Umkehrung einer Matrix (Teil 1)

Berechnung der Umkehrfunktion einer 2x2 Matrix.

Bisher haben wir über Matrix-Addition, Matrix-Subtraktion,

und Matrix Multiplikation gelernt.

Jetzt dürftet Ihr Euch wundern, ob es auch

Matrix Division gibt.

Bevor wir uns diesem Thema widmen, lasst mich

Euch noch ein paar Konzepte vorstellen.

Ihr werdet anschließend feststellen, dass es etwas gibt

was nicht direkt Division ist, aber sehr ähnlich ist.

Also bevor wir es vorstellen, werde ich Euch das Konzept

einer Einheitsmatrix vorstellen.

Also, eine Einheitsmatrix ist eine Matrix.

Ich notiere das mal mit einem großen I.

Wenn ich es mit einer anderen Matrix multipliziere - ich bin

mir gerade nicht sicher ob ich diesen Punkt hier setzen sollte - egal,

wenn ich es mit einer anderen Matrix multipliziere,

dann bekomme ich eine neue Matrix.

Oder, wenn ich es mit einer Einheitsmatrix multipliziere,

dann bekomme ich die gleiche Matrix wieder.

Es ist wichtig bei Matrixmultiplikation zu verstehen,

dass die Richtung entscheidend ist.

Ich habe Euch hier einige Informationen gegeben -

wir können übrigens bei normaler Multplikation

nicht annehmen, dass

a mal b immer gleich b mal a ist.

Bei der Matrix Multiplikation ist es wichtig

sicherzustellen dass die Reihenfolge für Eure Multiplikation

die richtige ist.

Es klappt nur in beide Richtungen wenn wir quadratische Matrizen

multiplizieren.

Es kann in eine oder die andere Richtung funktionieren wenn diese Matrix

nicht quadratisch ist, aber nicht in beide.

Das könnt Ihr Euch am besten vorstellen indem Ihr Euch überlegt

wie Ihr Matrix-Multiplikation gelernt habt und wieso was passiert.

Ich habe jetzt mal diese Matrix definiert.

Wie sieht diese Matrix jetzt tatsächlich aus?

Es ist eigentlich sehr simpel.

Wenn wir eine 2x2 Matrix haben ist die Einheitsmatrix 1,0,0,1.

Wenn Ihr 3x3 habt, 1,0,0,0,1,0,0,0,1.

Ich denke ich versteht das Muster.

Bei 4x4 ist es 1,0,0,0

0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1.

Ihr seht also, dass, für eine gegebene Dimension

(wir können das übrigens erweitern zu einer nxn Matrix)

einfach nur 1en von oben links nach unten rechts als Diagonale

geschrieben werden.

Alles andere ist dann 0.

So, das war das.

Lasst uns kurz beweisen, dass das tatsächlich klappt.

Lasst uns diese Matrix

mit einer anderen Matrix multiplizieren.

Ihr könnt sehen, dass die Matrix sich nicht ändert.

Wenn wir also 1,0,0,1 nehmt.

Wenn wir das nun multiplizieren mit einer einfachen Matrix...

Nur damit Ihr seht, dass es für alle Zahlen klappt.

a,b,c,d.

Also, was ist das gleich?

Wir werden diese Zeile mit diesen Spalten multiplizieren.

1 mal a plus 0 mal c ist a.

Und diese Zeile mal dieser Spalte.

1 mal b plus 0 mal d.

Das ist b.

Dann diese Zeile mal dieser Spalte.

0 mal a plus 1 mal c ist c.

Dann letztlich, diese Zeile mal dieser Spalte.

0 mal b plus 1 mal d.

Nun, das ist nur d.

Dort habt Ihr es.

Und es wäre eine tolle Übung, es

umgekehrt zu versuchen.

Und eigentlich ist es eine noch bessere Übung, das Gleiche

mit einer 3 x 3 Matrix zu versuchen.

Und du wirst sehen es klappt auch hier.

Und eine gute Übung für Euch ist, darüber nachzudenken, warum es funktioniert.

Und wenn man darüber nachdenkt, ist es weil Ihr

Eure Zeileninformationen von hier und Eure Spalteninformationen

von hier bekommt.

Und im Wesentlichen, wann immer Ihr multipliziert - also sagen wir

dieser Vektor mal diesen Vektor - multipliziert Ihr die

entsprechenden Felder und summiert sie dann, richtig?

Also wenn Ihr eine 1 und eine 0 habt, kürzen die Nullen

alles bis auf die erste Zahl in dieser Spalte.

Deshalb habt Ihr nur ein a.

Und daher kürzt sich hier alles heraus außer

der erste Faktor in diesem Spaltenvektor.

Und genau deshalb habt Ihr nur b.

Und ebenso wird dies alles aufheben, außer den

zweiten Faktor.

Deshalb habt Ihr nur c hier.

Dies mal dies.

Es bleibt also nur c.

Dies mal dies.

Es bleibt also nur d.

Und das gleiche gilt, wenn Ihr zu

3 x 3 oder n x n Vektoren wechselt.

Also das ist interessant.

Ihr habt den Einheitsvektor.

Wenn wir also unsere komplette Analogie wollen -

lasst uns darüber nachdenken.

Wir wissen in der regulären Mathematik, wenn ich 1 mal a

habe, bekomme ich ein a.

Und wir wissen auch, dass 1/a mal a-- also reguläre

Mathematik, das hat nichts mit Matrizen zu tun - 1 ist.

Und Ihr wisst auch, dass wir das als Umkehrfunktion von a bezeichnen.

Und das ist auch das Gleiche wie mit a zu dividieren.

Gibt es also eine Matrix Analogie?

Lasst mich Farben wechseln, weil ich dieses grün zu oft verwendet habe.

Gibt es eine Matrix bei der, wenn ich eine Matrix a habe,

und multipliziere diese Matrix - ich nenne es die Inverse zu a -

gibt es dann eine Matrix als Ergebnis, nicht eine Zahl 1,

aber eine gleichwertige Matrix aus der

Matrix-Welt?

Also der Einheitsmatrix?

Und es wäre natürlich ideal wenn ich diese Multiplikation umdrehen

könnte.

Also A mal A invers sollte gleich der

Einheitsmatrix sein.

Wenn Ihr darüber nachdenkt: Wenn beides wahr ist,

dann ist nicht nur A invers zu A, aber

A ist auch die Umkehrung von A invers.

Also sind sie gegenseitig invers.

Das ist alles was, die ich sagen wollte.

Und es gibt eine solche Matrix.

Wir nennen es die Inverse zu A,

wie ich schon ein paar Mal gesagt habe.

Jetzt werde ich Euch zeigen wie Ihr die berechnet.

Also, lasst uns loslegen.

Ihr werdet sehen bei 2x2 Matrizen ist das recht

unkompliziert.

Auch wenn Ihr vielleicht denkt es ist ein wenig seltsam wie

Menschen auf diese Rechenart kamen.

Also den Algorithmus.

3 x 3 wird ein wenig haarig.

4 x 4 benötigt einen ganzen Tag.

Bei 5 x 5 macht Ihr fast sicher einen Rechenfehler.

Wenn Ihr die Umkehrung einer 5x5 Matrix berechnet.

Das macht Ihr also besser mit einem Computer.

Aber wie auch immer, wie berechnen wir die Matrix?

Also lasst uns, und dann wir werden bestätigen, daß es wirklich

die Inverse ist

Also, wenn ich eine Matrix A habe, und d. h. a, b, c, d.

Und ich möchte um seine Umkehrfunktion berechnen.

Seine Umkehrfunktion ist -- dies wird Euch

wie Voodoo erscheinen...

In zukünftigen Videos werde ich Euch ein bisschen mehr

Intuition geben wie das Ganze funktioniert oder ich zeige Euch

wie man dazu kam.

Aber jetzt ist es am besten Ihr merkt Euch die Schritte.

Nur damit Ihr wisst, dass es keine Schande ist

wenn Ihr diese Umkehrung so berechnet.

Es ist gleich 1 durch diese Zahl mal dieser. a mal d

minus b mal c.

ad minus bc.

Und diese Zahl hier unten, ad minus bc, das nennen wir die

Determinante der Matrix A.

Und das multiplizieren wir.

Dies ist nur eine Nummer.

Dies ist nur eine skalare Größe.

Und das multiplizieren wir mit - hier verändert Ihr erst einmal

das a und das d.

Ihr wechselt oben links und unten rechts.

Also bleiben Euch d und a.

Und jetzt macht Ihr diese zwei, Ihr macht die untere linke

und die obere rechte, die macht Ihr negativ.

Also minus c minus b.

Und die Determinante--noch einmal, das ist etwas, das

Ihr erst einmal glauben müsst.

In Zukunft verspreche ich Euch das einfacher zu machen.

Aber es ist eigentlich auch ein wenig clever zu lernen was

die Determinante ist.

Und wenn Ihr das im Gymnasium macht, dann

müsst Ihr nur wissen wie Ihr das berechnet.

Obwohl ich Euch das ungerne sage.

Also was ist das?

Das nennt man auch die Determinante von A.

Ihr könntet also bei einer Klausur eine Aufgabe haben:

Findet die Determinante von A.

Also nur damit Ihr Bescheid wisst.

Wir bezeichnen das als A in absoluten Zahlen.

Und das ist gleich ad minus bc.

Also anders ausgedrückt bedeutet dies, dies könnte 1 durch

die Determinante sein.

Ihr könntet also schreiben A als Umkehrfunktion ist gleich 1 durch die

Determinante von A mal d minus b minus c, a.

Egal wie Ihr Euch das anseht.

Lasst uns das mal auf ein richtiges Problem anwenden, dann werdet Ihr sehen,

es ist eigentlich nicht so schlimm.

Wenn wir die Buchstaben tauschen, nur damit ihr wisst - es

muss nicht immer a sein.

Angenommen, ich habe eine Matrix B.

Und die Matrix B ist 3--ich wähle zufällige

Zahlen--minus 4, 2 minus 5.

Lasst uns B Invers ermitteln.

Also B Invers wird gleich 1 durch die

Determinante von B sein.

Was ist die Determinante?

Es ist 3 mal -5 minus 2 mal -4.

Also 3 mal -5 ist -15, -2 mal minus 4.

2 mal -4 ist -8.

Wir werden das subtrahieren.

Es ist also plus 8.

Und das rechnen mir mal was?

Oh, wir haben diese beiden Werte verwechselt. Es ist -5 und 3.

Und wir machen diese zwei Zahlen einfach negativ.

Minus 2 und 4.

4 war -4, jetzt ist es also 4.

Und mal sehen, ob wir dies ein wenig vereinfachen können.

Also ist B invers gleich -15 plus 8.

Das ist -7.

Das ist also -1/7.

Also ist die Determinante von B - wir können schreiben B's Determinante -

minus 7.

Das ist also -1/7 mal minus 5, 4, -2, 3.

Das ist dann gleich - und das ist jetzt ein Skalar, also nur eine Zahl,

also multiplizieren wir diese Zahl mit jedem der Elemente -

das ist also gleich minus minus plus.

Das ist 5/7.

5/7 minus 4/7.

Mal sehen.

2/7.

Und dann minus 3/7.

Es ist ein wenig haarig.

Wir enden also mit Brüchen.

Aber lasst uns bestätigen, dass dies wirklich die Umkehrung

der Matrix B ist.

Lasst uns das herausmultiplizieren.

Aber zuerst brauche ich mehr Platz.

Das brauchen wir nicht mehr.

Da haben wir's.

Okay.

Lasst uns beweisen dass das hier mal das, oder das mal das,

wirklich die Einheitsmatrix ist.

Also, lasst uns das beweisen.

Zuerst wechsle ich Farben...

Also B invers ist 5/7, wenn ich keine Flüchtigkeitsfehler

gemacht habe.

- 4/7.

2/7.

Und minus 3/7.

Das ist B Invers.

Und lasst mich das mit B multiplizieren.

3 abzüglich 4.

2 minus 5.

Und dies wird die Produktmatrix sein.

Ich brauche etwas Platz um meine Berechnungen durchzuführen.

Lasst mich die Farben zu wechseln.

Ich werde diese Zeile mal diese Spalte rechnen.

Also 5/7 mal 3 ist was?

15/7.

Plus minus 4/7 mal 2.

Minus 4/7 mal 2 ist minus--vergewissern wir uns

dass das richtig ist -- 5 mal 3 ist 15/7.

-4--Ach, ok--4 mal 2, also -8/7.

Jetzt werden wir diese Zeile Mal diese Spalte multiplizieren.

Also ist 5 mal -4 -20/7.

Plus -4/7 mal -5.

Das ist 20/7.

Mein Gehirn lässt etwas nach, bei Matrix-Multiplikationen

mit Brüchen mit negativen Zahlen.

Aber das ist eine gute Übung für mehrere

Teile des Gehirns.

Aber egal.

Gehen wir zu diesem Term.

So, jetzt werden wir diese Zeile Mal diese Spalte multiplizieren.

Also 2/7 mal 3 ist 6/7.

Plus -3/7 mal 2.

Also das ist -6/7.

Noch ein Term.

Die Zielgerade.

2/7 mal -4 ist -8/7.

Plus -3/7 mal -5.

Also die kürzen sich und wir bleiben bei 15/7.

Und wenn wir es vereinfachen, was bekommen wir?

15/7 abzüglich 8/8 ist 7/7.

Und das ist 1.

Dies ist 0, eindeutig.

Dies ist 0.

6/7 - 6/7 ist 0.

Und dann ist das minus 8/7 plus 15/7, 7/7.

Das ist wieder 1.

Und da haben Sie es.

Wir haben tatsächlich die Umkehrung dieser Matrix.

Und es war tatsächlich schwieriger zu beweisen, dass es die Inverse war

durch Multiplikation, weil wir diese ganze Bruchrechnung

mit negativen Zahlen machen mussten.

Aber ich hoffe, das reicht Euch.

Und wenn wir das umgekehrt machen um zu bestätigen dass

es in beide Richtungen klappt, dann bekommt ihr auch hier

die Einheitsmatrix.

Egal - so berechnet Ihr die

Inverse einer 2 x 2 Matrix.

Und wie wir im nächsten Video sehen werden, Berechnung von der

Inverse einer 3 x 3 Matrix macht noch mehr Spaß.

Bis bald.