Pöördmaatriks (1. osa)

Taking the inverse of a 2x2 matrix

Siiani oleme õppinud maatrikseid liitma, lahutama

ja korrutama.

Ehk olete juba jõudnud mõelda, kas on

olemas ekvivalents maatriksite jagamiseks?

Enne kui me sinna jõuame, tuleb mul teile selgitada

mõningaid kontseptsioone.

Ning me saame näha et on olemas midagi, mis ei ole

küll sajaprotsendiline jagatis kuid siiski sellega üsna analoogne.

Enne selleni jõudmist, tutvustan ma teile

ühikmaatriksi kontseptsiooni.

Ühikmaatriks on järjekordne maatriks.

Ja ma tähistan seda suure Iga.

Kui ma korrutan seda mingi teise maatriksiga -- ma tegelikult

ei ole kindel kas ma peaksin selle punkti siia kirjutama-- kuid igatakse,

kui ma korrutan mingi teise maatriksiga, siis ma

jõuan selle teise maatriksini.

Või kui ma korrutan selle maatriksi ühikmaatriksiga, ma

saan jälle selle maatriksi.

Tähtis on silmas pidada et maatriksite korrutamisel

on järjekorral oluline tähendus.

Ma olen juba jaganud natuke infot siin et

me ei saa järeldada et kui me teeme tavalist korrutamist, siis

et a korda b on alati võrdne b korda a.

Tähtis on et kui me korrutame maatrikseid,

siis peame kindlustama et järjekord milles me maatrikseid

korrutame, on oluline

See töötab mõlemapoolselt ainult kui

meil on vaatluse all ruutmaatriksid.

See võib töötada ühes suunas või teises suunas kui maatriks ei

ole ruutmaatriks, kuid see ei tööta mõlemas suunas korraga.

Ning te võite mõelda miks see nii ei tööta kui tuletate meelde

kuidas me õppisime maatriksite korrutamist.

Igatahes olen ma defineerinud selle maatriksi.

Milline see maatriks tegelikult välja näeb?

See on tegelikult üsna lihtne.

Meil on 2x2 maatriks ja ühikmaatriksiks on 1, 0, 0, 1.

Kui teil on vaja 3x3, siis 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1.

Ma usun et te tunnete siin ära mustri.

Kui teil on vaja 4x4, siis ühikmaatriks on 1, 0, 0, 0

0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.

Seega näete te et kõik mis üks maatriks on, suvaliste

mõõtude korral-- pean silmas, et seda saaks laiendada n korda n

maatriksitele-- et teil on vaid rida 1sid selles diagonaalis

ülevalt vasakult alla paremale.

Ja kõik muud elemendid on võrdsed 0ga.

See sai nüüd selgeks.

Tõestame, et see töötab ka reaalselt.

Võtame selle maatriksi ja korrutame selle

teise maatriksiga.

Ja veendume, et see maatriks ei muutu.

Seega, kui me võtame 1, 0, 0, 1.

Korrutame selle -- võtame mingi üldise maatriksi.

Lihtsalt et näha et see töötab kõikide numbritega.

a, b, c, d.

Millega see võrdne on?

Me korrutame selle rea siin selle veeruga siin.

1 korda a pluss 0 korda c on a.

Ning selle rea korrutame selle veeruga.

1 korda b pluss 0 korda d.

See on b.

Järgmiseks see rida korda see veerg.

0 korda a pluss 1 korda c on c.

Viimaseks, see rida korda see veerg.

0 korda b pluss 1 korda d.

See on d.

Siin see on.

Proovime nüüd teistpidi, see saab olema

tore harjutus.

Tegelikult, et katsetada seda 3x3 maatriksiga,

saab olema isegi parem ülesanne.

Ja te näete peagi et see töötab.

Mõelge, miks see töötab.

Ja kui te nüüd mõtlete selle peale, siis seepärast, et te saate

oma rea informatsiooni siit ja oma veeru

informatsiooni siit.

Mis kõige tähtsam, iga kord kui te korrutate, ütleme

selle vektori selle vektoriga, korrutate te vastavaid

elemente ja seejärel liidate need, eksju?

Ehk kui teil on 1 ja 0, siis 0 taandab ära

kõik muu peale selle esimese elemendi siin veeruvektoril.

See ongi põhjuseks, miks alles jääb vaid a.

See on ka põhjuseks, miks kõik muu peale selle esimese

elemendi siin veeruvektoris, ära taandub

Ja see on põhjuseks, miks alles jääb ainult b.

Sarnaselt taandab see siin ära kõik muu

peale teise elemendi.

See on põhjuseks, miks alles jääb vaid c siin.

See korda see.

Alles jääb vaid c.

See korda see.

Jääb vaid d.

Sama saab rakendada 3x3

või n korda n vektoritele.

See on huvitav.

Siin on ühikvektor.

Kui me tahaksime oma analoogiat edasi arendada-- nii et

mõtleme natuke selle peale.

Tavamatemaatikast teame me, et kui meil on 1 korda

a, saame a.

Samuti teame me et 1 üle a korda a-- see on kõik tava-

matemaatika, siin ei ole mingit pistmist maatriksitega-- võrdub 1ga.

Seda nimetame me a pöördvõrdelisuseks.

Ning see on täpselt sama mis jagades numbriga a.

Kas on olemas analoogia maatriksitega?

Las ma vahetan värvi, kuna ma olen seda rohelist

natuke liiga palju kasutanud.

Kas on olemas maatriksit, kui mul oleks maatriks a ja

ma korrutan selle maatriksiga-- ning ma nimetan seda a pöördarvuks

-- kas on olemas maatriksit, mis jääb alles, mitte number

1, vaid ühe ekvivalendiga

maatriksite maailmas?

Kus ma jään ühikmaatriksiga?

Eriti vinge oleks kui ma saaksin reaalselt pöörata

selle korrutise ringi.

Seega A korda A pööratuna peaks olema võrdne

ühikmaatriksiga.

Kui mõelda selle peale, et kui need mõlemad väited oleksid tõesed,

siis tegelikkuses mitte ainult A pööratuna ei oleks pööratuna A, vaid ka

A oleks pööratuna A pööratuna.

Seega oleksid nad teineteise pöördmaatriksid.

See ongi kõik mida ma tahtsin öelda.

Tuleb välja, et on olemas selline maatriks.

Seda nimetatakse maatriksi A pöördmaatriksiks,

nagu ma olen juba kolm korda öelnud.

Järgmiseks näitan ma kuidas eda arvutada.

Nii et teeme seda.

Ning me näeme et 2x2 puhul on arvutamine üsna

lihtne.

Kuigi te võiksite ju mõelda et see on veidi müstiline, et kuidas

keegi tuli selle mehaanika

või selle algoritmi peale.

3x3 muutub natuke karvaseks.

4x4 võtab terve päeva.

5x5 puhul te teete täiesti kindlasti mõne hooletusvea

pöördmaatriksi leidmisel.

Ja see on parem jätta raalile.

Igatahes, kuidas maatriksit arvutatakse?

Teeme seda ning kindlustame et see reaalselt

ka pöördmaatriks on.

Kui meil on maatriks A ja on a, b, c, d.

Ja kui ma tahan arvutada selle pöördmaatriksit.

Selle pöördmaatriks on tegelikult -- ja see paistab

teile nagu voodoo.

Tulevastes videotes näitan ma teile natuke rohkem intuitiivselt,

kuidas see töötab või ma näitan teile, kuidas see

välja tuli.

Praeguseks aga on parem lihtsalt sammud meelde jätta,

et teil oleks olemas kindlustunne et te teate

kuidas pöördmaatriksit leida.

See võrdub 1 jagatud see maatriks korda see. a korda d

miinus b korda c.

ad miinus bc.

See kvantiteet siin all, ad miinus bc, seda nimetatakse

maatriksi A determinandiks.

Ja me korrutame selle.

See on lihtne number.

See on skalaarväärtus.

Ning me korrutame selle-- vahetame

a ja d.

Vahetame ülemise vasaku ja alumise parema.

Järele jääb d ja a.

Ja te võtate need kaks, võtate alumise vasaku ja

ülemise parema, need teete negatiivseks.

Seega miinus c miinus b.

Ning determinant -- taaskord, see on midagi mida te

peate praegu lihtsalt uskuma hetkel.

Tulevastes videotes luban ma teile natuke rohkem õpetust jagada.

Kuid tegelikult on üsna arendav õppida,

mis on maatriksi determinant.

Kui te teete seda kõrgkoolis, siis te tegelikult

peate teadma, kuidas seda arvutada.

Kuigi mulle ei meeldi teile seda rääkida.

Nii et mis see siis on?

Seda nimetatakse samuti A determinandiks.

Mõnel eksamil võidakse küsida, leidke

maatriksi A determinant.

Nii et las ma siis räägin teile.

Ning seda tähistatakse A absoluutväärtuse märkide vahel.

Ja see võrdub ad miinus bc.

Seega teine viis selle ütlemiseks on, see võib olla 1 üle

determinandi.

Seega saaks kirjutada A pöördmaatriks võrdub 1 õle

A determinandi korda d miinus b miinus c, a.

Igatahes, heitke pilk peale.

Rakendame selle reaalsele probleemile ja te näete

et see tegelikult ei ole nii raske.

Muudame tähistusi, et te teaksite et see ei pea alati

olema A.

Ütleme et mul on maatriks B.

Ja maatriks B on-- võtan lihtsalt suvalised

numbrid-- miinus 4, 2 miinus 5.

Leiame B pöördmaatriksi.

Järelikult B pöördmaatriks on võrdne 1ga üle

B determinandi.

Mis on determinant?

See on 3 korda miinus 5 miinus 2 korda miinus 4.

3 korda miinus 5 on miinus 15, miinus 2 korda miinus 4.

2 korda miinus 4 on miinus 8.

Selle lahutame.

See on pluss 8.

Ja me korrutame selle millega?

Me vahetasime need kaks elementi. Seega ons ee miinus 5 ja 3.

Ja me teeme need kaks elementi negatiivseks.

Miinus 2 ja 4.

4 oli miinus 4, seega nüüd saab sellest 4.

Vaatame, kas saame seda natuke lihtsustada.

Seega B pöördmaatriks on võrdne miinus 15 pluss 8.

See on miinus 7.

Nii et see on miinus 1/7.

Ja B determinant on-- me võime kirjutada B determinant--

on võrdne miinus 7ga.

See teeb miinus 1/7 korda miinus 5, 4, miinus 2, 3.

Mis võrdub-- see on vaid skalaar, see on vaid

number, seega me korrutame selle kõikide elementidega--

nii et see on võrdne miinus, miinus, pluss.

See teeb 5/7.

5/7 miinus 4/7.

Vaatame üle.

Pluss 2/7.

Ja siis miinus 3/7.

See on natuke karvane.

Me jõudsime siin murdude ja asjadeni.

Teeme kindlaks, et see tõesti on

maatriksi B pöördmaatriks.

Korrutame need läbi.

Enne kui me seda teeme, pean ma natuke ruumi tekitama.

Mul ei ole seda isegi enam vaja.

Siin me läheme.

OK.

Teeme kindlaks, et see korda see või see korda too

on tõesti võrdne ühikmaatriksiga.

Nii et teeme seda.

Vahetan jällegi värvi.

Seega B pööratuna on 5/7, kui ma ei ole teinud

ühtegi hooletusviga.

Miinu 4/7.

2/7.

Ja miinus 3/7.

See on pööratud B.

Ja korrutame selle Bga.

3 miinus 4.

2 miinus 5.

Ja see on saadusmaatriks.

Mul on arvutamiseks ruumi vaja.

Vahetan värvi.

Võtan selle rea korda selle veeru.

Nii et 5/7 korda 3 on mis?

15/7.

Pluss miinus 4/7 korda 2.

Seega miinus 4/7 korda 2 on miinus-- las ma kontrollin

et see on õige -- 5 korda 3 on 15/7.

Miinus 4-- oh jaa, õigus-- 4 korda 2, see on miinus 8/7.

Järgmiseks korrutame selle rea selle veeruga.

Seega 5 korda miinus 4 on miinus 20/7.

Pluss miinus 4/7 korda miinus 5.

See on pluss 20/7.

Mu aju hakkab aeglustuma, see on seotud maatriksite

korrutamisega murdude ja negatiivsete arvudega.

Aga see on mitme ajupiirkonna jaoks hea

harjutus.

Igatahes.

Liigume alla ja võtame selle elemendi.

Korrutame selle rea selle veeruga.

Seega 2/7 korda 3 on 6/7.

Pluss miinus 3/7 korda 2.

See on miinus 6/7.

Üks element järel.

Kodusirutus.

2/7 korda miinus 4 on miinus 8/7.

Pluss miinus 3/7 korda miinus 5.

Need negatiivsed taanduvad välja ja meile jääb järgi pluss 15/7.

Mille me saame lihtsustades?

15/7 miinus 8/8 on 7/7.

See on ju 1.

See on 0, selgelt.

See on 0.

6/7 miinus 6/7 on 0.

Ja miinus 8/7 pluss 15/7, see on 7/7.

Jälle 1.

Siin see on.

Meil on läinud korda see maatriks pöörata.

Ja tegelikult oli raskem seda läbi korrutamise tõestada

kuna meil oli vaja tegeleda kogu selle murdude ja negatiivsete

arvude matemaatikaga.

Kuid ma loodan et te jäite rahule.

Ja te võiksite proovida seda teistpidi kindlustamaks

et kui te korrutate seda teises järjekorras, jõuate te ikka

ühikmaatriksini.

Igatahes, see oli viis, kuidas arvutatakse

2x2 pöördmaatriksit.

Järgmises videos näeme, et 3x3 maatriksi

pöördmaatriksi leidmine on veelgi lõbusam.

Kohtume peatselt.