7分の2 掛ける -4 = -7分の8

+ 7分の3 掛ける -5

なので、マイナス同士は相殺して、
7分の15が残ります。

簡略化するには、どうするのでしょう？

7分の15 - 8分の8 は、7分の7です。

これは、1になります。

これは、0です。明らかに。

これは、0

7分の6 - 7分の6 = 0

そして、-7分の8 + 7分の15 = 7分の7

再び1になりました。

これが答えです。

私たちは実際に逆行列をやりました。

そして、掛け算で証明するのは、
実際はかなり大変でしたね。

なぜなら、これら全ての分数とマイナス数の数学を

やらないといけなかったからです。

ですが、これがきみを納得させたと願います。

それから、反対側から掛け算したとしても、

やはり単位行列が得られると確認できるでしょう。

やはり単位行列が得られると確認できるでしょう。

ともかく、これが2x2行列の逆行列を計算する方法です。

ともかく、これが2x2行列の逆行列を計算する方法です。

次の動画で見ることになりますが、

3x3行列の逆行列の計算は、さらに面白いですよ。

また会いましょう。